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一、问题的提出
非对称加密技术是电子商务安全的基础，是电子商务安全课程的教学重点。笔者查阅许多电子商务安全教材、网络安全教材，发现这些教材过于注重理论，涉及具体操作较少，内容不够通俗易懂。笔者认为，学生掌握非对称加密技术，需要学习以下四个方面：图形直观认识、
RSA File演示软件直观操作、RSA算法直接计算、PGP的实际应用。
二、非对称加密图形直观认识
非对称密码体制也叫公钥加密技术，该技术就是针对私钥密码体制的缺陷提出来的。在公钥加密系统中，加密和解密会使用两把不同的密钥，加密密钥(公开密钥)向公众公开，解密密钥(秘密密钥)只有解密人自己知道，非法使用者根据公开的加密密钥无法推算出解密密钥，顾其可称为公钥密码体制。非对称密码体制的加密模型如图所示。
非对称加密的优势：一方面解决了大规模网络应用中密钥的分发和管理问题。如采用对称加密进行网络通信，N个用户需要使用N（N-1）／2个密钥，而采用对称加密体制，N个用户只需要N对密钥。另一方面实现网络中的数字签名。对称加密技术由于其自身的局限性，无法提供网络中的数字签名。公钥加密技术由于存在一对公钥和私钥，私钥可以表征惟一性和私有性，而且经私钥加密的数据只能用与之对应的公钥来验证，其他人无法仿冒。
三、RSA File演示软件直观操作
利用一款RSA File演示软件可向学生直观展示非对称加密解密过程。其步骤如下：
第一，点击图标，生成密钥对，公钥保存为1.puk，私钥保存为2.prk。
第二，新建RSA.txt文本，输入内容“RSA演示”。
第三，点击加密图标，装载公钥1.puk，然后载入明文文件RSA.txt，点击加密文件按钮，生成密文“RSA.txt.enc”。若将密文扩展名改为TXT，打开将全是乱码。
第四，点击解密图标，装载私钥2.prk，然后载入密文文件RSA.txt.enc，点击解密文件按钮，生成明文“RSA.dec.txt”。
第五，对比“RSA.txt”和“RSA.dec.txt”文本内容一致。
通过RSA File演示软件操作，学生对密钥对的生成，加密解密操作基本掌握，但对于用公钥加密，用私钥解密这一现象还是不明白，此时还需通过RSA算法来进一步解释。
四、RSA算法直接计算
RSA算法基于一个十分简单的数论事实：将两个大素数相乘十分容易，但想要对其乘积进行因式分解却极其困难，因此可以将乘积公开作为加密密钥。
1.RSA加密算法
（1）选取两个大素数p和q，并计算乘积N（N=pq）。
（2）任意选取一个大整数e，e与ф（N）＝(p-1)*(q-1)互质，整数e用作加密密钥。
（3）确定解密密钥d，由d*e=1 mod((p-1)*(q-1))，根据e，p和q可以容易地计算出d；
（4）若用整数X表示明文，整数Y表示密文（X，Y均小于N），则加解密运算为：
加密：Y = Xe mod N
解密：X = Yd mod N
注意，其中d和N也互素。e和N是公开密钥，d是秘密密钥。两个素数p和q保密。
2.相关数学背景知识
（1）素数：素数是一大于1，且只能被1和这个数本身整除的整数。素数是无限的。例如，2，3，5，7……等。
（2）两个数互为素数：指的是它们除了1之外没有共同的因子。也可以说这两个数的最大公因子是1。例如：4和9、13和27等。
（3）模变换：两个数相模，如A模N运算，它给出了A的余数，余数是从0到N-1的某个整数，这种运算称为模运算。
3.算法的具体实现
（1）为了方便计算，我们选取素数p=3和q=11，则N=pq =3*11=33。
（2）ф（N）=（p-1）（q-1）=2*10=20。
（3）从[0，ф（N）-1]中，即[0，19]之间任意选取加密密钥e = 3，且e和ф（N）互素。
（4）求解密密钥d。将公式ed=1modф（N）转换成形式ed=k*ф（N）+1，即3d=k*20+1，将0，1，2，3…依次代入k，求出d。
取k=0，得d=1／3；不满足d为整数；
取k=1，得d=7；满足d为整数条件；
取k＝2时，得d=41／3，不满足d为整数；
取k＝3时，得d=61／3，不满足d为整数条件；
取k＝4时，得d=81／3＝27，满足d为整数条件；
……
若明文X＝15，N=33，e=3，d=7，
加密：Y=Xe mod N= 153 mod 33=9
解密：X=Yd mod N = 97 mod 33= 15
也可取d=27，通过电脑附件中的计算器计算如下：
解密：X=Yd mod N=927 mod 33= 58149737003040059690390169 mod 33=15
通过手工计算RSA加密算法，让学生更直观更深层理解非对称加密原理。
RSA的安全来源于N足够大，我们测试中使用的N是非常小的，根本不能保障安全性，当前小于1024位的N已经被证明是不安全的，最好使用2048位的。通过一款“攻击RSA算法－分解n-求素数因子”软件可以快速实现因式分解，为获得足够大的N及D 、E，我们可以通过RSAKit、RSATool之类的工具测试。
RSA简捷，但计算速度比较慢，通常加密中并不是直接使用RSA来对所有的信息进行加密，最常见的情况是随机产生一个对称加密的密钥，然后使用对称加密算法对信息加密，之后用RSA对刚才的加密密钥进行加密。
五、PGP的实际应用
PGP是美国PGP公司开发的基于RSA公开密钥体制的邮件加密软件，在电子商务事务中得到广泛的应用。付费的PGP个人版软件可实现邮件加密解密，这里采用免费的PGP8.1汉化版实现对文件的加密解密、签名及验证签名。具体操作如下：
第一，启动PGP Key，创建学生密钥对xues@21cn.com，并导出公钥。
第二，导入老师的公钥“laoshi公钥.asc”。
第三，新建Word文档，录入文本“我是××号学生，完成PGP作业”→复制文本→打开PGPmail中的“加签并签名”图标→选择剪贴板→选择接收人laoshi@21cn.com→输入自己的密码→确定。
第四，将结果粘贴到文本中提交上来、同时还要提交学生的公钥。
老师导入自己的私钥，选择PGPmail中的“解密／效验”图标，输入自己的密码解密文本，实现对接收者身份的验证；若导入学生的公钥，则显示签名者的信息，实现对发送者身份的验证。
通过PGP的实际应用，利用两个密钥实现对发送方和接收方身份的认证问题，让学生掌握非对称加密技术。
通过图形、实操、算法分析、实际应用由浅入深，由理论到实践不断深化学习非对称加密技术。
（作者单位：广东省高级技工学校）
非对称加密技术是电子商务安全的基础，是电子商务安全课程的教学重点。笔者查阅许多电子商务安全教材、网络安全教材，发现这些教材过于注重理论，涉及具体操作较少，内容不够通俗易懂。笔者认为，学生掌握非对称加密技术，需要学习以下四个方面：图形直观认识、
RSA File演示软件直观操作、RSA算法直接计算、PGP的实际应用。
二、非对称加密图形直观认识
非对称密码体制也叫公钥加密技术，该技术就是针对私钥密码体制的缺陷提出来的。在公钥加密系统中，加密和解密会使用两把不同的密钥，加密密钥(公开密钥)向公众公开，解密密钥(秘密密钥)只有解密人自己知道，非法使用者根据公开的加密密钥无法推算出解密密钥，顾其可称为公钥密码体制。非对称密码体制的加密模型如图所示。
非对称加密的优势：一方面解决了大规模网络应用中密钥的分发和管理问题。如采用对称加密进行网络通信，N个用户需要使用N（N-1）／2个密钥，而采用对称加密体制，N个用户只需要N对密钥。另一方面实现网络中的数字签名。对称加密技术由于其自身的局限性，无法提供网络中的数字签名。公钥加密技术由于存在一对公钥和私钥，私钥可以表征惟一性和私有性，而且经私钥加密的数据只能用与之对应的公钥来验证，其他人无法仿冒。
三、RSA File演示软件直观操作
利用一款RSA File演示软件可向学生直观展示非对称加密解密过程。其步骤如下：
第一，点击图标，生成密钥对，公钥保存为1.puk，私钥保存为2.prk。
第二，新建RSA.txt文本，输入内容“RSA演示”。
第三，点击加密图标，装载公钥1.puk，然后载入明文文件RSA.txt，点击加密文件按钮，生成密文“RSA.txt.enc”。若将密文扩展名改为TXT，打开将全是乱码。
第四，点击解密图标，装载私钥2.prk，然后载入密文文件RSA.txt.enc，点击解密文件按钮，生成明文“RSA.dec.txt”。
第五，对比“RSA.txt”和“RSA.dec.txt”文本内容一致。
通过RSA File演示软件操作，学生对密钥对的生成，加密解密操作基本掌握，但对于用公钥加密，用私钥解密这一现象还是不明白，此时还需通过RSA算法来进一步解释。
四、RSA算法直接计算
RSA算法基于一个十分简单的数论事实：将两个大素数相乘十分容易，但想要对其乘积进行因式分解却极其困难，因此可以将乘积公开作为加密密钥。
1.RSA加密算法
（1）选取两个大素数p和q，并计算乘积N（N=pq）。
（2）任意选取一个大整数e，e与ф（N）＝(p-1)*(q-1)互质，整数e用作加密密钥。
（3）确定解密密钥d，由d*e=1 mod((p-1)*(q-1))，根据e，p和q可以容易地计算出d；
（4）若用整数X表示明文，整数Y表示密文（X，Y均小于N），则加解密运算为：
加密：Y = Xe mod N
解密：X = Yd mod N
注意，其中d和N也互素。e和N是公开密钥，d是秘密密钥。两个素数p和q保密。
2.相关数学背景知识
（1）素数：素数是一大于1，且只能被1和这个数本身整除的整数。素数是无限的。例如，2，3，5，7……等。
（2）两个数互为素数：指的是它们除了1之外没有共同的因子。也可以说这两个数的最大公因子是1。例如：4和9、13和27等。
（3）模变换：两个数相模，如A模N运算，它给出了A的余数，余数是从0到N-1的某个整数，这种运算称为模运算。
3.算法的具体实现
（1）为了方便计算，我们选取素数p=3和q=11，则N=pq =3*11=33。
（2）ф（N）=（p-1）（q-1）=2*10=20。
（3）从[0，ф（N）-1]中，即[0，19]之间任意选取加密密钥e = 3，且e和ф（N）互素。
（4）求解密密钥d。将公式ed=1modф（N）转换成形式ed=k*ф（N）+1，即3d=k*20+1，将0，1，2，3…依次代入k，求出d。
取k=0，得d=1／3；不满足d为整数；
取k=1，得d=7；满足d为整数条件；
取k＝2时，得d=41／3，不满足d为整数；
取k＝3时，得d=61／3，不满足d为整数条件；
取k＝4时，得d=81／3＝27，满足d为整数条件；
……
若明文X＝15，N=33，e=3，d=7，
加密：Y=Xe mod N= 153 mod 33=9
解密：X=Yd mod N = 97 mod 33= 15
也可取d=27，通过电脑附件中的计算器计算如下：
解密：X=Yd mod N=927 mod 33= 58149737003040059690390169 mod 33=15
通过手工计算RSA加密算法，让学生更直观更深层理解非对称加密原理。
RSA的安全来源于N足够大，我们测试中使用的N是非常小的，根本不能保障安全性，当前小于1024位的N已经被证明是不安全的，最好使用2048位的。通过一款“攻击RSA算法－分解n-求素数因子”软件可以快速实现因式分解，为获得足够大的N及D 、E，我们可以通过RSAKit、RSATool之类的工具测试。
RSA简捷，但计算速度比较慢，通常加密中并不是直接使用RSA来对所有的信息进行加密，最常见的情况是随机产生一个对称加密的密钥，然后使用对称加密算法对信息加密，之后用RSA对刚才的加密密钥进行加密。
五、PGP的实际应用
PGP是美国PGP公司开发的基于RSA公开密钥体制的邮件加密软件，在电子商务事务中得到广泛的应用。付费的PGP个人版软件可实现邮件加密解密，这里采用免费的PGP8.1汉化版实现对文件的加密解密、签名及验证签名。具体操作如下：
第一，启动PGP Key，创建学生密钥对xues@21cn.com，并导出公钥。
第二，导入老师的公钥“laoshi公钥.asc”。
第三，新建Word文档，录入文本“我是××号学生，完成PGP作业”→复制文本→打开PGPmail中的“加签并签名”图标→选择剪贴板→选择接收人laoshi@21cn.com→输入自己的密码→确定。
第四，将结果粘贴到文本中提交上来、同时还要提交学生的公钥。
老师导入自己的私钥，选择PGPmail中的“解密／效验”图标，输入自己的密码解密文本，实现对接收者身份的验证；若导入学生的公钥，则显示签名者的信息，实现对发送者身份的验证。
通过PGP的实际应用，利用两个密钥实现对发送方和接收方身份的认证问题，让学生掌握非对称加密技术。
通过图形、实操、算法分析、实际应用由浅入深，由理论到实践不断深化学习非对称加密技术。
（作者单位：广东省高级技工学校）