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曲线与方程在教材中着墨虽不多， 却是高考中的一个热点和重点，在历年高考中出现的频率较高. 试题重在考查同学们的逻辑思维、运算、分析和解决问题的能力. 其衍生出来的一些题型往往需要依赖于其基本原理才能得到解答. 求曲线方程的题目若出现在主观题中，则综合性强；若出现在客观题中，则可以利用圆锥曲线的定义解题，为容易题.
重点难点
重点：（1）正确理解方程的曲线与曲线的方程的对应关系，会用解析几何的基本思想和坐标法研究几何问题，用方程的观点实现几何问题代数化解决.
（2）掌握求曲线（轨迹）方程的基本步骤，能用直接法、定义法、待定系数法、相关点法和参数法求曲线方程.
难点：（1）求出轨迹方程后要注意检验，多余的点要扣除，遗漏的点要补上.
（2）能根据圆锥曲线的性质，拟定具体的解题方法，如参数的选取、相关点变化的规律及限制条件等.
方法突破
1. 一个核心
通过坐标法，由已知条件求轨迹方程，通过对方程的研究，明确曲线的位置、形状以及性质是解析几何需要完成的两大任务，是解析几何的核心问题，也是高考的热点之一.
2. 五个方法
求轨迹方程的常用方法：
（1）直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系F（x，y）=0.
（2）待定系数法：若已知所求曲线的类型，求其方程，则先设出所求曲线的方程，再由条件确定方程中的待定系数.
（3）定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程.
（4）相关点法：动点P（x，y）依赖于另一动点Q（x0，y0）的变化而变化，并且Q（x0，y0）又在某已知曲线上，则可先用x，y的代数式表示x0，y0，再将x0，y0代入已知曲线求得动点P（x，y）的轨迹方程.
（5）参数法：当动点P（x，y）坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x，y均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程.
3. 失误与防范
（1）求轨迹方程时，要注意曲线上的点与方程的解是一一对应关系.检验可从以下两个方面进行：一是方程的化简是不是同解变形；二是方程是否符合题目的实际意义.
（2）求点的轨迹与轨迹方程是不同的要求，求轨迹时，应先求轨迹方程，然后根据方程说明轨迹的形状、位置、大小等.
典例精讲
例1 已知两个定圆O1和O2，它们的半径分别是1和2，且O1O2=4. 动圆M与圆O1内切，又与圆O2外切. 建立适当的坐标系，求动圆圆心M的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线.
思索 利用两圆内、外切的充要条件找出点M满足的几何条件，结合双曲线的定义求解. 要分清是整个双曲线还是其中一支.
破解 如图1，以O1O2的中点O为原点，O1O2所在直线为x轴建立平面直角坐标系. 由O1O2=4，得O1（-2，0），O2（2，0）. 设动圆M的半径为r，则由动圆M与圆O1内切，有MO1=r-1；由动圆M与圆O2外切，有MO2=r 2. 所以MO2-MO1=3. 所以点M的轨迹是以O1，O2为焦点，实轴长为3的双曲线的左支. 所以a=，c=2，所以b2=c2-a2=. 所以点M的轨迹方程为-=1 x≤-.
例2 设直线x-y=4a与抛物线y2=4ax（a为定值）交于A，B两点，C为抛物线上任意一点，求△ABC的重心的轨迹方程.
思索 设△ABC的重心的坐标为G（x，y），利用重心坐标公式建立x，y与△ABC的顶点C的关系，再将点C的坐标（用x，y表示）代入抛物线方程即得所求.
破解 设△ABC的重心为G（x，y），点C的坐标为C（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2）. 由方程组x-y=4a，y2=4ax消去y并整理得x2-12ax 16a2=0. 所以x1 x2=12a，y1 y2=（x1-4a） （x2-4a）=（x1 x2）-8a=4a. 由于G（x，y）为△ABC的重心，所以x==，y==.所以x0=3x-12a，y0=3y-4a. 又点C（x0，y0）在抛物线y2=4ax上，所以将点C的坐标代入抛物线的方程得（3y-4a）2=4a（3x-12a），即y-2=（x-4a）. 又点C与A，B不重合，所以x≠（6±2）a.所以△ABC的重心的轨迹方程为y-2=（x-4a）（x≠（6±2）a）.
例3 已知动圆过定点A（4， 0），且在y轴上截得弦MN的长为8.
（1）求动圆圆心的轨迹C的方程；
（2）已知点B（-1，0），设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是∠PBQ的角平分线，证明：直线l过定点.
思索 （1）利用曲线的求法求解轨迹方程，但要注意结合图形寻求等量关系；（2）设出直线方程，结合直线与圆锥曲线的位置关系转化为方程的根与系数的关系求解，要特别注意判别式与位置关系的联系.
破解 （1）如图2，设动圆的圆心为O1（x，y），由题意得O1A=O1M.当O1不在y轴上时，过O1作O1H⊥MN交MN于点H，则H是MN的中点，所以O1M=. 又O1A=，所以=，化简可得y2=8x（x≠0）. 又当O1在y轴上时，O1与O重合，点O1的坐标为（0，0）也满足方程y2=8x，所以动圆圆心的轨迹C的方程为y2=8x.
（2）如图3，由题意，设直线l的方程为y=kx b（k≠0），P（x1，y1），Q（x2，y2）. 将y=kx b代入y2=8x中，得k2x2 （2bk-8）x b2=0. 其中Δ=-32kb 64>0. 由根与系数的关系得：x1 x2= ①，x1x2= ②. 因为x轴是∠PBQ的角平分线，所以=-，即y1（x2 1） y2（x1 1）=0，即（kx1 b）（x2 1） （kx2 b）（x1 1）=0，即2kx1x2 （b k）（x1 x2） 2b=0 ③. 将①②代入③得2kb2 （k b）（8-2bk） 2k2b=0，所以k=-b. 此时Δ>0，所以直线l的方程为y=k（x-1），即直线l过定点（1，0）. 例4 （2014年高考广东卷）已知椭圆C： =1（a>b>0）的一个焦点为（，0），离心率为.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若动点P（x0，y0）为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程.
思索 第（1）问根据条件容易用待定系数法求出椭圆方程；第（2）问设过点P的切线方程时，要分当l1⊥x轴或l1∥x轴时和当l1与x轴不垂直且不平行时两种情况求解. 当l1⊥x轴或l1∥x轴时，得P（±3，±2）；当l1与x轴不垂直且不平行时，设出直线的斜率为k，写出其方程与椭圆的方程联立得关于x的一元二次方程，可知k，-是该一元二次方程的两个根，消去k得点P的轨迹方程.
破解 （1）可知c=，又=，所以a=3，b2=a2-c2=4. 所以椭圆C的标准方程为 =1.
（2）设两切线为l1，l2，
①当l1⊥x轴或l1∥x轴时，对应l2∥x轴或l2⊥x轴，可知P（±3，±2）；
②当l与x轴不垂直且不平行时，x0≠±3. 设l1的斜率为k，则k≠0，l2的斜率为-.l1的方程为y-y0=k（x-x0），联立 =1，得（9k2 4）x2 18（y0-kx0）kx 9（y0-kx0）2-36=0. 因为直线与椭圆相切，所以Δ=0，得9（y0-kx0）2k2-（9k2 4）[（y0-kx0）2-4]=0，所以-36k2 4[（y0-kx0）2-4]=0，所以（x-9）k2-2x0y0k y-4=0.
所以k是方程（x-9）x2-2x0y0x y-4=0的一个根，同理-是方程（x-9）x2-2x0y0x y-4=0的另一个根. 所以k·-=，得x y=13，其中x0≠±3. 所以点P的轨迹方程为x2 y2=13（x≠±3）.
因为P（±3，±2）满足上式，所以综合可知点P的轨迹方程为x2 y2=13.
变式练习
1. 设圆（x 1）2 y2=25的圆心为C，A（1，0）是圆内一定点，Q为圆周上任一点. 线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为（ ）
A. -=1 B. =1
C. -=1 D. =1
2. 设过点P（x，y）的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点. 若=2，且·=1，则点P的轨迹方程是（ ）
A. x2 3y2=1（x>0，y>0）？摇？摇？摇？摇？摇
B. x2-3y2=1（x>0，y>0）
C. 3x2-y2=1（x>0，y>0）
D. 3x2 y2=1（x>0，y>0）
3. 直线 =1与x，y轴交点的中点的轨迹方程是________.
4. 已知动点P（x，y）与两定点M（-1，0），N（1，0）连线的斜率之积等于常数λ（λ≠0）.
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）试根据λ的取值情况讨论轨迹C的形状.
5. 已知点P是圆O：x2 y2=9上的任意一点，过P作PD⊥x轴于D，动点Q满足=.
（1）求动点Q的轨迹方程；
（2）已知点E（1，1），在动点Q的轨迹上是否存在两个不重合的点M，N，使=（ ）（O是坐标原点）. 若存在，求出直线MN的方程；若不存在，请说明理由.
参考答案
1. D 因为M为AQ垂直平分线上一点，则AM=MQ，所以MC MA=MC MQ=CQ=5，故M的轨迹为椭圆. 所以a=，c=1，则b2=a2-c2=，所以椭圆的标准方程为 =1.
2. A 设A（a，0），B（0，b），a>0，b>0. 由=2，得（x，y-b）=2（a-x，-y），即a=x>0，b=3y>0. 点Q（-x，y），故由·=1，得（-x，y）·（-a，b）=1，即ax by=1. 将a，b代入上式得所求的轨迹方程为x2 3y2=1（x>0，y>0）.
3. x y=1（x≠0，x≠1）
4. （1）由题知，直线PM与直线PN的斜率存在且均不为零，所以kPM·kPN=·=λ，整理得x2-=1（λ≠0，x≠±1）. 即动点P的轨迹C的方程为x2-=1（λ≠0，x≠±1）.
（2）①当λ>0时，轨迹C为中心在原点、焦点在x轴上的双曲线（除去顶点）；
②当-1<λ<0时，轨迹C为中心在原点、焦点在x轴上的椭圆（除去长轴两个端点）；
③当λ=-1时，轨迹C为以原点为圆心、1为半径的圆（除去点（-1，0），（1，0））；
④当λ<-1时，轨迹C为中心在原点、焦点在y轴上的椭圆（除去短轴的两个端点）.
5. （1）设P（x0，y0），Q（x，y），依题意，点D的坐标为D（x0，0），所以=（x-x0，y），=（0，y0）. 又=，所以x-x0=0，y=y0， 即x0=x，y0=y. 因为P在圆O上，故x20 y20=9，所以 =1.所以点Q的轨迹方程为 =1.
（2）存在. 假设椭圆 =1上存在两个不重合的点M（x1，y1），N（x2，y2）满足=（ ），则E（1，1）是线段MN的中点，且=1，=1.即x1 x2=2，y1 y2=2.又M（x1，y1），N（x2，y2）在椭圆 =1上，所以 =1， =1.两式相减，得 =0. 所以kMN==-，所以直线MN的方程为4x 9y-13=0. 所以椭圆上存在点M，N满足=（ ），此时直线MN的方程为4x 9y-13=0.
重点难点
重点：（1）正确理解方程的曲线与曲线的方程的对应关系，会用解析几何的基本思想和坐标法研究几何问题，用方程的观点实现几何问题代数化解决.
（2）掌握求曲线（轨迹）方程的基本步骤，能用直接法、定义法、待定系数法、相关点法和参数法求曲线方程.
难点：（1）求出轨迹方程后要注意检验，多余的点要扣除，遗漏的点要补上.
（2）能根据圆锥曲线的性质，拟定具体的解题方法，如参数的选取、相关点变化的规律及限制条件等.
方法突破
1. 一个核心
通过坐标法，由已知条件求轨迹方程，通过对方程的研究，明确曲线的位置、形状以及性质是解析几何需要完成的两大任务，是解析几何的核心问题，也是高考的热点之一.
2. 五个方法
求轨迹方程的常用方法：
（1）直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系F（x，y）=0.
（2）待定系数法：若已知所求曲线的类型，求其方程，则先设出所求曲线的方程，再由条件确定方程中的待定系数.
（3）定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程.
（4）相关点法：动点P（x，y）依赖于另一动点Q（x0，y0）的变化而变化，并且Q（x0，y0）又在某已知曲线上，则可先用x，y的代数式表示x0，y0，再将x0，y0代入已知曲线求得动点P（x，y）的轨迹方程.
（5）参数法：当动点P（x，y）坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x，y均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程.
3. 失误与防范
（1）求轨迹方程时，要注意曲线上的点与方程的解是一一对应关系.检验可从以下两个方面进行：一是方程的化简是不是同解变形；二是方程是否符合题目的实际意义.
（2）求点的轨迹与轨迹方程是不同的要求，求轨迹时，应先求轨迹方程，然后根据方程说明轨迹的形状、位置、大小等.
典例精讲
例1 已知两个定圆O1和O2，它们的半径分别是1和2，且O1O2=4. 动圆M与圆O1内切，又与圆O2外切. 建立适当的坐标系，求动圆圆心M的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线.
思索 利用两圆内、外切的充要条件找出点M满足的几何条件，结合双曲线的定义求解. 要分清是整个双曲线还是其中一支.
破解 如图1，以O1O2的中点O为原点，O1O2所在直线为x轴建立平面直角坐标系. 由O1O2=4，得O1（-2，0），O2（2，0）. 设动圆M的半径为r，则由动圆M与圆O1内切，有MO1=r-1；由动圆M与圆O2外切，有MO2=r 2. 所以MO2-MO1=3. 所以点M的轨迹是以O1，O2为焦点，实轴长为3的双曲线的左支. 所以a=，c=2，所以b2=c2-a2=. 所以点M的轨迹方程为-=1 x≤-.
例2 设直线x-y=4a与抛物线y2=4ax（a为定值）交于A，B两点，C为抛物线上任意一点，求△ABC的重心的轨迹方程.
思索 设△ABC的重心的坐标为G（x，y），利用重心坐标公式建立x，y与△ABC的顶点C的关系，再将点C的坐标（用x，y表示）代入抛物线方程即得所求.
破解 设△ABC的重心为G（x，y），点C的坐标为C（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2）. 由方程组x-y=4a，y2=4ax消去y并整理得x2-12ax 16a2=0. 所以x1 x2=12a，y1 y2=（x1-4a） （x2-4a）=（x1 x2）-8a=4a. 由于G（x，y）为△ABC的重心，所以x==，y==.所以x0=3x-12a，y0=3y-4a. 又点C（x0，y0）在抛物线y2=4ax上，所以将点C的坐标代入抛物线的方程得（3y-4a）2=4a（3x-12a），即y-2=（x-4a）. 又点C与A，B不重合，所以x≠（6±2）a.所以△ABC的重心的轨迹方程为y-2=（x-4a）（x≠（6±2）a）.
例3 已知动圆过定点A（4， 0），且在y轴上截得弦MN的长为8.
（1）求动圆圆心的轨迹C的方程；
（2）已知点B（-1，0），设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是∠PBQ的角平分线，证明：直线l过定点.
思索 （1）利用曲线的求法求解轨迹方程，但要注意结合图形寻求等量关系；（2）设出直线方程，结合直线与圆锥曲线的位置关系转化为方程的根与系数的关系求解，要特别注意判别式与位置关系的联系.
破解 （1）如图2，设动圆的圆心为O1（x，y），由题意得O1A=O1M.当O1不在y轴上时，过O1作O1H⊥MN交MN于点H，则H是MN的中点，所以O1M=. 又O1A=，所以=，化简可得y2=8x（x≠0）. 又当O1在y轴上时，O1与O重合，点O1的坐标为（0，0）也满足方程y2=8x，所以动圆圆心的轨迹C的方程为y2=8x.
（2）如图3，由题意，设直线l的方程为y=kx b（k≠0），P（x1，y1），Q（x2，y2）. 将y=kx b代入y2=8x中，得k2x2 （2bk-8）x b2=0. 其中Δ=-32kb 64>0. 由根与系数的关系得：x1 x2= ①，x1x2= ②. 因为x轴是∠PBQ的角平分线，所以=-，即y1（x2 1） y2（x1 1）=0，即（kx1 b）（x2 1） （kx2 b）（x1 1）=0，即2kx1x2 （b k）（x1 x2） 2b=0 ③. 将①②代入③得2kb2 （k b）（8-2bk） 2k2b=0，所以k=-b. 此时Δ>0，所以直线l的方程为y=k（x-1），即直线l过定点（1，0）. 例4 （2014年高考广东卷）已知椭圆C： =1（a>b>0）的一个焦点为（，0），离心率为.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若动点P（x0，y0）为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程.
思索 第（1）问根据条件容易用待定系数法求出椭圆方程；第（2）问设过点P的切线方程时，要分当l1⊥x轴或l1∥x轴时和当l1与x轴不垂直且不平行时两种情况求解. 当l1⊥x轴或l1∥x轴时，得P（±3，±2）；当l1与x轴不垂直且不平行时，设出直线的斜率为k，写出其方程与椭圆的方程联立得关于x的一元二次方程，可知k，-是该一元二次方程的两个根，消去k得点P的轨迹方程.
破解 （1）可知c=，又=，所以a=3，b2=a2-c2=4. 所以椭圆C的标准方程为 =1.
（2）设两切线为l1，l2，
①当l1⊥x轴或l1∥x轴时，对应l2∥x轴或l2⊥x轴，可知P（±3，±2）；
②当l与x轴不垂直且不平行时，x0≠±3. 设l1的斜率为k，则k≠0，l2的斜率为-.l1的方程为y-y0=k（x-x0），联立 =1，得（9k2 4）x2 18（y0-kx0）kx 9（y0-kx0）2-36=0. 因为直线与椭圆相切，所以Δ=0，得9（y0-kx0）2k2-（9k2 4）[（y0-kx0）2-4]=0，所以-36k2 4[（y0-kx0）2-4]=0，所以（x-9）k2-2x0y0k y-4=0.
所以k是方程（x-9）x2-2x0y0x y-4=0的一个根，同理-是方程（x-9）x2-2x0y0x y-4=0的另一个根. 所以k·-=，得x y=13，其中x0≠±3. 所以点P的轨迹方程为x2 y2=13（x≠±3）.
因为P（±3，±2）满足上式，所以综合可知点P的轨迹方程为x2 y2=13.
变式练习
1. 设圆（x 1）2 y2=25的圆心为C，A（1，0）是圆内一定点，Q为圆周上任一点. 线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为（ ）
A. -=1 B. =1
C. -=1 D. =1
2. 设过点P（x，y）的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点. 若=2，且·=1，则点P的轨迹方程是（ ）
A. x2 3y2=1（x>0，y>0）？摇？摇？摇？摇？摇
B. x2-3y2=1（x>0，y>0）
C. 3x2-y2=1（x>0，y>0）
D. 3x2 y2=1（x>0，y>0）
3. 直线 =1与x，y轴交点的中点的轨迹方程是________.
4. 已知动点P（x，y）与两定点M（-1，0），N（1，0）连线的斜率之积等于常数λ（λ≠0）.
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）试根据λ的取值情况讨论轨迹C的形状.
5. 已知点P是圆O：x2 y2=9上的任意一点，过P作PD⊥x轴于D，动点Q满足=.
（1）求动点Q的轨迹方程；
（2）已知点E（1，1），在动点Q的轨迹上是否存在两个不重合的点M，N，使=（ ）（O是坐标原点）. 若存在，求出直线MN的方程；若不存在，请说明理由.
参考答案
1. D 因为M为AQ垂直平分线上一点，则AM=MQ，所以MC MA=MC MQ=CQ=5，故M的轨迹为椭圆. 所以a=，c=1，则b2=a2-c2=，所以椭圆的标准方程为 =1.
2. A 设A（a，0），B（0，b），a>0，b>0. 由=2，得（x，y-b）=2（a-x，-y），即a=x>0，b=3y>0. 点Q（-x，y），故由·=1，得（-x，y）·（-a，b）=1，即ax by=1. 将a，b代入上式得所求的轨迹方程为x2 3y2=1（x>0，y>0）.
3. x y=1（x≠0，x≠1）
4. （1）由题知，直线PM与直线PN的斜率存在且均不为零，所以kPM·kPN=·=λ，整理得x2-=1（λ≠0，x≠±1）. 即动点P的轨迹C的方程为x2-=1（λ≠0，x≠±1）.
（2）①当λ>0时，轨迹C为中心在原点、焦点在x轴上的双曲线（除去顶点）；
②当-1<λ<0时，轨迹C为中心在原点、焦点在x轴上的椭圆（除去长轴两个端点）；
③当λ=-1时，轨迹C为以原点为圆心、1为半径的圆（除去点（-1，0），（1，0））；
④当λ<-1时，轨迹C为中心在原点、焦点在y轴上的椭圆（除去短轴的两个端点）.
5. （1）设P（x0，y0），Q（x，y），依题意，点D的坐标为D（x0，0），所以=（x-x0，y），=（0，y0）. 又=，所以x-x0=0，y=y0， 即x0=x，y0=y. 因为P在圆O上，故x20 y20=9，所以 =1.所以点Q的轨迹方程为 =1.
（2）存在. 假设椭圆 =1上存在两个不重合的点M（x1，y1），N（x2，y2）满足=（ ），则E（1，1）是线段MN的中点，且=1，=1.即x1 x2=2，y1 y2=2.又M（x1，y1），N（x2，y2）在椭圆 =1上，所以 =1， =1.两式相减，得 =0. 所以kMN==-，所以直线MN的方程为4x 9y-13=0. 所以椭圆上存在点M，N满足=（ ），此时直线MN的方程为4x 9y-13=0.