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摘 要:本文介绍了三角形中的一些重要结论在空间中的推广。
关键词:三角形 空间 推广
【中图分类号】 G633.6【文献标识码】 C 【文章编号】1671-8437(2010)02-0170-01
1、在平面Rt△ABC中,∠C=Rt∠,AB=c,AC=b,BC=a,有勾股定理:c2=a2+b2
在平面上作一推广就有:若Rt△ABC斜边AB上的高为d,则:=+。
把此结论推广到空间,则有:在直三棱锥OABC中,OA=a,OB=b,OC=c,且OA⊥OB,OA⊥OC,OB⊥OC,作OD⊥BC于D,OD=d,连结AD,则有:=+。
证明:∵S△AOB=ab,S△AOC=ac,S△AOD=ad,又=+
∴=+;即:=+;
即:=+。
2、在平面Rt△ABC中,∠C=Rt∠,斜边AB上的高CD=h,有射影定理:AC2=AD•AB
把此定理推广到空间就有:如图1,
在四面体ABCD中,过顶点A的三条
侧棱AB、AC、AD两两互相垂直,O是
顶点A在底面上的射影,则S2△ABC=
S△BOC•S△BDC。图1
证:如图1,连结DO并延长交BC于E,连结AE;
∵三条侧棱AB、AC、AD两两互相垂直,
∴O是△BCD的垂心,则DE⊥BC,AE⊥BC。
又AD⊥AB,AD⊥AC,∴AD⊥面ABC,则AD⊥AE。
在Rt△DAE中,根据射影定理有:AE2=EO•ED,
S2△ABD=S△BOD•S△BDC
于是(BC•AE)2=(BC•EO)•(BC•ED)
即:S2△ABC=S△BOC•S△BDC 。同理:S2△ACD=S△COD•S△CBD 。
3、在任意△ABC中,BC=a、CA=b、AB=c,則有:
⑴正弦定理:= ==2R
⑵余弦定理: c2=a2+b2-2abcosC
在平面中作一推广就有:设在任意△ABC中,BC=a、CA=b、AB=c,BC、CA、AB边上的高分别为ha,hb,hc,则有:
(1)==
(2)hc-2=ha-2+hb-2-2ha-1hb-1cosC
证明:利用三角形面积公式得:a=2S△ha-1,b=2S△hb-1,c=2S△hc-1(S△为△ABC的面积),分别代入正弦定理,余弦定理即可。
把此结论推广到空间,得到四面体中的正弦定理:
①.在一个四面体中,各侧面的面积同它的顶角的正弦和它所对侧棱与底面所成二面角的正弦的积之比相等。
即:== (1)
证明:如图2,在四面体S-A1A2A3 中,记Ai (i=1,2,3)所对的面的面积为Si (i=1,2,3), Ai (i=1,2,3)所对的面顶角为βi(i=1,2,3),侧棱SAi (i=1,2,3)与底面所成的角为αi(i=1,2,3),设O为点S在底面上的射影,连结OA1,OA2,OA3, 则
∠SA1O=α1,∠SA2O=α2,∠SA3O=α3。
∵S1=a2a3sinβ1,S2=a1a3sinβ2,S3=a1a2sinβ3,
∴=(2)
又SO=a1sinα1=a2sinα2,则=,
代入(2)式得= 。 图2
同理有=,于是(1)式即证。
再推广,若在①中的四面体中,顶点Ai (i=1,2,3)对应的四面体的高为hi(i=1,2,3),则有类似于空间正弦定理的结论:= =。
证明:由三棱锥体积公式得:S1=3Vh1-1,S2=3Vh2-1,S3=3Vh3-1(V为三棱锥S-A1A2A的体积)
代入(1)即得到结论:= =
同理,把三角形中的余弦定理推广到空间得到:
②.在任意四面体中,它的一个面的面积的平方,等于其他三个面的面积的平方和,减去这三个面中每两个面的面积与它们所夹二面角的余弦值的积的和的两倍。
解: 如图3,在四面体ABCD中,
记顶点A,B,C,D所对的面的面积分
别为S1,S2,S3,S4。所对面的高分别为
h1,h2,h3,h4其中每两个面所夹的二面
角分别为αij(i,j=1,2,3,4,i≠j,αij=αji) 图3
则S12=S22+S32+S42-2S2S3cosα23-2S3S4cosα34-2S4S2cosα42 (2)
再推广,有类似四面体中的余弦定理的结论:
h1-2=h2-2+h3-2+h4-2-2h2-1h3-1cosα23-2h3-1h4-1cosα34-2h4-1h2-1cosα42
证明:由三棱锥体积公式得:S1=3Vh1-1,S2=3Vh2-1,S3=3Vh3-1,S4=3Vh4-1。(V为三棱锥ABCD的体积)代入(2)即得到结论。
参考文献:
[1]王太东,赵兴凤.余弦、正弦定理在四面体中的推广【J】.数学通讯,2001,9.
关键词:三角形 空间 推广
【中图分类号】 G633.6【文献标识码】 C 【文章编号】1671-8437(2010)02-0170-01
1、在平面Rt△ABC中,∠C=Rt∠,AB=c,AC=b,BC=a,有勾股定理:c2=a2+b2
在平面上作一推广就有:若Rt△ABC斜边AB上的高为d,则:=+。
把此结论推广到空间,则有:在直三棱锥OABC中,OA=a,OB=b,OC=c,且OA⊥OB,OA⊥OC,OB⊥OC,作OD⊥BC于D,OD=d,连结AD,则有:=+。
证明:∵S△AOB=ab,S△AOC=ac,S△AOD=ad,又=+
∴=+;即:=+;
即:=+。
2、在平面Rt△ABC中,∠C=Rt∠,斜边AB上的高CD=h,有射影定理:AC2=AD•AB
把此定理推广到空间就有:如图1,
在四面体ABCD中,过顶点A的三条
侧棱AB、AC、AD两两互相垂直,O是
顶点A在底面上的射影,则S2△ABC=
S△BOC•S△BDC。图1
证:如图1,连结DO并延长交BC于E,连结AE;
∵三条侧棱AB、AC、AD两两互相垂直,
∴O是△BCD的垂心,则DE⊥BC,AE⊥BC。
又AD⊥AB,AD⊥AC,∴AD⊥面ABC,则AD⊥AE。
在Rt△DAE中,根据射影定理有:AE2=EO•ED,
S2△ABD=S△BOD•S△BDC
于是(BC•AE)2=(BC•EO)•(BC•ED)
即:S2△ABC=S△BOC•S△BDC 。同理:S2△ACD=S△COD•S△CBD 。
3、在任意△ABC中,BC=a、CA=b、AB=c,則有:
⑴正弦定理:= ==2R
⑵余弦定理: c2=a2+b2-2abcosC
在平面中作一推广就有:设在任意△ABC中,BC=a、CA=b、AB=c,BC、CA、AB边上的高分别为ha,hb,hc,则有:
(1)==
(2)hc-2=ha-2+hb-2-2ha-1hb-1cosC
证明:利用三角形面积公式得:a=2S△ha-1,b=2S△hb-1,c=2S△hc-1(S△为△ABC的面积),分别代入正弦定理,余弦定理即可。
把此结论推广到空间,得到四面体中的正弦定理:
①.在一个四面体中,各侧面的面积同它的顶角的正弦和它所对侧棱与底面所成二面角的正弦的积之比相等。
即:== (1)
证明:如图2,在四面体S-A1A2A3 中,记Ai (i=1,2,3)所对的面的面积为Si (i=1,2,3), Ai (i=1,2,3)所对的面顶角为βi(i=1,2,3),侧棱SAi (i=1,2,3)与底面所成的角为αi(i=1,2,3),设O为点S在底面上的射影,连结OA1,OA2,OA3, 则
∠SA1O=α1,∠SA2O=α2,∠SA3O=α3。
∵S1=a2a3sinβ1,S2=a1a3sinβ2,S3=a1a2sinβ3,
∴=(2)
又SO=a1sinα1=a2sinα2,则=,
代入(2)式得= 。 图2
同理有=,于是(1)式即证。
再推广,若在①中的四面体中,顶点Ai (i=1,2,3)对应的四面体的高为hi(i=1,2,3),则有类似于空间正弦定理的结论:= =。
证明:由三棱锥体积公式得:S1=3Vh1-1,S2=3Vh2-1,S3=3Vh3-1(V为三棱锥S-A1A2A的体积)
代入(1)即得到结论:= =
同理,把三角形中的余弦定理推广到空间得到:
②.在任意四面体中,它的一个面的面积的平方,等于其他三个面的面积的平方和,减去这三个面中每两个面的面积与它们所夹二面角的余弦值的积的和的两倍。
解: 如图3,在四面体ABCD中,
记顶点A,B,C,D所对的面的面积分
别为S1,S2,S3,S4。所对面的高分别为
h1,h2,h3,h4其中每两个面所夹的二面
角分别为αij(i,j=1,2,3,4,i≠j,αij=αji) 图3
则S12=S22+S32+S42-2S2S3cosα23-2S3S4cosα34-2S4S2cosα42 (2)
再推广,有类似四面体中的余弦定理的结论:
h1-2=h2-2+h3-2+h4-2-2h2-1h3-1cosα23-2h3-1h4-1cosα34-2h4-1h2-1cosα42
证明:由三棱锥体积公式得:S1=3Vh1-1,S2=3Vh2-1,S3=3Vh3-1,S4=3Vh4-1。(V为三棱锥ABCD的体积)代入(2)即得到结论。
参考文献:
[1]王太东,赵兴凤.余弦、正弦定理在四面体中的推广【J】.数学通讯,2001,9.