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恩格斯说过：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学.”数形结合作为一种重要的数学方法，能够根据题目所给的数学问题条件及结论之间的联系，分析其代数意义，揭示其几何概念，使数量关系的抽象思维与空间形式的直观形象融为一体.数形结合可以把复杂的问题简单化，能够改变学生的思维习惯，提高学生的思维转变能力，使学生能真正爱上数学这门学科.
一、数形结合思想的概述
1.“数”与“形”是一体的.著名数学学者华罗庚先生曾用“數缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”来解释数形结合的重要性.
2.数形结合包括“以形助数”和“以数辅形”两方面：一是借助 “形”的生动性和直观性来阐述数之间的联系，如用函数的图像来说明函数的性质；二是借助“数”的精确性和严密性来阐述形的属性，如以曲线方程来精确说明曲线的几何性质.
3.数形结合是将抽象的数学语言同具体的图像相结合，使代数问题几何化，几何问题代数化.它能使不易理解的问题变得通俗易懂，使抽象的问题变得生动具体.
二、数形结合思想的应用
1.数形结合在集合问题中的应用.
集合，充分体现出高中数学和初中数学理念的不同.在集合知识中，其内在关系（如交集、并集、补集等）及外表达式（如{A，B， C}）都蕴含着图形的奥秘.运用数形结合方法解决集合问题的时候，最常用的两种图形表达为数轴和Venn图.若给定的集合是不等式刻画的数集，常用数轴来表示，若给定的集合是具体的数集，常用Venn图来表示.
2.数形结合在方程与不等式问题中的应用.
在高中数学中，坐标系的引入拓展了数学知识在图形表达上的空间，也将数形结合思想引入到更为普遍适用的领域，比如解决方程（组）、不等式（组）及基本函数问题.解决此类问题最基本的思路是将方程或不等式运算符号两端的式子当作函数并绘制函数图象，然后通过观察图象与坐标轴、图象与图象之间的关系来解决问题.在面对三角函数、对数函数等题目时，往往以函数方程解的个数呈现，比如判断方程解的个数时，可以先画出正确的函数图象，观察图象交点的个数就判断出有几个解.但需注意的是，这种方法在方程图象相似时不适合精确化判断.
3.数形结合在函数极值问题中的应用.
函数极值问题在高中数学中占有重大比重，对一些复杂的函数极值求解，可用数形结合简化解题步骤，通过对图形关系的直观描述得出答案.注意应用数形结合方法要遵循等价性、双向性、简便性的原则.如已知某一方程式，求另一方程式的最小值.此类题目给人一种无从下手的感觉，但如果通过数形结合方式，就能迅速解决问题，将两个图象在坐标系中呈现，将极值问题转化成图象关系问题，就可以进行简单的代数运算得出正确答案.
4.数形结合思想在其他问题中的应用.
数形结合应用面十分广泛，可以解决复数、三角函数、解析几何和立体几何等问题.
例如，如图2，已知A（1，1）为椭圆x29 y25=1内一点，F1为椭圆的左焦点，P为椭圆上一动点.求|PF1| |PA|的最大值和最小值.
由x29 y25=1可知a=3，b=5，c=2，左焦点F1（-2，0），右焦点F2（2，0）.由椭圆定义，|PF1|=2a-|PF2|=6-|PF2|.
∴|PF1| |PA|=6-|PF2| |PA|=6 |PA|-|PF2|.
由||PA|-|PF2||≤|AF2|=（2-1）2 （0-1）2=2知：
-2≤|PA|-|PF2|≤2.
当P在AF2延长线上的P2处时，取右“=”号；
当P在AF2的反向延长线的P1处时，取左“=”号.
即|PA|-|PF2|的最大、最小值分别为2，-2.
所以|PF1| |PA|的最大值是6 2，最小值是6-2.
参考文献：
刘靖晗.探析高中数学解题中数形结合的应用思想[J].中国培训，2016（24）：199.
一、数形结合思想的概述
1.“数”与“形”是一体的.著名数学学者华罗庚先生曾用“數缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”来解释数形结合的重要性.
2.数形结合包括“以形助数”和“以数辅形”两方面：一是借助 “形”的生动性和直观性来阐述数之间的联系，如用函数的图像来说明函数的性质；二是借助“数”的精确性和严密性来阐述形的属性，如以曲线方程来精确说明曲线的几何性质.
3.数形结合是将抽象的数学语言同具体的图像相结合，使代数问题几何化，几何问题代数化.它能使不易理解的问题变得通俗易懂，使抽象的问题变得生动具体.
二、数形结合思想的应用
1.数形结合在集合问题中的应用.
集合，充分体现出高中数学和初中数学理念的不同.在集合知识中，其内在关系（如交集、并集、补集等）及外表达式（如{A，B， C}）都蕴含着图形的奥秘.运用数形结合方法解决集合问题的时候，最常用的两种图形表达为数轴和Venn图.若给定的集合是不等式刻画的数集，常用数轴来表示，若给定的集合是具体的数集，常用Venn图来表示.
2.数形结合在方程与不等式问题中的应用.
在高中数学中，坐标系的引入拓展了数学知识在图形表达上的空间，也将数形结合思想引入到更为普遍适用的领域，比如解决方程（组）、不等式（组）及基本函数问题.解决此类问题最基本的思路是将方程或不等式运算符号两端的式子当作函数并绘制函数图象，然后通过观察图象与坐标轴、图象与图象之间的关系来解决问题.在面对三角函数、对数函数等题目时，往往以函数方程解的个数呈现，比如判断方程解的个数时，可以先画出正确的函数图象，观察图象交点的个数就判断出有几个解.但需注意的是，这种方法在方程图象相似时不适合精确化判断.
3.数形结合在函数极值问题中的应用.
函数极值问题在高中数学中占有重大比重，对一些复杂的函数极值求解，可用数形结合简化解题步骤，通过对图形关系的直观描述得出答案.注意应用数形结合方法要遵循等价性、双向性、简便性的原则.如已知某一方程式，求另一方程式的最小值.此类题目给人一种无从下手的感觉，但如果通过数形结合方式，就能迅速解决问题，将两个图象在坐标系中呈现，将极值问题转化成图象关系问题，就可以进行简单的代数运算得出正确答案.
4.数形结合思想在其他问题中的应用.
数形结合应用面十分广泛，可以解决复数、三角函数、解析几何和立体几何等问题.
例如，如图2，已知A（1，1）为椭圆x29 y25=1内一点，F1为椭圆的左焦点，P为椭圆上一动点.求|PF1| |PA|的最大值和最小值.
由x29 y25=1可知a=3，b=5，c=2，左焦点F1（-2，0），右焦点F2（2，0）.由椭圆定义，|PF1|=2a-|PF2|=6-|PF2|.
∴|PF1| |PA|=6-|PF2| |PA|=6 |PA|-|PF2|.
由||PA|-|PF2||≤|AF2|=（2-1）2 （0-1）2=2知：
-2≤|PA|-|PF2|≤2.
当P在AF2延长线上的P2处时，取右“=”号；
当P在AF2的反向延长线的P1处时，取左“=”号.
即|PA|-|PF2|的最大、最小值分别为2，-2.
所以|PF1| |PA|的最大值是6 2，最小值是6-2.
参考文献：
刘靖晗.探析高中数学解题中数形结合的应用思想[J].中国培训，2016（24）：199.