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搭建平台，开启“智慧”课堂
在大数据时代背景下，互联网和云技术得到了快速发展，信息技术促使教育朝着网络化、数字化和智能化的方向发展，教育信息化也从1.0时代进入2.0时代。2015年“智慧教育云平台”落户济南市天桥区，促进了笔者所在区域教育信息化的迅速发展。平台以“智慧”课堂为核心，依托教育资源体系和学科工具，为学校、教师、学生打造出高效、精准的课堂：网络直播让优质课程资源和教研活动可以校际互通、区域互联；电子书包中海量的素材和便捷的互动彻底改变传统的教学模式；码书码课打破了时间和地点的限制，让学习更加轻松愉快。
分析教材，思索“智慧”课堂
《圆的面积》是人教版六年级上册第五单元的内容，它是在学生掌握了直线图形的周长和面积计算，并且对圆已有初步认识的基础上进行的，通过对圆的研究，使学生初步认识研究曲线图形的基本方法，这在整个教材体系中起着承上启下的作用，为今后学习圆柱、圆锥等知识打好基础。
为了更好地理解圆的面积计算公式的推导过程，体会转化思想和极限思想，学生需要在探索活动中循序渐进地进行操作和观察，进一步加深对曲线图形与直线图形内在联系的理解，发展空间观念。在传统教学模式中，面对这样的几何图形课例，首先，制作大量的教具不可避免，而在制作和演示过程中，教具的精准度是远远不够的，这就使得学生的观察效果大打折扣。其次，在探究圆形面积公式的过程中，需要对圆进行多次等分操作和演示，这样会占用大量的时间，影响课堂效率。再次，学生虽然已经知道学习一个新图形，可以转化成已学图形来解决，但圆毕竟是学生遇到的第一个曲线图形，转化起来有一定困难。最后，“圆的面积”教学中除了转化思想，对于学生而言最为陌生最为困难的是极限思想，而要更好地渗透极限思想有一定难度。因此，如何在有限的时间内形象、直观地展现这一过程，让学生充分经历探究演变的过程就显得尤为重要。
借助工具，構建“智慧”课堂
针对上述困惑，笔者对“智慧教育云平台”备课助手中的“学科工具”进行了深入研究，发现之前遇到的困难，都可以借助它来轻松解决。例如，在备课助手中，“学习工具”中的“图形的测量”，可以轻松地对圆进行等分和拼摆，生动、形象地展现剪拼的过程；“生成工具”中的“圆和圆柱”，不仅可以实现对圆的等分，还可以任意拼摆成平行四边形、三角形和梯形，让学生充分感受到圆的面积公式还可以借助三角形和梯形来推导。除此之外，还有“随机抽取”“计时器”等工具，这些工具的使用能充分调动学生学习的主观能动性，提升探究、汇报、交流环节的精度，也提高了课堂效率。
案例设计
1.创设情境，引出圆的面积
师：我国是世界上第三个掌握航天器回收技术的国家。“神舟”飞船预先设定的降落范围是半径10千米的圆，根据这些信息，你们能提出什么数学问题？
设计意图：创设学生感兴趣的“神舟”飞船情境，激发学生学习的兴趣，引出圆的面积概念，同时让学生感受学习圆的面积的计算方法是解决实际问题的需要，产生“我要学”的求知欲望。
2.合作探究，推导圆的面积
（1）回顾旧知。
（2）猜想如何求圆的面积。
（3）初探圆的面积。
思考如何将圆转化成学过的图形，解决圆的面积。
小组活动：利用手中的圆片和准备的工具剪一剪、拼一拼。
汇报探究过程：
方法一：转化成近似的三角形。
通过折叠把圆等分成四个扇形（如图1），每个扇形都近似于学过的三角形，求出一个三角形的面积，再乘4就能得到圆的面积。
教师结合学生的汇报，借助“学习工具”中的“图形的测量”进行操作演示。
方法二：转化成近似平行四边形。
把圆剪成四个相等的扇形后，再拼成一个近似于平形四边形的图形，求出这个图形的面积就得到圆的面积。
教师借助“备课助手”的拖拽功能将四等分的圆进行摆拼（如图2）。
通过观察发现，无论是第一种方法还是第二种方法都不是很标准，不能直接推导出圆的面积。提出问题：怎样才能让每个扇形更接近于三角形或拼成的图形更接近于平行四边形？
（4）再探圆的面积。
学生猜测将圆等分的份数越多每个扇形就更接近于三角形或拼成的图形更接近于平行四边形。
学生二次探究后汇报。
方法一：
组1：将圆对折三次，等分成8份，通过观察发现每一份都更接近于三角形。
组2：将圆等分成16份，这时候每一份就更像三角形了。
教师结合学生的汇报，借助“学习工具”中的“图形的测量”进行操作演示。
方法二：
组1：将圆等分成八份，拼成的图形更像平行四边形。
组2：将圆等分成16份，就更像平行四边形了。
教师借助“备课助手”的拖拽功能将四等分的圆进行摆拼。
师：大家闭上眼睛想象一下，如果继续分下去，又会怎么样？再继续分呢？
教师借助“生成工具”中的“圆与圆柱”工具进行演示。
（5）提炼“转化”感受“极限”。
师：咱们通过剪拼等方法发现，可以把圆变成近似的三角形或近似的平行四边形，而且随着分的份数越多，就可以把圆变成三角形或长方形，这不正是我们前面学习圆的周长时的“化曲为直”吗？只要解决了三角形或长方形的面积，就能求出圆的面积，这样就把要学的新知识，变成了学习过的旧知识，这就是我们之前经常遇到的——转化。
设计意图：将曲线图形圆转化成直线图形的探究过程，是推导圆的面积公式的难点。为了让学生能更加形象、直观地感受演变的过程，在学生自主操作的基础上，教师借助备课助手中的“生成工具”和“学习工具”进行演示、操作。尤其是随着等分的份数逐渐增加，这种直观的视觉冲击，不断刷新学生的想象能力，帮助学生理解并掌握转化的过程，而且在备课助手的一次次演示中，发挥学科工具的优势，弥补操作与想象的不足，学生能够充分感受“化曲为直”思想、“转化”思想和“极限”思想。 （6）发现关系推导公式。
①发现关系。
师：我们把圆转化成了三角形或平行四边形，仔细观察转化成的图形与圆之间有怎样的关系？
教师根据学生的汇报，借助备课助手“编辑”中的“平面图形”工具画线进行验证。
②推导公式。
师：大家能不能根据刚才的发现，推导出圆的面积计算公式呢？
方法一：将圆等分成32份，每份就是一个三角形，这个三角形的底是圆的周长的1/32，高是r，求出一个三角形的面积再乘32，就是圆的面积：2πr/32×r×1/2×32=πr2。
方法二：将圆等分成32份，拼成一个平行四边形，平行四边形的底是圆周长的一半，高是圆的半径，求出平行四边形的面积，就是圆的面积：1/2C×r=πr×r=πr2。
③梳理归纳。
教师带领学生对比这几种推导方法，发现转化成平行四边形相对简单，并利用备课助手里的动画带领学生一起梳理刚才的探究過程，验证圆的面积公式。
设计意图：掌握圆的面积计算公式，并理解圆的面积计算公式的推导过程，是本节课的重难点。在前面操作探究的基础上，充分发挥备课助手中的学科工具的优势，将转化前和转化后图形之间的关系，更加形象、直观地呈现在学生面前，加深学生对公式的理解。同时也注重学生学习方法的指导，在几何直观的帮助下，将学生的思考推向深入，引导学生进行逻辑思考和推理。
3.巩固提升，练习圆的面积
（1）基本练习。
（2）提升练习。
（3）拓展多种推导方法。
师：圆的面积公式除了可以转化成三角形和长方形来推导，还可以借助其他图形来推导，大家想不想看一看？
教师借助“生成工具”中的“圆与圆柱”工具进行演示，发现可以转化成一个三角形或一个梯形，推导出圆的面积公式。
4.课堂总结，知识延伸
师：同学们不仅学会了怎样计算圆的面积，还运用转化的方法，把圆这个新图形转化成了已经学过的图形，从而求出了圆的面积。以后大家遇到新问题，都可以尝试一下，看看能否把它转化成已经学过的知识来解决。
设计意图：练习环节主要体现层次性，拓展学生思路、培养学生创新思维的同时，也增加学生学习兴趣。
智慧反思
本节课充分体现了教为主导、学为主体的探究性自主学习与小组合作学习相结合的教学思想。学生经历了猜测、探究、验证、运用四个主要环节，打破了过去教师演示教具学生看的框框，让学生自主参与探索过程。尤其是借助“备课助手”中的学科工具提供化静为动、动静结合的操作和演示，促进学生建立空间观念并培养空间想象力，弥补了操作与想象的不足，使学生在获得空间观念的同时，感受到了“转化”“极限”等数学思想。当然，本节课也有一些遗憾和不足，如在探究“把圆转化成已学过的图形”时，缺乏有效的启发——为什么要把“曲”化为“直”，以及分析转化成的图形与圆之间的关系时，缺乏有针对性的引导，这些细节都是今后需要继续努力改进的地方。总之，信息技术的应用彻底改变了课堂教学模式，巧用学科工具，不仅让教师在操作上更加便捷，而且让课堂更加生动、直观，加深了学生对知识的理解，学生的学习兴趣也会大大提升。
在大数据时代背景下，互联网和云技术得到了快速发展，信息技术促使教育朝着网络化、数字化和智能化的方向发展，教育信息化也从1.0时代进入2.0时代。2015年“智慧教育云平台”落户济南市天桥区，促进了笔者所在区域教育信息化的迅速发展。平台以“智慧”课堂为核心，依托教育资源体系和学科工具，为学校、教师、学生打造出高效、精准的课堂：网络直播让优质课程资源和教研活动可以校际互通、区域互联；电子书包中海量的素材和便捷的互动彻底改变传统的教学模式；码书码课打破了时间和地点的限制，让学习更加轻松愉快。
分析教材，思索“智慧”课堂
《圆的面积》是人教版六年级上册第五单元的内容，它是在学生掌握了直线图形的周长和面积计算，并且对圆已有初步认识的基础上进行的，通过对圆的研究，使学生初步认识研究曲线图形的基本方法，这在整个教材体系中起着承上启下的作用，为今后学习圆柱、圆锥等知识打好基础。
为了更好地理解圆的面积计算公式的推导过程，体会转化思想和极限思想，学生需要在探索活动中循序渐进地进行操作和观察，进一步加深对曲线图形与直线图形内在联系的理解，发展空间观念。在传统教学模式中，面对这样的几何图形课例，首先，制作大量的教具不可避免，而在制作和演示过程中，教具的精准度是远远不够的，这就使得学生的观察效果大打折扣。其次，在探究圆形面积公式的过程中，需要对圆进行多次等分操作和演示，这样会占用大量的时间，影响课堂效率。再次，学生虽然已经知道学习一个新图形，可以转化成已学图形来解决，但圆毕竟是学生遇到的第一个曲线图形，转化起来有一定困难。最后，“圆的面积”教学中除了转化思想，对于学生而言最为陌生最为困难的是极限思想，而要更好地渗透极限思想有一定难度。因此，如何在有限的时间内形象、直观地展现这一过程，让学生充分经历探究演变的过程就显得尤为重要。
借助工具，構建“智慧”课堂
针对上述困惑，笔者对“智慧教育云平台”备课助手中的“学科工具”进行了深入研究，发现之前遇到的困难，都可以借助它来轻松解决。例如，在备课助手中，“学习工具”中的“图形的测量”，可以轻松地对圆进行等分和拼摆，生动、形象地展现剪拼的过程；“生成工具”中的“圆和圆柱”，不仅可以实现对圆的等分，还可以任意拼摆成平行四边形、三角形和梯形，让学生充分感受到圆的面积公式还可以借助三角形和梯形来推导。除此之外，还有“随机抽取”“计时器”等工具，这些工具的使用能充分调动学生学习的主观能动性，提升探究、汇报、交流环节的精度，也提高了课堂效率。
案例设计
1.创设情境，引出圆的面积
师：我国是世界上第三个掌握航天器回收技术的国家。“神舟”飞船预先设定的降落范围是半径10千米的圆，根据这些信息，你们能提出什么数学问题？
设计意图：创设学生感兴趣的“神舟”飞船情境，激发学生学习的兴趣，引出圆的面积概念，同时让学生感受学习圆的面积的计算方法是解决实际问题的需要，产生“我要学”的求知欲望。
2.合作探究，推导圆的面积
（1）回顾旧知。
（2）猜想如何求圆的面积。
（3）初探圆的面积。
思考如何将圆转化成学过的图形，解决圆的面积。
小组活动：利用手中的圆片和准备的工具剪一剪、拼一拼。
汇报探究过程：
方法一：转化成近似的三角形。
通过折叠把圆等分成四个扇形（如图1），每个扇形都近似于学过的三角形，求出一个三角形的面积，再乘4就能得到圆的面积。
教师结合学生的汇报，借助“学习工具”中的“图形的测量”进行操作演示。
方法二：转化成近似平行四边形。
把圆剪成四个相等的扇形后，再拼成一个近似于平形四边形的图形，求出这个图形的面积就得到圆的面积。
教师借助“备课助手”的拖拽功能将四等分的圆进行摆拼（如图2）。
通过观察发现，无论是第一种方法还是第二种方法都不是很标准，不能直接推导出圆的面积。提出问题：怎样才能让每个扇形更接近于三角形或拼成的图形更接近于平行四边形？
（4）再探圆的面积。
学生猜测将圆等分的份数越多每个扇形就更接近于三角形或拼成的图形更接近于平行四边形。
学生二次探究后汇报。
方法一：
组1：将圆对折三次，等分成8份，通过观察发现每一份都更接近于三角形。
组2：将圆等分成16份，这时候每一份就更像三角形了。
教师结合学生的汇报，借助“学习工具”中的“图形的测量”进行操作演示。
方法二：
组1：将圆等分成八份，拼成的图形更像平行四边形。
组2：将圆等分成16份，就更像平行四边形了。
教师借助“备课助手”的拖拽功能将四等分的圆进行摆拼。
师：大家闭上眼睛想象一下，如果继续分下去，又会怎么样？再继续分呢？
教师借助“生成工具”中的“圆与圆柱”工具进行演示。
（5）提炼“转化”感受“极限”。
师：咱们通过剪拼等方法发现，可以把圆变成近似的三角形或近似的平行四边形，而且随着分的份数越多，就可以把圆变成三角形或长方形，这不正是我们前面学习圆的周长时的“化曲为直”吗？只要解决了三角形或长方形的面积，就能求出圆的面积，这样就把要学的新知识，变成了学习过的旧知识，这就是我们之前经常遇到的——转化。
设计意图：将曲线图形圆转化成直线图形的探究过程，是推导圆的面积公式的难点。为了让学生能更加形象、直观地感受演变的过程，在学生自主操作的基础上，教师借助备课助手中的“生成工具”和“学习工具”进行演示、操作。尤其是随着等分的份数逐渐增加，这种直观的视觉冲击，不断刷新学生的想象能力，帮助学生理解并掌握转化的过程，而且在备课助手的一次次演示中，发挥学科工具的优势，弥补操作与想象的不足，学生能够充分感受“化曲为直”思想、“转化”思想和“极限”思想。 （6）发现关系推导公式。
①发现关系。
师：我们把圆转化成了三角形或平行四边形，仔细观察转化成的图形与圆之间有怎样的关系？
教师根据学生的汇报，借助备课助手“编辑”中的“平面图形”工具画线进行验证。
②推导公式。
师：大家能不能根据刚才的发现，推导出圆的面积计算公式呢？
方法一：将圆等分成32份，每份就是一个三角形，这个三角形的底是圆的周长的1/32，高是r，求出一个三角形的面积再乘32，就是圆的面积：2πr/32×r×1/2×32=πr2。
方法二：将圆等分成32份，拼成一个平行四边形，平行四边形的底是圆周长的一半，高是圆的半径，求出平行四边形的面积，就是圆的面积：1/2C×r=πr×r=πr2。
③梳理归纳。
教师带领学生对比这几种推导方法，发现转化成平行四边形相对简单，并利用备课助手里的动画带领学生一起梳理刚才的探究過程，验证圆的面积公式。
设计意图：掌握圆的面积计算公式，并理解圆的面积计算公式的推导过程，是本节课的重难点。在前面操作探究的基础上，充分发挥备课助手中的学科工具的优势，将转化前和转化后图形之间的关系，更加形象、直观地呈现在学生面前，加深学生对公式的理解。同时也注重学生学习方法的指导，在几何直观的帮助下，将学生的思考推向深入，引导学生进行逻辑思考和推理。
3.巩固提升，练习圆的面积
（1）基本练习。
（2）提升练习。
（3）拓展多种推导方法。
师：圆的面积公式除了可以转化成三角形和长方形来推导，还可以借助其他图形来推导，大家想不想看一看？
教师借助“生成工具”中的“圆与圆柱”工具进行演示，发现可以转化成一个三角形或一个梯形，推导出圆的面积公式。
4.课堂总结，知识延伸
师：同学们不仅学会了怎样计算圆的面积，还运用转化的方法，把圆这个新图形转化成了已经学过的图形，从而求出了圆的面积。以后大家遇到新问题，都可以尝试一下，看看能否把它转化成已经学过的知识来解决。
设计意图：练习环节主要体现层次性，拓展学生思路、培养学生创新思维的同时，也增加学生学习兴趣。
智慧反思
本节课充分体现了教为主导、学为主体的探究性自主学习与小组合作学习相结合的教学思想。学生经历了猜测、探究、验证、运用四个主要环节，打破了过去教师演示教具学生看的框框，让学生自主参与探索过程。尤其是借助“备课助手”中的学科工具提供化静为动、动静结合的操作和演示，促进学生建立空间观念并培养空间想象力，弥补了操作与想象的不足，使学生在获得空间观念的同时，感受到了“转化”“极限”等数学思想。当然，本节课也有一些遗憾和不足，如在探究“把圆转化成已学过的图形”时，缺乏有效的启发——为什么要把“曲”化为“直”，以及分析转化成的图形与圆之间的关系时，缺乏有针对性的引导，这些细节都是今后需要继续努力改进的地方。总之，信息技术的应用彻底改变了课堂教学模式，巧用学科工具，不仅让教师在操作上更加便捷，而且让课堂更加生动、直观，加深了学生对知识的理解，学生的学习兴趣也会大大提升。