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平行四边形是初中数学的重要内容之一.下面就平行四边形的典型问题选解几例，以期使同学们更好地掌握平行四边形的有关性质和判定，
一 线段的相关证明
例1 如图1，E，F分别是平行四边形ABCD的边AD，BC的中点.求证：BE=DF.
简析：根据平行四边形的性质得到AD∥BC，AD=BC.又因E，F为AD，BC的中点，则DE=BF根据对边平行且相等即可判定四边形DEBF为平行四边形，从而有BE=DF.
评析：证明两条线段相等，若它们在两个三角形中可考虑通过三角形全等来实现，若它们在同一个三角形中可考虑通过等角对等边来完成，学习了平行四边形后，证明线段相等又多了一条思路，可通过平行四边形对边相等来得到结论.
例2 如图2，已知E，F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，并且AE=CF求证：DE//BF.
简析：连接BE，DF，BD，AC与BD交于O点，如图3.根据平行四边形的性质AC与BD互相平分，OB=OD，OA=OC.又由AE=CF可得OE=OF.从而知
BD，EF互相平分，四边形DEBF为平行四边形，故DE//BF.
评析：之前我们证明两直线平行，往往通过同位角、内错角、同旁内角的关系来进行，方法较单一.学习了平行四边形后，证明两直线平行，可以通过证明有关的线段所在的四边形是平行四边形来处理，
二 角的相关证明
例3 如图4，在平行四边形ABCD中，AB=2BC，M为AB的中点.求证：∠DMC=90°.
解析：由AB=2BC和M为AB的中点，可知△AMD和△BMC都为等腰三角形.
从而有∠A=180°-2∠AMD.∠B=180°-2∠BMC.
又∠A+∠B=180°，故上两式相加可得∠AMD+∠BMC=90°.所以∠DMC=90°.
例4 如图5.已知△ABC是等边三角形，D，F分别是BC，ABL的点，且CD=BF.以AD为边作等边△ADE.
（l）求证：△ACD全等于△CBF
（2）点D在线段BC上的何处时，四边形CDEF是平行四边形？
简析：（1）由“边角边”易得△ACD全等于△CBF.
（2）、当点D是线段BC的中点时，四边形CDEF为平行四边形，理由如下：
如图6.连接BE.
因∠EAB+∠BAD=∠DAC+∠BAD=60°故∠EAB=∠DAC.
∴△ABE全等于△ACD（边角边）.
又△ACD全等于△CBF，故有△ABE全等于△CBF
∴EB=FB.∠EBA=∠ABC=60°.
∴△EFB为等边三角形.
∴EF=BF=CD.∠EFB=60°.
又∠ABC=60°，所以EF//BC.四边形CDEF为平行四边形（一组对边平行且相等）.
练习：
1.如图7，分别以△ABC的三边为边，在BC的同侧作等边△ABD，等边△BCE，等边△ACF连接DE，EF求证：四边形ADEF是平行四边形.
2.如图8，在平行四边形ABCD中，DB=DC，∠C=70°.AE⊥BD于E.求∠DAE的度数.
3.如图9。以Rt△ABC的直角边AC以及斜边AB为边向外作等边△ACD，等边△ABE.已知∠BAC=30°. EF⊥AB.垂足为F连接DF（1）试说明AC=EF； （2）求证：四边形ADFE是平行四边形，
参考答案：
1.∠BCA+∠ACE =60°=∠ACE+∠ECF.故∠BCA=∠ECF
∴△ABC全等于△FEC（边角边）.AB=EF.
又AB=AD，故AD=EF
同理可证ED=FA.
∴四边形ADEF是平行四边形.
2.DB=DC.故∠DBC=∠C=70°.
因DA//BC，故∠ADB=∠DBC=70°.
因AE⊥BD，则∠DAE=20°.
3.（1）可先证明△AEF全等于△BAC（角角边）.
（2）EF=AC=AD.又EF和AD都垂直于AB，因而它们平行.对边平行且相等的四边形为平行四边形.
一 线段的相关证明
例1 如图1，E，F分别是平行四边形ABCD的边AD，BC的中点.求证：BE=DF.
简析：根据平行四边形的性质得到AD∥BC，AD=BC.又因E，F为AD，BC的中点，则DE=BF根据对边平行且相等即可判定四边形DEBF为平行四边形，从而有BE=DF.
评析：证明两条线段相等，若它们在两个三角形中可考虑通过三角形全等来实现，若它们在同一个三角形中可考虑通过等角对等边来完成，学习了平行四边形后，证明线段相等又多了一条思路，可通过平行四边形对边相等来得到结论.
例2 如图2，已知E，F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，并且AE=CF求证：DE//BF.
简析：连接BE，DF，BD，AC与BD交于O点，如图3.根据平行四边形的性质AC与BD互相平分，OB=OD，OA=OC.又由AE=CF可得OE=OF.从而知
BD，EF互相平分，四边形DEBF为平行四边形，故DE//BF.
评析：之前我们证明两直线平行，往往通过同位角、内错角、同旁内角的关系来进行，方法较单一.学习了平行四边形后，证明两直线平行，可以通过证明有关的线段所在的四边形是平行四边形来处理，
二 角的相关证明
例3 如图4，在平行四边形ABCD中，AB=2BC，M为AB的中点.求证：∠DMC=90°.
解析：由AB=2BC和M为AB的中点，可知△AMD和△BMC都为等腰三角形.
从而有∠A=180°-2∠AMD.∠B=180°-2∠BMC.
又∠A+∠B=180°，故上两式相加可得∠AMD+∠BMC=90°.所以∠DMC=90°.
例4 如图5.已知△ABC是等边三角形，D，F分别是BC，ABL的点，且CD=BF.以AD为边作等边△ADE.
（l）求证：△ACD全等于△CBF
（2）点D在线段BC上的何处时，四边形CDEF是平行四边形？
简析：（1）由“边角边”易得△ACD全等于△CBF.
（2）、当点D是线段BC的中点时，四边形CDEF为平行四边形，理由如下：
如图6.连接BE.
因∠EAB+∠BAD=∠DAC+∠BAD=60°故∠EAB=∠DAC.
∴△ABE全等于△ACD（边角边）.
又△ACD全等于△CBF，故有△ABE全等于△CBF
∴EB=FB.∠EBA=∠ABC=60°.
∴△EFB为等边三角形.
∴EF=BF=CD.∠EFB=60°.
又∠ABC=60°，所以EF//BC.四边形CDEF为平行四边形（一组对边平行且相等）.
练习：
1.如图7，分别以△ABC的三边为边，在BC的同侧作等边△ABD，等边△BCE，等边△ACF连接DE，EF求证：四边形ADEF是平行四边形.
2.如图8，在平行四边形ABCD中，DB=DC，∠C=70°.AE⊥BD于E.求∠DAE的度数.
3.如图9。以Rt△ABC的直角边AC以及斜边AB为边向外作等边△ACD，等边△ABE.已知∠BAC=30°. EF⊥AB.垂足为F连接DF（1）试说明AC=EF； （2）求证：四边形ADFE是平行四边形，
参考答案：
1.∠BCA+∠ACE =60°=∠ACE+∠ECF.故∠BCA=∠ECF
∴△ABC全等于△FEC（边角边）.AB=EF.
又AB=AD，故AD=EF
同理可证ED=FA.
∴四边形ADEF是平行四边形.
2.DB=DC.故∠DBC=∠C=70°.
因DA//BC，故∠ADB=∠DBC=70°.
因AE⊥BD，则∠DAE=20°.
3.（1）可先证明△AEF全等于△BAC（角角边）.
（2）EF=AC=AD.又EF和AD都垂直于AB，因而它们平行.对边平行且相等的四边形为平行四边形.