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《初中数学新课程标准》指出：数学是人们生活、劳动和学习必不可少的工具，能够帮助人们处理数据、进行计算、推理和证明，数学模型可以有效地描述自然现象和社会现象.伴随着素质教育的实施，联系实际，贴近生活的数学中考题已经走入各省市的中考试卷.
运用数学知识解决此类问题的基本思路是：先将这个实际问题转化为一个数学问题（我们称之为建立数学模型），然后解答这个数学问题，从而解决这个实际问题.这里，建立数学模型是关键的一步.也就是说，要通过审题，将实际问题与自己学过的数学知识、数学方法联系起来，将其归结到某一类型的数学问题，然后解答这个数学问题.本文将从一道中考数学应用型问题的解决，来剖析应用型问题的解题方法与技巧.
例东方专卖店专销某种品牌的计算器，进价12元/只，售价20元/只．为了促销，专卖店制定了一促销计划，其原则是购买数量少则以原价卖出，达到一定数量后多买则在单价上给予一定的优惠，但也限定了最低价.经统计，每只计算机的售价z(元/只)与购买数量x（只）的关系如下表
（1）请你分析并回答专卖店的促销方案,并求出每只计算机的售价z(元/只)与购买数量x（只）的函数关系；
（2）写出当一次购买x只时，利润y(元)与购买量x(只)之间的函数关系式；
（3）有一天，一位顾客买了46只，另一位顾客买了50只，专卖店发现卖了50只反而比卖46只赚的钱少，为了使每次卖的多赚钱也多，在其他促销条件不变的情况下，最低价16元/只至少要提高到多少？为什么？
第（1）问：
分析由促销原则并结合表格发现此促销方案应分为三部分，相应的z与x的函数也应分为三段.
解方法(一)：观察表格发现：少于10只售价为20元/只；购买只数在10只至50只之间时，每多买一只，售价就降价0.10元；超过50只每只以最低价16元/只销售.
易得z与x的函数关系式为：
z=20（0≤x≤10）20-0.1（x-10）=-0.1x+21（１０＜x＜50）16（x＞50）
方法（二）：把每只计算器的售价与购买数量所对应的有序实数对作为坐标在直角坐标系中描出，并观察其变化趋势发现其图象分为三段，其中第二段的这些点都在一直线上，故其函数关系应为一次函数，待定系数法易求出其解析式为y＝－0.1x+21.
第一、三两段为常函数.解析式同方法（一）
根据函数的意义写出促销方案.（略）
第（2）问：
分析由于价格z与购买数量x的函数是一个分段函数，因此求利润y与购买数量x的函数也必须分类.
解：当0≤x≤10时，y=（20-12）x=8x
当10 当x>50时，y=（16-12）x=4x
第（3）问：
分析探究利润y与购买数量x的函数的变化趋势可以解决问题.
解方法（一）：列表
由表格可知，当45＜x≤50时，y随x的增大而减小，其他部分都随x的增大而增大，因此最低售价为20-0.1(45-10)=16.5元.
方法（二）：利润y=-0.1x2+9x=-0.1（x-45）2+202.5，因为卖的越多赚的越多，即y随x的增大而增大，由二次函数性质可知，x≤45时，y随x的增大而增大， x＞45时，y随x的增大而减小，最低售价为20-0.1（45-10）=16.5元.
方法（三）：
画出y与x的分段函数的图象（实线部分）.为了使每次卖的多赚钱也多，函数图象必须始终呈上升趋势.观察图象发现只有当45＜x＜50时，图象呈下降趋势，其它都呈上升趋势，因此只须将图象上45＜x＜50的这段“抹去”，故把图象中射线CD平移使端点至点B即可（图中虚线部分）.此时最低售价为20-0.1（45-10）=16.5元.
从上面几个问题的解决我们可以发现建立数学模型是解决应用型问题的关键，而转化的方法很多.例如归纳猜想、函数思想、分类思想、数形结合思想、枚举法等数学思想方法就是转化的很好的利器.
从各地的中考试题来看，利用鲜活的实际背景命题，能体现数学知识的实用性，有利于考查和培养学生“用数学”的意识.同时近几年的中考应用题比较重视对学生收集处理信息的能力、获取新知识的能力、分析和解决问题的能力等能力的考查.而运用数学思想方法解决应用型问题变成了当前的一个命题趋势.随着中考命题改革的不断深化，这个趋势与新课标提出的增强学生的思维能力更趋于一致，也更能适应素质教育和时代发展的要求.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
运用数学知识解决此类问题的基本思路是：先将这个实际问题转化为一个数学问题（我们称之为建立数学模型），然后解答这个数学问题，从而解决这个实际问题.这里，建立数学模型是关键的一步.也就是说，要通过审题，将实际问题与自己学过的数学知识、数学方法联系起来，将其归结到某一类型的数学问题，然后解答这个数学问题.本文将从一道中考数学应用型问题的解决，来剖析应用型问题的解题方法与技巧.
例东方专卖店专销某种品牌的计算器，进价12元/只，售价20元/只．为了促销，专卖店制定了一促销计划，其原则是购买数量少则以原价卖出，达到一定数量后多买则在单价上给予一定的优惠，但也限定了最低价.经统计，每只计算机的售价z(元/只)与购买数量x（只）的关系如下表
（1）请你分析并回答专卖店的促销方案,并求出每只计算机的售价z(元/只)与购买数量x（只）的函数关系；
（2）写出当一次购买x只时，利润y(元)与购买量x(只)之间的函数关系式；
（3）有一天，一位顾客买了46只，另一位顾客买了50只，专卖店发现卖了50只反而比卖46只赚的钱少，为了使每次卖的多赚钱也多，在其他促销条件不变的情况下，最低价16元/只至少要提高到多少？为什么？
第（1）问：
分析由促销原则并结合表格发现此促销方案应分为三部分，相应的z与x的函数也应分为三段.
解方法(一)：观察表格发现：少于10只售价为20元/只；购买只数在10只至50只之间时，每多买一只，售价就降价0.10元；超过50只每只以最低价16元/只销售.
易得z与x的函数关系式为：
z=20（0≤x≤10）20-0.1（x-10）=-0.1x+21（１０＜x＜50）16（x＞50）
方法（二）：把每只计算器的售价与购买数量所对应的有序实数对作为坐标在直角坐标系中描出，并观察其变化趋势发现其图象分为三段，其中第二段的这些点都在一直线上，故其函数关系应为一次函数，待定系数法易求出其解析式为y＝－0.1x+21.
第一、三两段为常函数.解析式同方法（一）
根据函数的意义写出促销方案.（略）
第（2）问：
分析由于价格z与购买数量x的函数是一个分段函数，因此求利润y与购买数量x的函数也必须分类.
解：当0≤x≤10时，y=（20-12）x=8x
当10
第（3）问：
分析探究利润y与购买数量x的函数的变化趋势可以解决问题.
解方法（一）：列表
由表格可知，当45＜x≤50时，y随x的增大而减小，其他部分都随x的增大而增大，因此最低售价为20-0.1(45-10)=16.5元.
方法（二）：利润y=-0.1x2+9x=-0.1（x-45）2+202.5，因为卖的越多赚的越多，即y随x的增大而增大，由二次函数性质可知，x≤45时，y随x的增大而增大， x＞45时，y随x的增大而减小，最低售价为20-0.1（45-10）=16.5元.
方法（三）：
画出y与x的分段函数的图象（实线部分）.为了使每次卖的多赚钱也多，函数图象必须始终呈上升趋势.观察图象发现只有当45＜x＜50时，图象呈下降趋势，其它都呈上升趋势，因此只须将图象上45＜x＜50的这段“抹去”，故把图象中射线CD平移使端点至点B即可（图中虚线部分）.此时最低售价为20-0.1（45-10）=16.5元.
从上面几个问题的解决我们可以发现建立数学模型是解决应用型问题的关键，而转化的方法很多.例如归纳猜想、函数思想、分类思想、数形结合思想、枚举法等数学思想方法就是转化的很好的利器.
从各地的中考试题来看，利用鲜活的实际背景命题，能体现数学知识的实用性，有利于考查和培养学生“用数学”的意识.同时近几年的中考应用题比较重视对学生收集处理信息的能力、获取新知识的能力、分析和解决问题的能力等能力的考查.而运用数学思想方法解决应用型问题变成了当前的一个命题趋势.随着中考命题改革的不断深化，这个趋势与新课标提出的增强学生的思维能力更趋于一致，也更能适应素质教育和时代发展的要求.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文