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【摘要】我们在平面波扩展及超元胞方法的基础上，提出了光子晶体光纤缺陷模的一种详细的计算方法。在此方法中我们利用光子晶体光纤结构的对称性设计算法，有效的降低了计算量和计算耗时。在三角晶格的光子晶体光纤的特定例子中，我们用该方法在其中一个光子带隙中成功获得了缺陷模。
【关键词】光子晶体光纤；平面波展开；超元胞技术；缺陷模
1.引言
光子晶体，也被称为光子微结构或光子带隙结构，在全光通信系统中类似于电子半导体[1-6]。光子晶体最初的工作集中于三维对称性材料，随后人们感兴趣的范围同样扩展到了包括沿第三方向连续对称的两维系统及由于缺陷或表面波使对称性被打破的二维和三维系统[3]。研究表明，对任何有带隙的光子晶体，可以通过引入缺陷从而在光子晶体带隙（PBG）[4]中实现对某个频率（或某些频率）的局域态。在带隙中局域态的性质和形状将决于缺陷的性质。点缺陷能够起微腔一样的作用，线缺陷像波导，平面缺陷则形成平面波导。
从基于光子晶体的技术应用的观点来看，光子晶体光纤是常用的一种。光子晶体光纤一般是沿光纤长度方向设计带周期阵列空气孔的结构。如果中心孔不存在时，形成高折射率的中心“缺陷”。在周期性结构受到排斥的光只能沿内核缺陷传播。与常规光纤相比，光子晶体光纤已经被证明具有非常不寻常的特性[5，6]。例如，在纯净石英和传统单模光纤的正常群速度色散波长处可以获得反常色散，从而实现光孤子传输和超宽带白光[7]。对光子晶体光纤需要建立有效的研究方法[8-20]，包括平面波扩展法[8-10]、精确的格林函数法[11]、转移矩阵法[12]以及时域有限差分（FDTD）法。所有这些方法都是基于一种超元胞技术，即缺陷被置于每个具有足够大尺寸的重复的超级晶格中。换句话说，是把一个带缺陷的周期单元引入结构而不是设计单一的缺陷。因此，为避免缺陷之间的干扰，超级晶格单元应足够大。从而计算时间随着系统的尺寸增加而增大。对于平面波扩展法尤为如此，其计算时间按N3次序增长，其中N是系统的尺寸。
本文我们研究光子晶体光纤的缺陷模式。我们提出基于超元胞技术及平面波扩展的计算方法。由于系统的大尺寸，减少计算时间变得非常关键。在计算中我们利用了光子晶体光纤结构的对称性，对传统的方法进行了改进，有效的减少了计算时间。
对于完整周期结构中的光子带结构和缺陷模的计算，平面波扩展法是最广泛使用的方法。此方法通过解电磁场全矢量波方程来实现。通过它可以确定光子晶体的光子带结构以及缺陷模的位置[21-23]。
2.改进的平面波算法
3.无穷大系统的构造
如上所述，为计算光子晶体光纤的缺陷模，我们必须使用超元胞技术，将光子晶体光纤作为大的二维周期结构的一个超级WS单胞。图1显示了该单胞结构。我们的计算系统可以描述为一个由二维平移向量R=ma1+na2给出的三角晶格点周期阵列。每个晶格点存在一个超级WS单胞，该周期阵列一般称为超晶格。超级WS单胞里面包括多个处于pi=xia1+yia2位置的被称为“原子”的介电圆柱体，此时0≤xi，yi<1。超级WS单胞本身也是由中心处带缺陷的有限三角晶格组成。
考虑一般情形，一个超级WS单胞由n个“原子”构成，其中心位于Pi（i=1，2，…，n），其介电常数为、直径为Ri且横切面积为Si，其被随意嵌入在介电常数为的背景中。除了式（7）以外，上述超晶格的所有计算步骤与单“原子”晶格都是相同的。
现在，我们考虑超晶格的式（7）的计算。以超晶格的中心作为坐标原点，并定义：
其中i1=1～n1仅代表在WS晶体晶格的1/4区域处的“原子”。同样，对于坐标轴上的“原子”，在x轴上的“原子”有，在y轴上的“原子”有，其中i2=1～n2和i3=1～n3代表在两坐标轴上的“原子”的一半数目。因为n1，n2和n3的和近似等于“原子”总数的1/4，式的计算消耗可减少至不考虑对称性的1/4。
4.实验结果
通过上述算法，我们研究如图1所示的E极化波在三角形晶格的光子晶体光纤中的传播。在空气背景中（）由砷化镓圆柱棒（）组成的光子晶体光纤，其晶格常数a=10-6m，两个“原子”的最近距离，原子的直径。我们的超元胞包含91个“原子”。这个尺寸的超晶格可以确保相邻缺陷之间没有干扰。平面波数量的增加导致特征值小于1%的变化。首先，我们给出如图3所示无缺陷的光子晶体光纤的结果，从中我们在大约0.4至0.5和0.83至0.88（单位a/2c）的低频处分别得到两个带隙。接着，我们去掉中心“原子”形成一个缺陷，其余均与上述结构相同。此时的结果如图4所示。比较图3和图4，我们很容易发现一个窄频带的缺陷模产生于第二个带隙（PBG），且缺陷模的产生拓宽了第二个PBG的宽度，但缺陷并不影响第一个PBG。
5.结论与展望
文中，我们提出了一个详细的光子晶体光纤缺陷模的计算方法以及一个具体例子。基于此算法，计算消耗可降至从前的约1/4。此外，除了上述结构之外，我們用此方法还可以研究具有其它种类结构和缺陷位置的光子晶体光纤的光子能带结构。我们提出的方法可能对光子晶体光纤及其它光子器件的设计非常有帮助。
参考文献
[1]E.Yablonovich.Inhibited Spontaneous Emission in Solid-State Physics and Electronics[J].Phys.Rev.Lett.58，2059-2062（1987）.
[2]K.M.Ho，C.T.Chen，C.M.Soukoulis.Existence of a photonic gap in periodic dielectric structures[J].Phys.Rev.Lett，65，3152-3155（1990）. [3]J.D.Joannopoulos，R.D.Meade，J.N.Winn.Photonic Crystals[M].Princeton University Press，Princeton，NJ，1995.
[4]R.D.Meade，K.D.Brommer，A.M.Rappe，J.D.Joannopoulos.Electromagnetic Bloch waves at the surface of a photonic crystal[J].Phys.Rev.B44，13772（1991）.
[5]J.C.Knight，J.Broeng，T.A.Birks，P.St.J.Russell.Photonic Band Gap Guidance in Optical Fibers[J].Science 282（5393），1476-1478（1998）.
[6]R.F.Cregan，B.J.Mangan，J.C.Knight，T.A.Birks，P.St.J.Russell，D.Allen，P.J.Roberts.Single-Mode Photonic Band Gap Guidance of Light in Air[J].Science 285（5433），1537-1539（1999）.
[7]W.J.Wadsworth，J.C.Knight，A.Ortigosa-Blanch，J.Arriaga，E.Silvestre，P.St.J.Russell.Yb3+-doped photonic crystal fibre laser[J].Electr.Lett.36（17），1452-1454（2000）.
[8]P.R.Villeneuve，S.Fan，and J.D.Joannopoulos，Microcavities in photonic crystals：Mode symmetry，tunability，and coupling efficiency[J].Phys.Rev.B 54，7837-7842（1996）.
[9]C.Kee，J.Kim，H.Y.Park，and K.J.Chang.Defect modes in a two-dimensional square lattice of square rods[J].Phys.Rev.E 58，7908-7912（1998）.
[10]R.D.Meade，A.M.Rappe，K.D.Brommer，and J.D.Joannopoulos.Accurate theoretical analysis of photonic band-gap materials[J].Phys.Rev.B 48，8434-8437（1993）.
[11]K.M.Leung.Defect modes in photonic band structures：A Green’s function approach using vector wannier functions[J].J.Opt.Soc.Am.B10（2），303-306（1993）.
[12]M.M.Sigalas，C.M.Soukoulis C.T.Chan，and K.M.Ho.Electromagnetic-wave propagation through dispersive and absorptive photonic-band-gap materials[J].Phys.Rev.B 49（16），11080-11087（1994）.
[13]Anderson C M and Giapis K P.Larger Two-Dimensional Photonic Band Gaps[J].Phys.Rev.Lett.77（14），2949-2952（1996）.
[14]Min Qiu and Sailing He.Optimal design of a two-dimensional photonic crystal of square lattice with a large complete two-dimensional bandgap[J].J.Opt.Soc.Am.B 17，1027-1030（2000）.
[15]Alexander Figotin and Yuri A.Godin，The Computation of Spectra of Some 2D Photonic Crystals[J].J.Computational Physics，136（2），585-598（1997）.
[16]Jes Broeng et al.Highly increased photonic band gaps in silica/air structures[J].Optics Communications，156（4-6），240-244（1998）.
[17]Liu Z Y et al.Locally Resonant Sonic Materials[J].Science，289（5485），1734-1736（2000）.
[18]Liu Z Y et al.Elastic wave scattering by periodic structures of spherical objects：Theory and experiment[J].Phys，Rev.B 62（4），2446-2457（2000）.
[19]Liu Z Y et al.Three-component elastic wave band-gap material[J].Phys，Rev.B 65（16），165116-165131（2002）.
[20]Yang S et al.，Ultrasound Tunneling through 3D Phononic Crystals[J].Phys，Rev.Lett.，88（10），104301-104304（2002）.
[21]楊仁付，方云团.确定一维声子晶体缺陷模的解析方法[J].人工晶体学报，2012，41（1）：258-261.
[22]赵寰宇，骆岩红，陈阿丽.类正方阿基米德格子声子晶体的声学能带结构特性[J].人工晶体学报，2012，41（1）：243-247.
[23]徐冰茹，徐少辉，王连卫.一维多孔硅声子晶体的带隙研究[J].人工晶体学报，201241（5），1440-1445.
作者简介：朱宇光（1966—），男，硕士研究生，南京理工大学自动化学院在读博士研究生，常州工学院计算机信息工程学院通信工程系副教授，研究方向：光电通信技术、下一代网络技术、无线传感网技术、嵌入式系统与智能控制技术。
【关键词】光子晶体光纤；平面波展开；超元胞技术；缺陷模
1.引言
光子晶体，也被称为光子微结构或光子带隙结构，在全光通信系统中类似于电子半导体[1-6]。光子晶体最初的工作集中于三维对称性材料，随后人们感兴趣的范围同样扩展到了包括沿第三方向连续对称的两维系统及由于缺陷或表面波使对称性被打破的二维和三维系统[3]。研究表明，对任何有带隙的光子晶体，可以通过引入缺陷从而在光子晶体带隙（PBG）[4]中实现对某个频率（或某些频率）的局域态。在带隙中局域态的性质和形状将决于缺陷的性质。点缺陷能够起微腔一样的作用，线缺陷像波导，平面缺陷则形成平面波导。
从基于光子晶体的技术应用的观点来看，光子晶体光纤是常用的一种。光子晶体光纤一般是沿光纤长度方向设计带周期阵列空气孔的结构。如果中心孔不存在时，形成高折射率的中心“缺陷”。在周期性结构受到排斥的光只能沿内核缺陷传播。与常规光纤相比，光子晶体光纤已经被证明具有非常不寻常的特性[5，6]。例如，在纯净石英和传统单模光纤的正常群速度色散波长处可以获得反常色散，从而实现光孤子传输和超宽带白光[7]。对光子晶体光纤需要建立有效的研究方法[8-20]，包括平面波扩展法[8-10]、精确的格林函数法[11]、转移矩阵法[12]以及时域有限差分（FDTD）法。所有这些方法都是基于一种超元胞技术，即缺陷被置于每个具有足够大尺寸的重复的超级晶格中。换句话说，是把一个带缺陷的周期单元引入结构而不是设计单一的缺陷。因此，为避免缺陷之间的干扰，超级晶格单元应足够大。从而计算时间随着系统的尺寸增加而增大。对于平面波扩展法尤为如此，其计算时间按N3次序增长，其中N是系统的尺寸。
本文我们研究光子晶体光纤的缺陷模式。我们提出基于超元胞技术及平面波扩展的计算方法。由于系统的大尺寸，减少计算时间变得非常关键。在计算中我们利用了光子晶体光纤结构的对称性，对传统的方法进行了改进，有效的减少了计算时间。
对于完整周期结构中的光子带结构和缺陷模的计算，平面波扩展法是最广泛使用的方法。此方法通过解电磁场全矢量波方程来实现。通过它可以确定光子晶体的光子带结构以及缺陷模的位置[21-23]。
2.改进的平面波算法
3.无穷大系统的构造
如上所述，为计算光子晶体光纤的缺陷模，我们必须使用超元胞技术，将光子晶体光纤作为大的二维周期结构的一个超级WS单胞。图1显示了该单胞结构。我们的计算系统可以描述为一个由二维平移向量R=ma1+na2给出的三角晶格点周期阵列。每个晶格点存在一个超级WS单胞，该周期阵列一般称为超晶格。超级WS单胞里面包括多个处于pi=xia1+yia2位置的被称为“原子”的介电圆柱体，此时0≤xi，yi<1。超级WS单胞本身也是由中心处带缺陷的有限三角晶格组成。
考虑一般情形，一个超级WS单胞由n个“原子”构成，其中心位于Pi（i=1，2，…，n），其介电常数为、直径为Ri且横切面积为Si，其被随意嵌入在介电常数为的背景中。除了式（7）以外，上述超晶格的所有计算步骤与单“原子”晶格都是相同的。
现在，我们考虑超晶格的式（7）的计算。以超晶格的中心作为坐标原点，并定义：
其中i1=1～n1仅代表在WS晶体晶格的1/4区域处的“原子”。同样，对于坐标轴上的“原子”，在x轴上的“原子”有，在y轴上的“原子”有，其中i2=1～n2和i3=1～n3代表在两坐标轴上的“原子”的一半数目。因为n1，n2和n3的和近似等于“原子”总数的1/4，式的计算消耗可减少至不考虑对称性的1/4。
4.实验结果
通过上述算法，我们研究如图1所示的E极化波在三角形晶格的光子晶体光纤中的传播。在空气背景中（）由砷化镓圆柱棒（）组成的光子晶体光纤，其晶格常数a=10-6m，两个“原子”的最近距离，原子的直径。我们的超元胞包含91个“原子”。这个尺寸的超晶格可以确保相邻缺陷之间没有干扰。平面波数量的增加导致特征值小于1%的变化。首先，我们给出如图3所示无缺陷的光子晶体光纤的结果，从中我们在大约0.4至0.5和0.83至0.88（单位a/2c）的低频处分别得到两个带隙。接着，我们去掉中心“原子”形成一个缺陷，其余均与上述结构相同。此时的结果如图4所示。比较图3和图4，我们很容易发现一个窄频带的缺陷模产生于第二个带隙（PBG），且缺陷模的产生拓宽了第二个PBG的宽度，但缺陷并不影响第一个PBG。
5.结论与展望
文中，我们提出了一个详细的光子晶体光纤缺陷模的计算方法以及一个具体例子。基于此算法，计算消耗可降至从前的约1/4。此外，除了上述结构之外，我們用此方法还可以研究具有其它种类结构和缺陷位置的光子晶体光纤的光子能带结构。我们提出的方法可能对光子晶体光纤及其它光子器件的设计非常有帮助。
参考文献
[1]E.Yablonovich.Inhibited Spontaneous Emission in Solid-State Physics and Electronics[J].Phys.Rev.Lett.58，2059-2062（1987）.
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[4]R.D.Meade，K.D.Brommer，A.M.Rappe，J.D.Joannopoulos.Electromagnetic Bloch waves at the surface of a photonic crystal[J].Phys.Rev.B44，13772（1991）.
[5]J.C.Knight，J.Broeng，T.A.Birks，P.St.J.Russell.Photonic Band Gap Guidance in Optical Fibers[J].Science 282（5393），1476-1478（1998）.
[6]R.F.Cregan，B.J.Mangan，J.C.Knight，T.A.Birks，P.St.J.Russell，D.Allen，P.J.Roberts.Single-Mode Photonic Band Gap Guidance of Light in Air[J].Science 285（5433），1537-1539（1999）.
[7]W.J.Wadsworth，J.C.Knight，A.Ortigosa-Blanch，J.Arriaga，E.Silvestre，P.St.J.Russell.Yb3+-doped photonic crystal fibre laser[J].Electr.Lett.36（17），1452-1454（2000）.
[8]P.R.Villeneuve，S.Fan，and J.D.Joannopoulos，Microcavities in photonic crystals：Mode symmetry，tunability，and coupling efficiency[J].Phys.Rev.B 54，7837-7842（1996）.
[9]C.Kee，J.Kim，H.Y.Park，and K.J.Chang.Defect modes in a two-dimensional square lattice of square rods[J].Phys.Rev.E 58，7908-7912（1998）.
[10]R.D.Meade，A.M.Rappe，K.D.Brommer，and J.D.Joannopoulos.Accurate theoretical analysis of photonic band-gap materials[J].Phys.Rev.B 48，8434-8437（1993）.
[11]K.M.Leung.Defect modes in photonic band structures：A Green’s function approach using vector wannier functions[J].J.Opt.Soc.Am.B10（2），303-306（1993）.
[12]M.M.Sigalas，C.M.Soukoulis C.T.Chan，and K.M.Ho.Electromagnetic-wave propagation through dispersive and absorptive photonic-band-gap materials[J].Phys.Rev.B 49（16），11080-11087（1994）.
[13]Anderson C M and Giapis K P.Larger Two-Dimensional Photonic Band Gaps[J].Phys.Rev.Lett.77（14），2949-2952（1996）.
[14]Min Qiu and Sailing He.Optimal design of a two-dimensional photonic crystal of square lattice with a large complete two-dimensional bandgap[J].J.Opt.Soc.Am.B 17，1027-1030（2000）.
[15]Alexander Figotin and Yuri A.Godin，The Computation of Spectra of Some 2D Photonic Crystals[J].J.Computational Physics，136（2），585-598（1997）.
[16]Jes Broeng et al.Highly increased photonic band gaps in silica/air structures[J].Optics Communications，156（4-6），240-244（1998）.
[17]Liu Z Y et al.Locally Resonant Sonic Materials[J].Science，289（5485），1734-1736（2000）.
[18]Liu Z Y et al.Elastic wave scattering by periodic structures of spherical objects：Theory and experiment[J].Phys，Rev.B 62（4），2446-2457（2000）.
[19]Liu Z Y et al.Three-component elastic wave band-gap material[J].Phys，Rev.B 65（16），165116-165131（2002）.
[20]Yang S et al.，Ultrasound Tunneling through 3D Phononic Crystals[J].Phys，Rev.Lett.，88（10），104301-104304（2002）.
[21]楊仁付，方云团.确定一维声子晶体缺陷模的解析方法[J].人工晶体学报，2012，41（1）：258-261.
[22]赵寰宇，骆岩红，陈阿丽.类正方阿基米德格子声子晶体的声学能带结构特性[J].人工晶体学报，2012，41（1）：243-247.
[23]徐冰茹，徐少辉，王连卫.一维多孔硅声子晶体的带隙研究[J].人工晶体学报，201241（5），1440-1445.
作者简介：朱宇光（1966—），男，硕士研究生，南京理工大学自动化学院在读博士研究生，常州工学院计算机信息工程学院通信工程系副教授，研究方向：光电通信技术、下一代网络技术、无线传感网技术、嵌入式系统与智能控制技术。