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【摘要】课程标准指出：数学学习活动应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程.“圆锥的体积”一课重在对体积公式推导过程的探究.学生通过观察、比较圆柱和圆锥的特点，建立二者之间的初步联系，进而提出猜想，设计方案，在动手实践中得出圆锥的体积公式并进行运用.学生在学习过程中不断地进行质疑互动、自我领悟，使自身的数学活动经验从粗略走向细致，从浅显走向深刻.
【关键词】圆锥体积;数学基本思想;数学基本活动经验
“圆锥的体积”一课被编排在“圆柱”这一知识内容之后，因此学生已经了解了圆柱体积的推导过程.教材对于圆锥体积推导过程的编写是非常系统且完整的，遵循的是“提出问题—唤醒经验—建立联系—实验操作—推导公式—应用公式”的教和学的过程，其呈现方式是先提出问题“我们已经会计算圆柱的体积，那如何计算圆锥的体积呢？”逐步引导学生建立圆柱与圆锥的关系，并设计了一组探究实验：准备等底等高的圆柱、圆锥形容器，用倒沙法或倒水法进行探究，发现两者之间的体积关系，进而得出圆锥的体积公式.
一、教学前议
通过仔细阅读教材可以发现这样一个问题：教材在编排圆锥体积公式的推导过程中，“圆柱”这个点有着非常明显的先入为主的感觉，其与圆锥的联系以及实验的设计似乎都来自教材编者，而不是学生在思维碰撞和遴选甄别中得来的.如果教师不加思考、平铺直叙地将教材流程走完，那么学生对圆锥体积的认识就是肤浅的，获取的数学经验也是空洞的.当然，教材的编排一定是编者经过深思熟虑的，可以照顾到大多数学生的情况，故教材承载的是一般的、普遍的教学建议.但對于学生来说，实验对象的确定、器材的优化、探究方法的确立都应该是在探究过程中遇到问题后逐步了解的.因此，教师在教学过程中发展学生的数学情感、增强数学活动经验、渗透数学思想是很有必要的.
整体上来说，本节课从观察猜想、制订方案，再到实验探究、推导公式都是在教师的引导下，学生主动地去合作探究，亲身经历完整的圆锥体积的学习过程.
首先，引导学生思考为什么要学习圆锥的体积.数学知识来源于生活，运用于生活，要让学生明白学习圆锥的体积是因为生产、生活的需要.
其次，自主选择关系.教学中，教师应充分尊重学生已有的知识经验，放手让学生联想、回忆长方体、正方体、圆柱（重点演示）的体积探究过程，唤醒学生的已有经验，体会“转化”的数学思想.学生通过自身经验很自然地在已有的知识中搜索与圆锥有关的立体图形——圆柱.教师通过以往的教学经验可以发现：很多数学知识在学生脑海中的建立，就是引导学生自主发现数学知识间的紧密联系.
再次，自主分析关系.教师引导学生自主选择实验工具，让学生感受到控制变量的意义，明晰为何选择等底等高的圆柱、圆锥来进行实验，使学生经历一系列的遴选、质疑、推理、验证的过程，理解数学知识一般与特殊的关系，在思辨中逐步获得理性分析的经验.
然后，自主发现体积的计算方法.在本节课中，教师应鼓励学生大胆“发明”圆锥体积的计算公式，让学生自主制订实验方案去验证圆柱与圆锥的关系，最后得出圆锥体积的计算公式.学生在积累数学活动经验的同时，将圆锥体积公式的“数”与圆锥的“形”合二为一地进行思考，为思维发展提供足够的空间.这样，学生对于圆锥体积的认识将是动态的、立体的、有层次的.
最后，完整回顾探究历程.对于学生来说，一次数学探究活动后能用自己的话说清楚学习的过程是很重要的，特别是经历了面积、体积等知识的学习后，有一次完整的回顾与总结是非常有必要的，既加深对当堂知识点的理解，又有助于数学思想方法的渗透，培养了科学严谨的探究精神.
二、教学片段剖析
学生已有的经验犹如源头的“活水”.在探究活动中，教师应遵循学生学习的自然路径，“引流”得当.
（一）情境导入，唤醒经验
1.（出示圆锥形的沙堆）建筑工地上有一个圆锥形的沙堆，你能想办法知道它有多少立方米的沙子吗？有多少立方米的沙子就是求什么？（板书课题）今天我们就来探究圆锥的体积.
2.提问：我们在之前学习过哪些立体图形的体积？（长方体、正方体、圆柱）
3.回忆圆柱体积公式的推导过程.（PPT动画演示，意在唤醒“转化”）
4.继续回忆转化前后的关系.（意在提取“等底、等高”）
提问：转化后的长方体与圆柱有哪些相等的关系？（二者底面积相等、高相等，圆柱底面的半径等于长方体的宽，圆柱底面周长的一半等于长方体的长）
【设计意图】通过重点回顾圆柱体积公式的推导过程，明确“转化”的数学思想方法，使学生感受转化前后的联系，唤醒学生相应的学习经验，为探究新知做好铺垫.
（二）实验操作，探究新知
1.明确问题
圆锥的体积与它的底面积和高有怎样的关系？
2.选择实验对象
师：（出示图片）这是我们要研究的立体图形，这些圆柱和圆锥如果要你来挑，你会挑哪一组圆柱和圆锥来研究呢？先独立思考，然后在小组内交流你的看法.
预设1：选①号圆锥和②号圆柱比较合理，这两个图形的底面积和高一样大，大小差异小一些.
预设2：我们觉得选⑤号圆锥和⑥号圆柱也行，这两个图形的底面积和高也是一样的.
追问：为什么不选择①号圆锥与③号、④号、⑥号、⑦号圆柱中的一个来研究呢？
预设3：这几组圆柱和圆锥，有些等底不等高，有些等高不等底，有些既不等高也不等底，不太方便研究，实验的结果会出现很多情况，不好比较.
3.明确的沙子用途，制订实验方案
提问：教师提供的实验用品中的沙子有什么用处？
预设：圆锥里装满沙子，倒入圆柱内;或者圆柱里装满沙子，倒入圆锥里，看能倒几次. 【设计意图】学生通过观察、比较，自主选择实验工具，明确控制变量在对比实验时能直观地对实验数据进行分析，培养科学探究精神的同时，突破为什么选择等底等高的圆柱和圆锥来研究的难点.教师适时引入倒沙法，引导学生制订实验方案.
4.分组实验，汇报交流
（1）分组实验：
①号圆锥和②号圆柱;
⑤号圆锥和⑥号圆柱;
①号圆锥和③号圆柱;
①号圆锥和④号圆柱;
①号圆锥和⑥号圆柱.
（发放实验器材，每个小组不同）
（2）实验思考：
①你们组拿到的是一组怎样的圆锥与圆柱？
②通过实验，你们发现这组圆锥和圆柱的体积之间有怎样的关系？
（3）汇报交流：
等底等高的圆锥和圆柱中，圆锥体积是圆柱体积的1/3.
【设计意图】通过操作实验、师生交流得出结论：当圆柱与圆锥等底等高时，圆锥的体积是圆柱体积的三分之一，这一关系不受大小的影响，是普遍存在的.而非等底等高圆柱与圆锥体积的关系却有多种情况.这是选择等底等高的圆柱和圆锥进行研究的原因之一.
5.推导圆锥体积公式
（1）思考：选择哪个实验结论来推导圆锥的体积公式呢？
（2）推导：如何计算圆锥的体积？
（3）理解：S，h，Sh分别表示什么？
追问：为什么要乘1/3？
（4）质疑：为什么不运用不等底等高的这两组实验来推导？
【设计意图】实验汇报交流后，通过选择、推理等活动，学生经历完整的圆锥体积公式的推导过程.学生通过质疑，一方面加深对圆锥体积计算方法的认知，另一方面更深入地理解选择等底等高的圆柱与圆锥进行研究的原因，积累相应的数学活动经验.
（三）回顾过程，积累经验
提问：谁来回顾一下，刚才我们是怎样推导出圆锥體积公式的？
预设：观察猜想—制订方案—实验探究—推导公式.
【设计意图】学生经历完整的圆锥体积公式的推导过程后，对整个学习过程做一个完整的回顾是很有必要的，一方面加深对本课知识的理解，另一方面对于积累相应的数学活动经验有很大助力.
（四）运用结论，提升能力
例3及相关习题.
三、教学后记
数学学习活动应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程.在教学中，教师要巧妙地唤醒学生的已有经验，由浅入深、循序渐进地进行引导设疑，让学生主动融入教学全过程中来.在讨论选择不同的实验器材时，可能引发不同观点的争论，这有利于培养学生的科学探究素养，使学生在质疑中不断产生再思考、再求证的内在需求.在整个圆锥体积的研究过程中，学生参与数学活动的热情、探究和发现数学结论的欲望都被有效激发，学生的实践能力、数学思维能力也得到充分的发展与提升.
“圆锥的体积”一课的逻辑主线显然不在体积的计算方法，而在于体积公式推导的教学过程.教师应该遵循学生获取知识的一般路径，在已有知识的基础上，引导学生主动发现问题、提出猜想、动手实验、获得结论、实践运用，让学生在掌握知识的同时，获得相应的数学活动经验，感悟数学思想方法，体验数学的价值，提高分析和解决问题的能力，最后获得数学情感上的升华.
对于学生来说，合适的才是最好的.对于一节课来说，怎样才是合适的呢？当教师把结论性的知识通过独到的教学视角还原成它的本来面貌，让学生亲历知识的发现和形成过程，体会数学思想，并为以后的学习积累活动经验时，这样的课堂才是有生命的，才是最合适的！
【参考文献】
[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.
[2]王林.我国目前数学活动经验研究综述[J].课程·教材·教法，2011，31（6）：43-49.
[3]范卫芳.促进数学基本活动经验积累的教学策略研究[D].上海：上海师范大学，2018.
[4]史宁中，柳海民.素质教育的根本目的与实施路径[J].教育研究，2007（8）：11-14.
【关键词】圆锥体积;数学基本思想;数学基本活动经验
“圆锥的体积”一课被编排在“圆柱”这一知识内容之后，因此学生已经了解了圆柱体积的推导过程.教材对于圆锥体积推导过程的编写是非常系统且完整的，遵循的是“提出问题—唤醒经验—建立联系—实验操作—推导公式—应用公式”的教和学的过程，其呈现方式是先提出问题“我们已经会计算圆柱的体积，那如何计算圆锥的体积呢？”逐步引导学生建立圆柱与圆锥的关系，并设计了一组探究实验：准备等底等高的圆柱、圆锥形容器，用倒沙法或倒水法进行探究，发现两者之间的体积关系，进而得出圆锥的体积公式.
一、教学前议
通过仔细阅读教材可以发现这样一个问题：教材在编排圆锥体积公式的推导过程中，“圆柱”这个点有着非常明显的先入为主的感觉，其与圆锥的联系以及实验的设计似乎都来自教材编者，而不是学生在思维碰撞和遴选甄别中得来的.如果教师不加思考、平铺直叙地将教材流程走完，那么学生对圆锥体积的认识就是肤浅的，获取的数学经验也是空洞的.当然，教材的编排一定是编者经过深思熟虑的，可以照顾到大多数学生的情况，故教材承载的是一般的、普遍的教学建议.但對于学生来说，实验对象的确定、器材的优化、探究方法的确立都应该是在探究过程中遇到问题后逐步了解的.因此，教师在教学过程中发展学生的数学情感、增强数学活动经验、渗透数学思想是很有必要的.
整体上来说，本节课从观察猜想、制订方案，再到实验探究、推导公式都是在教师的引导下，学生主动地去合作探究，亲身经历完整的圆锥体积的学习过程.
首先，引导学生思考为什么要学习圆锥的体积.数学知识来源于生活，运用于生活，要让学生明白学习圆锥的体积是因为生产、生活的需要.
其次，自主选择关系.教学中，教师应充分尊重学生已有的知识经验，放手让学生联想、回忆长方体、正方体、圆柱（重点演示）的体积探究过程，唤醒学生的已有经验，体会“转化”的数学思想.学生通过自身经验很自然地在已有的知识中搜索与圆锥有关的立体图形——圆柱.教师通过以往的教学经验可以发现：很多数学知识在学生脑海中的建立，就是引导学生自主发现数学知识间的紧密联系.
再次，自主分析关系.教师引导学生自主选择实验工具，让学生感受到控制变量的意义，明晰为何选择等底等高的圆柱、圆锥来进行实验，使学生经历一系列的遴选、质疑、推理、验证的过程，理解数学知识一般与特殊的关系，在思辨中逐步获得理性分析的经验.
然后，自主发现体积的计算方法.在本节课中，教师应鼓励学生大胆“发明”圆锥体积的计算公式，让学生自主制订实验方案去验证圆柱与圆锥的关系，最后得出圆锥体积的计算公式.学生在积累数学活动经验的同时，将圆锥体积公式的“数”与圆锥的“形”合二为一地进行思考，为思维发展提供足够的空间.这样，学生对于圆锥体积的认识将是动态的、立体的、有层次的.
最后，完整回顾探究历程.对于学生来说，一次数学探究活动后能用自己的话说清楚学习的过程是很重要的，特别是经历了面积、体积等知识的学习后，有一次完整的回顾与总结是非常有必要的，既加深对当堂知识点的理解，又有助于数学思想方法的渗透，培养了科学严谨的探究精神.
二、教学片段剖析
学生已有的经验犹如源头的“活水”.在探究活动中，教师应遵循学生学习的自然路径，“引流”得当.
（一）情境导入，唤醒经验
1.（出示圆锥形的沙堆）建筑工地上有一个圆锥形的沙堆，你能想办法知道它有多少立方米的沙子吗？有多少立方米的沙子就是求什么？（板书课题）今天我们就来探究圆锥的体积.
2.提问：我们在之前学习过哪些立体图形的体积？（长方体、正方体、圆柱）
3.回忆圆柱体积公式的推导过程.（PPT动画演示，意在唤醒“转化”）
4.继续回忆转化前后的关系.（意在提取“等底、等高”）
提问：转化后的长方体与圆柱有哪些相等的关系？（二者底面积相等、高相等，圆柱底面的半径等于长方体的宽，圆柱底面周长的一半等于长方体的长）
【设计意图】通过重点回顾圆柱体积公式的推导过程，明确“转化”的数学思想方法，使学生感受转化前后的联系，唤醒学生相应的学习经验，为探究新知做好铺垫.
（二）实验操作，探究新知
1.明确问题
圆锥的体积与它的底面积和高有怎样的关系？
2.选择实验对象
师：（出示图片）这是我们要研究的立体图形，这些圆柱和圆锥如果要你来挑，你会挑哪一组圆柱和圆锥来研究呢？先独立思考，然后在小组内交流你的看法.
预设1：选①号圆锥和②号圆柱比较合理，这两个图形的底面积和高一样大，大小差异小一些.
预设2：我们觉得选⑤号圆锥和⑥号圆柱也行，这两个图形的底面积和高也是一样的.
追问：为什么不选择①号圆锥与③号、④号、⑥号、⑦号圆柱中的一个来研究呢？
预设3：这几组圆柱和圆锥，有些等底不等高，有些等高不等底，有些既不等高也不等底，不太方便研究，实验的结果会出现很多情况，不好比较.
3.明确的沙子用途，制订实验方案
提问：教师提供的实验用品中的沙子有什么用处？
预设：圆锥里装满沙子，倒入圆柱内;或者圆柱里装满沙子，倒入圆锥里，看能倒几次. 【设计意图】学生通过观察、比较，自主选择实验工具，明确控制变量在对比实验时能直观地对实验数据进行分析，培养科学探究精神的同时，突破为什么选择等底等高的圆柱和圆锥来研究的难点.教师适时引入倒沙法，引导学生制订实验方案.
4.分组实验，汇报交流
（1）分组实验：
①号圆锥和②号圆柱;
⑤号圆锥和⑥号圆柱;
①号圆锥和③号圆柱;
①号圆锥和④号圆柱;
①号圆锥和⑥号圆柱.
（发放实验器材，每个小组不同）
（2）实验思考：
①你们组拿到的是一组怎样的圆锥与圆柱？
②通过实验，你们发现这组圆锥和圆柱的体积之间有怎样的关系？
（3）汇报交流：
等底等高的圆锥和圆柱中，圆锥体积是圆柱体积的1/3.
【设计意图】通过操作实验、师生交流得出结论：当圆柱与圆锥等底等高时，圆锥的体积是圆柱体积的三分之一，这一关系不受大小的影响，是普遍存在的.而非等底等高圆柱与圆锥体积的关系却有多种情况.这是选择等底等高的圆柱和圆锥进行研究的原因之一.
5.推导圆锥体积公式
（1）思考：选择哪个实验结论来推导圆锥的体积公式呢？
（2）推导：如何计算圆锥的体积？
（3）理解：S，h，Sh分别表示什么？
追问：为什么要乘1/3？
（4）质疑：为什么不运用不等底等高的这两组实验来推导？
【设计意图】实验汇报交流后，通过选择、推理等活动，学生经历完整的圆锥体积公式的推导过程.学生通过质疑，一方面加深对圆锥体积计算方法的认知，另一方面更深入地理解选择等底等高的圆柱与圆锥进行研究的原因，积累相应的数学活动经验.
（三）回顾过程，积累经验
提问：谁来回顾一下，刚才我们是怎样推导出圆锥體积公式的？
预设：观察猜想—制订方案—实验探究—推导公式.
【设计意图】学生经历完整的圆锥体积公式的推导过程后，对整个学习过程做一个完整的回顾是很有必要的，一方面加深对本课知识的理解，另一方面对于积累相应的数学活动经验有很大助力.
（四）运用结论，提升能力
例3及相关习题.
三、教学后记
数学学习活动应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程.在教学中，教师要巧妙地唤醒学生的已有经验，由浅入深、循序渐进地进行引导设疑，让学生主动融入教学全过程中来.在讨论选择不同的实验器材时，可能引发不同观点的争论，这有利于培养学生的科学探究素养，使学生在质疑中不断产生再思考、再求证的内在需求.在整个圆锥体积的研究过程中，学生参与数学活动的热情、探究和发现数学结论的欲望都被有效激发，学生的实践能力、数学思维能力也得到充分的发展与提升.
“圆锥的体积”一课的逻辑主线显然不在体积的计算方法，而在于体积公式推导的教学过程.教师应该遵循学生获取知识的一般路径，在已有知识的基础上，引导学生主动发现问题、提出猜想、动手实验、获得结论、实践运用，让学生在掌握知识的同时，获得相应的数学活动经验，感悟数学思想方法，体验数学的价值，提高分析和解决问题的能力，最后获得数学情感上的升华.
对于学生来说，合适的才是最好的.对于一节课来说，怎样才是合适的呢？当教师把结论性的知识通过独到的教学视角还原成它的本来面貌，让学生亲历知识的发现和形成过程，体会数学思想，并为以后的学习积累活动经验时，这样的课堂才是有生命的，才是最合适的！
【参考文献】
[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.
[2]王林.我国目前数学活动经验研究综述[J].课程·教材·教法，2011，31（6）：43-49.
[3]范卫芳.促进数学基本活动经验积累的教学策略研究[D].上海：上海师范大学，2018.
[4]史宁中，柳海民.素质教育的根本目的与实施路径[J].教育研究，2007（8）：11-14.