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摘要：深度教学是发展学生思维能力、提升学生核心素养的一种必然之路，它可以借助于引导性材料在“教什么”中体现;可以在知识的生成过程中体现;还可以在学生的思维碰撞中体现。
关键词：概念教学;知识生成;深度教学
中图分类号：G633.6 文献标识码：A文章编号：1992-7711（2021）01-017
深度教学是发展学生思维能力、提升学生核心素养的一种必然之路，那么如何在数学概念课中实现深度教学呢？本文试结合《数列概念》的教学谈一谈笔者的想法与做法，敬望大家批评指正。
一、借助引导性材料，在“教什么”中体现深度
概念是认识事物本质属性的思维过程，因此有深度的概念教学，应该教以下几个方面。
1.教如何“由具体到一般，建立认识的一般模式”。概念思维具有一般性和普遍性，今天建立概念的过程与模式既是过去概念建立模式的迁移，又将强化是以后建立概念的经验。在数列概念之前，笔者先于课前让学生梳理我们学习函数、集合时是如何学习的，一般内容、模式、步骤是什么，形成了一份表格，然后再呈现新的数列情况。这样，借助于这种先行组织者，本节课学习的线索、方向就很明确了。同时经数列概念的再次学习，建立概念的一般模式就被再一次强化了。
2.让学生理解“概念学习的必要性与合理性”。凡是概念的教学，都要让学生清楚地感受到概念的必要性与合理性。比如本节课，笔者通过设计数列的具体实例情境让学生感受到数列概念的实际价值，有什么用，也就明白了为什么要定义这个概念。通过让学生主动参与定义的过程，辨别定义中语句的准确性、严谨性，从而感受到概念的合理性：比如，数列概念中“依次”两个字能否删除？让学生去说，让其他人判断等等都是要让学生明白合理性。
为此，本人制作了课前引导性材料，借助于丰富的阅读材料让学生去体会，在课堂教学中，再通过问题去促进学生的理解。本节课的课前引导性材料制作如下。
如何认识一类事物？——阅读材料1
一般说来，研究、学习一个新概念、一类新对象都要关注：它是什么（抽象出一类对象的共同特质、建立概念）——对象命名（类名称与个体的符号记法）——要素分析（构成元素、基本结构）——外延对象（简单分类）——每个对象的表达与表现——研究对象（运算，性质）——概念运用。比如我们研究集合与函数的基本线索如下表。
二、设计出好问题，在知识生成过程中体现深度
“问题”是思考的起点，但一个“好的问题”才会引导学生的思考走向深入，为了让学生在问题的引领下实现深度思考，本人将概念生成的环节分成了三个部分：初步认识、深入认识、反思认识，每个环节都通过具体的问题或者活动激发认知冲突，引导思考争辩，实现了学生的深度思考。具体环节如下。
（一）初步认识
1.问题引领：这些数列模型有什么共同的特点？你准备从哪些方面来认识？
2.概念的具体化：学生举例并判断（概念思维——回到概念）。
（二）深入认识
1.问题1：数列与函数一样吗？
2.问题2：数列是一个怎样的函数？特殊在哪里？准确用自己的语言写下来。
3.问题3：既然数列是一种特殊的函数，那么从函数的观点来看数列，你能获得什么新的认识？
（三）反思认识
问题：数列的项与集合的元素有何区别与联系？
所有上述问题，除了为了发展出新知识以外，一个重要的目标就是教会学生学会思维，在思维过程中学会思维，正是数学课的重要目的，只有如此，才会有深度。具体说来，包含以下两个方面。
1.学会“怎样进行概念的抽象”。既然概念是对事物本质属性的思维过程，那么概念教学当然就是教“怎样抽象出事物的本质”，这其中就离不开一般科学的思维：观察、比较、归纳、抽象、概括与具体化，其中抽象是最核心的环节，它要排除一类对象的所有物理属性，找到共同的性质，但在完成抽象之前，观察、比较、归纳是必须的，通过比较异同，找到共性，通过归纳发现共性。抽象出共性以后，还要会表征，用恰当的语言来描述它。在抽象出共性后还要把这个本质推广到更大的范围中去检验，这就是概括与具体化。因此举例子就是概念教学的一个重要环节。
2.学会运用概念进行概念思维。李邦河院士曾说，数学是玩概念的，技巧不足惧也，但是玩概念也要会玩，也要有玩概念的意识和习惯。事实上，我们学生之所以曾经会犯错，就是因为没有概念思维的习惯与意识，也不会运用概念来判断、研究问题，或者是不理解内涵，或者是不明确外延，因此教师要指导学生恰当地运用概念、发展概念思维，在数列概念这节课中，让学生举一些例子并判断就是概念思维，通过函数与数列关系，数列项与集合元素辨析就是概念思维。
三、借助于课堂交流，在讨论与争辩中体现深度
深度教学更体现于师生之间、生生之间思维火花的剧烈的碰撞，以及师生之间，生生之间思想的激烈交锋，深刻意味着能够给予学生匠心独用，别有洞天的感慨，意味着唤醒了学生沉睡的思想，意味着启迪学生的智慧，能够使学生有醍醐灌顶，柳暗花明，绝处逢生的震撼。要做好这个过程，教师要做好以下几件事。
1.弄清学生的认知起点与障碍点。本节课中，学生对数列有着丰富的生活体验，他可能不知道的名词，他确实做过，解决过与数列相关的实际问题，因此，当丰富的数列是你呈现在眼前时他们不会感到陌生。因此他们也将很快地归纳、抽象出数列的概念——依次排列的一列数。但是关于数列认识的线索却不尽清楚，即不知道从哪些方面来反映、刻画数列，因此在课前教师就要提供一个先行组织——函数、集合的学习框架，从而让学生有线索可循，便于学生主动发展，另一方面，学生也会很容易满足于数列的一般性描述，对数列的函数本质没有意识去主动发现因此这是本节课的思维障碍点，为此，笔者特意创设一组问题的辨析让学生主动发现了数列的函数本质，效果较好。
2.在学生主体与教师主导之间掌握好度。数学是个体再创造的思维过程，没有个体的主动参与，就没有思维发生，也就没有教学的实质。但是也不是事事都要学生探究的，毕竟学习是间接经验的传承，关键在于掌握一个度，就数列概念这一节课而言，教师要给学生一个认识新对象的方向、顺序、一般模式，这是不要探究的，再比如符號记法、简单分类、要求分析等都可以直接介绍，但概念形成的关键部分，比如，数列是什么？数列与函数的关系，数列中的项与集合的元素有何区别都是必须让学生自己归纳总结，而且必须进行交流、辨析、争论以形成正确认识的
3.在引导交流、辨析中，指导学生思维与反思。孔子曰：不愤不启，不悱不发，学生在想说而说不清时，恰当的引导，让多人辨析、争论，是彰显数学火热思考的重要途径。在其中对正确的判断要逼学生解释原因——为什么这样呢？不正确的判断要让学生举反例否定，从而发展学生的理性思维，同时学会理性思维的一般模式——正确的要证明，错误的要举反例，这样学生就具有了逻辑推理能力，同时借助于追问，反诘，也发展了学生反省认知能力，发展了学生理性思维的习惯，最后借助于总结性反思——这节课学到了什么——一类事物的认知方法，从而建立了概念学习的一般模式。
总之，深度意味着悠远，爱因斯坦说，知识就是当你什么也回忆不出来时所留下的。我想这留下的将是思想，将是说不清、道不明的思维方式，显然只有深刻，才能久远，也只有久远的，才是最有意义的。作为一线教师，我们要不断努力。
参考文献：
[1]王玉强.深度教学——构建优质高效课堂的方法[M]. 华东师范大学出版社，2012.
[2]张格波.提升核心素养，我们可以怎样做？[J].中学数学教学参考，2019（04）.
（作者单位：南京市江宁高级中学，江苏 南京210000）
关键词：概念教学;知识生成;深度教学
中图分类号：G633.6 文献标识码：A文章编号：1992-7711（2021）01-017
深度教学是发展学生思维能力、提升学生核心素养的一种必然之路，那么如何在数学概念课中实现深度教学呢？本文试结合《数列概念》的教学谈一谈笔者的想法与做法，敬望大家批评指正。
一、借助引导性材料，在“教什么”中体现深度
概念是认识事物本质属性的思维过程，因此有深度的概念教学，应该教以下几个方面。
1.教如何“由具体到一般，建立认识的一般模式”。概念思维具有一般性和普遍性，今天建立概念的过程与模式既是过去概念建立模式的迁移，又将强化是以后建立概念的经验。在数列概念之前，笔者先于课前让学生梳理我们学习函数、集合时是如何学习的，一般内容、模式、步骤是什么，形成了一份表格，然后再呈现新的数列情况。这样，借助于这种先行组织者，本节课学习的线索、方向就很明确了。同时经数列概念的再次学习，建立概念的一般模式就被再一次强化了。
2.让学生理解“概念学习的必要性与合理性”。凡是概念的教学，都要让学生清楚地感受到概念的必要性与合理性。比如本节课，笔者通过设计数列的具体实例情境让学生感受到数列概念的实际价值，有什么用，也就明白了为什么要定义这个概念。通过让学生主动参与定义的过程，辨别定义中语句的准确性、严谨性，从而感受到概念的合理性：比如，数列概念中“依次”两个字能否删除？让学生去说，让其他人判断等等都是要让学生明白合理性。
为此，本人制作了课前引导性材料，借助于丰富的阅读材料让学生去体会，在课堂教学中，再通过问题去促进学生的理解。本节课的课前引导性材料制作如下。
如何认识一类事物？——阅读材料1
一般说来，研究、学习一个新概念、一类新对象都要关注：它是什么（抽象出一类对象的共同特质、建立概念）——对象命名（类名称与个体的符号记法）——要素分析（构成元素、基本结构）——外延对象（简单分类）——每个对象的表达与表现——研究对象（运算，性质）——概念运用。比如我们研究集合与函数的基本线索如下表。
二、设计出好问题，在知识生成过程中体现深度
“问题”是思考的起点，但一个“好的问题”才会引导学生的思考走向深入，为了让学生在问题的引领下实现深度思考，本人将概念生成的环节分成了三个部分：初步认识、深入认识、反思认识，每个环节都通过具体的问题或者活动激发认知冲突，引导思考争辩，实现了学生的深度思考。具体环节如下。
（一）初步认识
1.问题引领：这些数列模型有什么共同的特点？你准备从哪些方面来认识？
2.概念的具体化：学生举例并判断（概念思维——回到概念）。
（二）深入认识
1.问题1：数列与函数一样吗？
2.问题2：数列是一个怎样的函数？特殊在哪里？准确用自己的语言写下来。
3.问题3：既然数列是一种特殊的函数，那么从函数的观点来看数列，你能获得什么新的认识？
（三）反思认识
问题：数列的项与集合的元素有何区别与联系？
所有上述问题，除了为了发展出新知识以外，一个重要的目标就是教会学生学会思维，在思维过程中学会思维，正是数学课的重要目的，只有如此，才会有深度。具体说来，包含以下两个方面。
1.学会“怎样进行概念的抽象”。既然概念是对事物本质属性的思维过程，那么概念教学当然就是教“怎样抽象出事物的本质”，这其中就离不开一般科学的思维：观察、比较、归纳、抽象、概括与具体化，其中抽象是最核心的环节，它要排除一类对象的所有物理属性，找到共同的性质，但在完成抽象之前，观察、比较、归纳是必须的，通过比较异同，找到共性，通过归纳发现共性。抽象出共性以后，还要会表征，用恰当的语言来描述它。在抽象出共性后还要把这个本质推广到更大的范围中去检验，这就是概括与具体化。因此举例子就是概念教学的一个重要环节。
2.学会运用概念进行概念思维。李邦河院士曾说，数学是玩概念的，技巧不足惧也，但是玩概念也要会玩，也要有玩概念的意识和习惯。事实上，我们学生之所以曾经会犯错，就是因为没有概念思维的习惯与意识，也不会运用概念来判断、研究问题，或者是不理解内涵，或者是不明确外延，因此教师要指导学生恰当地运用概念、发展概念思维，在数列概念这节课中，让学生举一些例子并判断就是概念思维，通过函数与数列关系，数列项与集合元素辨析就是概念思维。
三、借助于课堂交流，在讨论与争辩中体现深度
深度教学更体现于师生之间、生生之间思维火花的剧烈的碰撞，以及师生之间，生生之间思想的激烈交锋，深刻意味着能够给予学生匠心独用，别有洞天的感慨，意味着唤醒了学生沉睡的思想，意味着启迪学生的智慧，能够使学生有醍醐灌顶，柳暗花明，绝处逢生的震撼。要做好这个过程，教师要做好以下几件事。
1.弄清学生的认知起点与障碍点。本节课中，学生对数列有着丰富的生活体验，他可能不知道的名词，他确实做过，解决过与数列相关的实际问题，因此，当丰富的数列是你呈现在眼前时他们不会感到陌生。因此他们也将很快地归纳、抽象出数列的概念——依次排列的一列数。但是关于数列认识的线索却不尽清楚，即不知道从哪些方面来反映、刻画数列，因此在课前教师就要提供一个先行组织——函数、集合的学习框架，从而让学生有线索可循，便于学生主动发展，另一方面，学生也会很容易满足于数列的一般性描述，对数列的函数本质没有意识去主动发现因此这是本节课的思维障碍点，为此，笔者特意创设一组问题的辨析让学生主动发现了数列的函数本质，效果较好。
2.在学生主体与教师主导之间掌握好度。数学是个体再创造的思维过程，没有个体的主动参与，就没有思维发生，也就没有教学的实质。但是也不是事事都要学生探究的，毕竟学习是间接经验的传承，关键在于掌握一个度，就数列概念这一节课而言，教师要给学生一个认识新对象的方向、顺序、一般模式，这是不要探究的，再比如符號记法、简单分类、要求分析等都可以直接介绍，但概念形成的关键部分，比如，数列是什么？数列与函数的关系，数列中的项与集合的元素有何区别都是必须让学生自己归纳总结，而且必须进行交流、辨析、争论以形成正确认识的
3.在引导交流、辨析中，指导学生思维与反思。孔子曰：不愤不启，不悱不发，学生在想说而说不清时，恰当的引导，让多人辨析、争论，是彰显数学火热思考的重要途径。在其中对正确的判断要逼学生解释原因——为什么这样呢？不正确的判断要让学生举反例否定，从而发展学生的理性思维，同时学会理性思维的一般模式——正确的要证明，错误的要举反例，这样学生就具有了逻辑推理能力，同时借助于追问，反诘，也发展了学生反省认知能力，发展了学生理性思维的习惯，最后借助于总结性反思——这节课学到了什么——一类事物的认知方法，从而建立了概念学习的一般模式。
总之，深度意味着悠远，爱因斯坦说，知识就是当你什么也回忆不出来时所留下的。我想这留下的将是思想，将是说不清、道不明的思维方式，显然只有深刻，才能久远，也只有久远的，才是最有意义的。作为一线教师，我们要不断努力。
参考文献：
[1]王玉强.深度教学——构建优质高效课堂的方法[M]. 华东师范大学出版社，2012.
[2]张格波.提升核心素养，我们可以怎样做？[J].中学数学教学参考，2019（04）.
（作者单位：南京市江宁高级中学，江苏 南京210000）