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摘 要：对于由最小路径描述的含有备用元件的复杂系统，在子系统寿命服从形状参数m已知的威布尔分布条件下，针对定数截尾样本，运用WCF方法，我们给出了由最小路径矩阵表示的含备用元件的复杂系统的可靠度置信下限，同时此结论也适用于元件寿命服从指数分布的情形。
关键词：复杂系统;备用元件;WCF方法;置信下限;最小路径
DOI：10.15938/j.jhust.2018.06.026
中图分类号： O213.2
文献标志码： A
文章编号： 1007-2683（2018）06-0146-05
Abstract：In this paper we study the complex system containing stand-by components and describe the minimal path. Under the condition that the subsystem life obeys Weibull distribution with the m is given for the sample of type-ΙΙ censoring we give the lower confidence limits of reliability for the system by WCF method. In addition when the subsystem life obeys exponential distribution this conclusion is still valid.
Keywords：complex systems; stand-by components; WCF method; lower confidence limits; minimal path
0 引 言
对于由多个子系统构成的系统，其可靠度置信下限的研究一直倍受国内外学者的关注。目前，对于特定系统置信下限研究的成果很多，对于串联系统，Winterbottom（1974）[1]提出了W排序法及工程上广泛使用的L-M法（Lindstrom和Madden法），郑忠国等[2]研究了其渐近性质，并提出了修正的L-M法[3]。Fang和Chen（1999）[4]对于并联系统进行了研究。
对于复杂系统可靠性的研究，通常是基于子系统的寿命样本，而由于系统的结构复杂，要得到其精确的置信下限是非常困难的。1979年，Winterbottom[5-6]在Cornish-Fisher[7-8]展开方法的基础上，根据James G.S. [9-10]提出的变量的累量的性质，假定系统可靠度函数已知，给出了系统可靠度函数置信下限的渐近展开式，称为WCF方法。闫霞，于丹，李国英[11]利用WCF方法的原理，对于参数估计量不独立的参数函数的置信限进行了研究，这一理论应用到威布尔型元件和含有该类型元件的系统的可靠度评估上，文章对简单系统进行了模拟研究。于丹[12]在子系统寿命服从单参数指数分布，样本为定时截尾实验数据时，利用WCF方法对系统可靠度置信限进行了研究，其结果适用于某特定的系统，并对串联系统，并联系统进行了模拟。于丹等[13-14]在假设复杂系统可靠度函数已知且子系统具有不同的可靠度这一情况下，利用WCF方法获得了系统可靠度的置信下限，该下限是由假定已知的可靠度函数来求得的，其中涉及很多复杂运算。
然而对于基于最小路径矩阵或最小割集矩阵表示的一般复杂系统仅有少量的研究成果。舒印[15]基于成败型数据给出一般复杂系统在完全数据下的可靠度置信下限，廖春芳[16]给出不完全数据时子系统寿命服从指数分布的复杂系统可靠度置信下限。
对于含备用元件的这类复杂系统，其研究成果却很少。威布尔分布又是寿命分布中较广泛的一种常见分布，它包含了指数分布。因此探求威布尔分布下含备用元件的复杂系统的可靠度置信下限，这是一个既有理论意义又有应用价值的课题。张国志[17-20]对于最小路径矩阵描述的复杂系统，给出了其可靠度函数的解析表达式。这为后续的研究工作奠定了基础。
1 复杂系统的可靠度函数
首先引入文[17]的結论，在此以引理形式给出。
4 结 论
一般的复杂系统通常是由最小路径矩阵或最小割集矩阵描述的。本文研究的系统是基于最小路径矩阵描述，且子系统含有备用元件的复杂系统。在假各设子系统寿命服从形状参数m已知，尺度参数不尽相同的威布尔分布及定数截尾样本下，结合WCF方法给出该系统可靠度的置信下限的解析表达式。
此置信下限表达式的给出，既方便了理论研究，也便于实际应用。对于元件寿命服从形状参数m已知的威布尔分布的含备用元件的复杂系统，可以通过计算机编程实现：只要输入系统的最小路径矩阵及每个子系统的定数截尾寿命样本，便可以得到系统可靠度置信下限，同时该结论也适用于元件寿命服从指数分布的情形。
参 考 文 献：
[1] WINTERBOTTOM A. Lower Confidence Limits for Serial Systems Reliability from Binomial Subsystem Data. JASA 1974（69）：782-788.
[2] 郑忠国 蒋继明. L-M法置信下限的渐近性质. 应用概率统计 1992 8（4）： 403-410. [3] 郑忠国 金华. 串联系统可靠性的两层数据虚拟系统法置信下限. 北京大学学报 1993，29（1）： 26-33.
[4] FANG X CHEN J. A Method to Compute Confidence Limits with EM. Research Report of School Mathmetical Sciences. Peking： Peking University.
[5] WINTERBOTTOM A. Asymptotic Expansions to Improve Large Sample Confidence Intervals for System Reliability. Biometrika 1980 67： 351-357.
[6] WINTERBOTTOM A. Cornish-fisher Expansions for Confidence Limits. J R Statist Soc B，1979 41： 69-75.
[7] FISHER R A CORNISH E A. The Percentile Points of Distributions Having Known Cumulants. Technometrics 1960 2： 209-225.
[8] CORNISH E.A. FISHER R.A.1937）. Moments and Cumulants in the Specification of Distributions. Int. Statist. Rev.5 307-322.
[9] JAMES G.S.（1955）. Cumulants of a Transformed Variate. Biometrika 42 529-31.
[10]JAMES G.S. MAYNE A.J.（1962）. Cumulants of Functions of Random Variables. Sankhya A24 47-54.
[11]闫霞 于丹 李国英. 求参数函数置信限的一般性WCF方法及其应用[J]. 数学物理学报 2007 27A（2）： 229-239.
[12]于丹 赵勇辉 薛宏旗. 指数寿命定时截尾数据下可靠度的置信限[J]. 系统科学与数学 1999 19（2）： 240-245.
[13]于丹 戴樹森. 复杂系统可靠性综合评估方法研究 研究报告 中国科学院系统科学研究所 1996.
[14]于丹. 复杂系统可靠性分析中的若干统计问题与进展[J]. 系统科学与数学 2007，27（1）： 68-81.
[15]舒印 张国志. 基于最小路径的复杂系统可靠度置信下限的研究[J]. 哈尔滨： 哈尔滨理工大学 2012： 12-31.
[16]廖春芳 张国志. 不完全数据下复杂系统可靠度置信下限的研究[J]. 哈尔滨： 哈尔滨理工大学 2015： 1-33.
[17]张国志. 复杂系统可靠性研究[D]. 北京： 北京工业大学 2009： 19-60.
[18]张国志. 复杂系统可靠性分析[M]. 哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社 2009： 1-185.
[19]ZHANG Guozhi LIU Di KONG Fanliang et al. Expression and Algorithm Implementation of Reliability for Complex System. Advances in Systems Science and Applications. 2008 8（3）： 421-429.
[20]ZHANG Guozhi，ZHAO Wenhui，KONG Fanliang，et al.Properties of Estimation of Distribution Function for Complex System.Advances in Systems Science and Applications.2008 8（4）： 667-674.
（编辑：关 毅）
关键词：复杂系统;备用元件;WCF方法;置信下限;最小路径
DOI：10.15938/j.jhust.2018.06.026
中图分类号： O213.2
文献标志码： A
文章编号： 1007-2683（2018）06-0146-05
Abstract：In this paper we study the complex system containing stand-by components and describe the minimal path. Under the condition that the subsystem life obeys Weibull distribution with the m is given for the sample of type-ΙΙ censoring we give the lower confidence limits of reliability for the system by WCF method. In addition when the subsystem life obeys exponential distribution this conclusion is still valid.
Keywords：complex systems; stand-by components; WCF method; lower confidence limits; minimal path
0 引 言
对于由多个子系统构成的系统，其可靠度置信下限的研究一直倍受国内外学者的关注。目前，对于特定系统置信下限研究的成果很多，对于串联系统，Winterbottom（1974）[1]提出了W排序法及工程上广泛使用的L-M法（Lindstrom和Madden法），郑忠国等[2]研究了其渐近性质，并提出了修正的L-M法[3]。Fang和Chen（1999）[4]对于并联系统进行了研究。
对于复杂系统可靠性的研究，通常是基于子系统的寿命样本，而由于系统的结构复杂，要得到其精确的置信下限是非常困难的。1979年，Winterbottom[5-6]在Cornish-Fisher[7-8]展开方法的基础上，根据James G.S. [9-10]提出的变量的累量的性质，假定系统可靠度函数已知，给出了系统可靠度函数置信下限的渐近展开式，称为WCF方法。闫霞，于丹，李国英[11]利用WCF方法的原理，对于参数估计量不独立的参数函数的置信限进行了研究，这一理论应用到威布尔型元件和含有该类型元件的系统的可靠度评估上，文章对简单系统进行了模拟研究。于丹[12]在子系统寿命服从单参数指数分布，样本为定时截尾实验数据时，利用WCF方法对系统可靠度置信限进行了研究，其结果适用于某特定的系统，并对串联系统，并联系统进行了模拟。于丹等[13-14]在假设复杂系统可靠度函数已知且子系统具有不同的可靠度这一情况下，利用WCF方法获得了系统可靠度的置信下限，该下限是由假定已知的可靠度函数来求得的，其中涉及很多复杂运算。
然而对于基于最小路径矩阵或最小割集矩阵表示的一般复杂系统仅有少量的研究成果。舒印[15]基于成败型数据给出一般复杂系统在完全数据下的可靠度置信下限，廖春芳[16]给出不完全数据时子系统寿命服从指数分布的复杂系统可靠度置信下限。
对于含备用元件的这类复杂系统，其研究成果却很少。威布尔分布又是寿命分布中较广泛的一种常见分布，它包含了指数分布。因此探求威布尔分布下含备用元件的复杂系统的可靠度置信下限，这是一个既有理论意义又有应用价值的课题。张国志[17-20]对于最小路径矩阵描述的复杂系统，给出了其可靠度函数的解析表达式。这为后续的研究工作奠定了基础。
1 复杂系统的可靠度函数
首先引入文[17]的結论，在此以引理形式给出。
4 结 论
一般的复杂系统通常是由最小路径矩阵或最小割集矩阵描述的。本文研究的系统是基于最小路径矩阵描述，且子系统含有备用元件的复杂系统。在假各设子系统寿命服从形状参数m已知，尺度参数不尽相同的威布尔分布及定数截尾样本下，结合WCF方法给出该系统可靠度的置信下限的解析表达式。
此置信下限表达式的给出，既方便了理论研究，也便于实际应用。对于元件寿命服从形状参数m已知的威布尔分布的含备用元件的复杂系统，可以通过计算机编程实现：只要输入系统的最小路径矩阵及每个子系统的定数截尾寿命样本，便可以得到系统可靠度置信下限，同时该结论也适用于元件寿命服从指数分布的情形。
参 考 文 献：
[1] WINTERBOTTOM A. Lower Confidence Limits for Serial Systems Reliability from Binomial Subsystem Data. JASA 1974（69）：782-788.
[2] 郑忠国 蒋继明. L-M法置信下限的渐近性质. 应用概率统计 1992 8（4）： 403-410. [3] 郑忠国 金华. 串联系统可靠性的两层数据虚拟系统法置信下限. 北京大学学报 1993，29（1）： 26-33.
[4] FANG X CHEN J. A Method to Compute Confidence Limits with EM. Research Report of School Mathmetical Sciences. Peking： Peking University.
[5] WINTERBOTTOM A. Asymptotic Expansions to Improve Large Sample Confidence Intervals for System Reliability. Biometrika 1980 67： 351-357.
[6] WINTERBOTTOM A. Cornish-fisher Expansions for Confidence Limits. J R Statist Soc B，1979 41： 69-75.
[7] FISHER R A CORNISH E A. The Percentile Points of Distributions Having Known Cumulants. Technometrics 1960 2： 209-225.
[8] CORNISH E.A. FISHER R.A.1937）. Moments and Cumulants in the Specification of Distributions. Int. Statist. Rev.5 307-322.
[9] JAMES G.S.（1955）. Cumulants of a Transformed Variate. Biometrika 42 529-31.
[10]JAMES G.S. MAYNE A.J.（1962）. Cumulants of Functions of Random Variables. Sankhya A24 47-54.
[11]闫霞 于丹 李国英. 求参数函数置信限的一般性WCF方法及其应用[J]. 数学物理学报 2007 27A（2）： 229-239.
[12]于丹 赵勇辉 薛宏旗. 指数寿命定时截尾数据下可靠度的置信限[J]. 系统科学与数学 1999 19（2）： 240-245.
[13]于丹 戴樹森. 复杂系统可靠性综合评估方法研究 研究报告 中国科学院系统科学研究所 1996.
[14]于丹. 复杂系统可靠性分析中的若干统计问题与进展[J]. 系统科学与数学 2007，27（1）： 68-81.
[15]舒印 张国志. 基于最小路径的复杂系统可靠度置信下限的研究[J]. 哈尔滨： 哈尔滨理工大学 2012： 12-31.
[16]廖春芳 张国志. 不完全数据下复杂系统可靠度置信下限的研究[J]. 哈尔滨： 哈尔滨理工大学 2015： 1-33.
[17]张国志. 复杂系统可靠性研究[D]. 北京： 北京工业大学 2009： 19-60.
[18]张国志. 复杂系统可靠性分析[M]. 哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社 2009： 1-185.
[19]ZHANG Guozhi LIU Di KONG Fanliang et al. Expression and Algorithm Implementation of Reliability for Complex System. Advances in Systems Science and Applications. 2008 8（3）： 421-429.
[20]ZHANG Guozhi，ZHAO Wenhui，KONG Fanliang，et al.Properties of Estimation of Distribution Function for Complex System.Advances in Systems Science and Applications.2008 8（4）： 667-674.
（编辑：关 毅）