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初中学生在解数学习题时难免会出现这样或那样的错误，对这些错误进行正确的分析是非常重要的。首先，教师可以通过分析数学解题中的错误来发现学生的不足，从而采取相应的补救措施。其次，学生数学解题中的错误从一个特定的角度揭示了教学过程中存在的问题。再次，数学解题中出现错误对学生来说也是一件好事，它能使学生意识到自己的不足，从而在学习过程中加深对所学知识的理解和掌握。
一、正视学生解题中的错误
以往教师只注重教给学生正确的结论，忽视了知识形成的过程，害怕因启发学生进行讨论会得出错误的结论。长此以往，学生虽接受了正确的结论，但对错误的出现缺乏心理准备，看不出错误或看出错误但不知道如何纠正，甚至弄不清出现错误的原因。事实上，错误是正确的先导，是成功的开始。学生在学习中所犯的错误及其对错误的认识，是学生获得和巩固知识的重要途径。
因此，教师应把对学生数学解题中出现错误的惧怕心理和不能正视的态度，转变为积极应对的心理和正确引导的态度。因为数学学习实际上是不断地提出假设，修正假设的过程。从这个意义上说，数学解题中出现错误不过是学生在数学学习过程中所做的某种尝试，它只能反映学生在数学学习的某个阶段的水平，而不能代表其最终的实际水平。此外，这些错误也使学生认识到自己的不足，从而不断努力。因此，揭示数学解题错误是为了尽量减少错误，我们所说的积极应对与正确引导也是相对于这一过程而言的。教师只有具备这样的积极应对心理与正确引导态度，才会耐心寻找学生解题过程中出现错误的原因，并做出正确的处理。
二、初中学生数学解题出错的原因
学生能顺利、正确地解答数学习题，表明其在观察、分析问题，提取、运用相应知识的环节上没有受到干扰或者说克服了干扰。就初中学生而言，答题的干扰主要来自以下两方面：一是学习小学数学知识时所形成的错误认识的干扰；二是学习初中数学知识时所形成的错误认识的干扰。
1.学习小学数学知识时所形成的错误认识的干扰
如学生学习小学数学时形成的某些认识会妨碍他们学习代数初步知识，造成解题错误。在小学数学中，解题结果常常是一个确定的数。受此影响，学生在解答下述问题时会出现混乱与错误。原题是这样的：“礼堂第一排有a个座位，后面每排都比前1排多1个座位，第2排有几个座位？第3排呢？设m为第n排的座位数，那么m是多少？求a=20，n=19时，m的值。”学生在解答上述问题时，受结果是确定的数的影响，把用n表示m与求m的值混为一谈，暴露出其思考过程受到小学数学知识干扰的问题。
又如，在小学减法运算中，被减数比减数大的认识根深蒂固。记得在初一上学期的一次摸底测试中，有这么一道题：计算“2 2－3”。部分学生一看到“2－3”这一部分，就说这道题无法求解，殊不知还有运算顺序的问题。
由此可见，初中开始阶段，学生解题出错的原因常可追溯到小学数学知识对其新学知识的影响。教师讲清新学知识的意义（如用字母表示数）、范围（正数、０、负数）、方法（代数和、代数方法） 与旧有知识（具体数字、非负数、加减运算、算术方法）的不同，有助于学生克服干扰，减少错误。
2.学习初中数学知识时所形成的错误认识的干扰
随着初中数学知识的深入学习，对初中数学知识的错误认识也会干扰新知识的学习。例如，在学有理数的减法时，教师反复强调减去一个数等于加上它的相反数，因而“3－7”中7前面的符号“－”是“减号”给学生留下了深刻的印象。紧接着学习代数和，又要强调把“3－7”看成正3与负7之和，“－”又成了负号。学生不禁产生到底要把“－”看成“减号”还是“负号”的困惑。这个困惑若不能很好地消除，学生就会产生运算错误。又如，了解不等式的解集以及运用不等式的基本性质是不等式教学的一个难点，学生常常在这里犯错误，其原因就是受等式的性质以及方程的解是一个数的干扰。若把不等式的有关内容与等式及方程的相应内容加以比较，使学生深入理解两者的异同，则有助于学生学好不等式的内容。此外，学生在解答简单问题时，需要提取、运用的知识少，因而受到知识间的干扰小，产生错误的可能性小；而遇到综合问题时，在知识的选取、运用上受到的干扰大，容易出错。
总之，这种知识的前后干扰，常常使学生在学习新知识时出现困惑，在解题时选错或用错知识，导致错误的发生。
三、减少初中学生数学解题出错的方法
综上所述，学生不能正确顺利地解题，产生解题错误，表明学生在解题过程中受到一些错误认识的干扰。因此，要纠正数学解题错误就要预防和排除对所学知识形成错误认识。为此，教师在教学中要抓好课前准备、课内讲解、课后讲评3个环节。
1.课前准备要有预见性
采取预防措施是减少初中学生数学解题出现错误的主要方法。讲课之前，教师应预测到学生学习本课内容时可能出现的错误，并能在课内讲解时有意识地指出并加以强调，从而有效地控制数学解题错误的发生。例如，讲“解方程x/0.7-（0.17-0.2x）/0.03=1” 之前，要预见到本题要用分式的基本性质与等式的性质，两者有可能混淆，因而要在引入新课前准备一些分数的基本性质与等式的性质的练习，帮助学生弄清两者的不同，避免产生混乱与错误。因此备课时，要仔细研究教科书正文中的关键字词、例题后的注意、小结与复习中应该注意的几个问题等，同时还要揣摩学生学习本课内容的心理过程，特别注意学生容易出错的地方，防患于未然。如果学生出现问题而未察觉，错误没有得到及时纠正，则遗患无穷，不仅影响学生当时的学习，还会影响他们以后的学习。因此，预见错误并有效防范能够为揭示错误、降低错误出现率打下基础。
2.课内讲解要有针对性
课内讲解时，教师要对学生可能出现的问题进行针对性的讲解。对于容易混淆的概念要引导学生用对比的方法，弄清它们的区别和联系。课内条件允许的话，可由学生分析解答例题，出现错误由学生合作更正，教师予以总结，并给学生展示揭示错误、排除错误的方法，使学生学会识别错误、纠正错误。教师要通过课堂提问及时了解学生的情况，对学生的错误回答，要分析其原因，进行针对性的讲解，利用错误知识巩固正确知识。加强课堂练习是发现学生错误的另一条有效途径，教师对练习中出现的问题要及时解决。总之，要通过课堂教学，不仅教会学生知识，而且要使学生学会识别对错，知错能改。
3.课后讲评要有总结性
要认真分析学生作业中的问题，总结出典型错误并进行讲评。通过讲评，进行适当的复习与总结，也使学生再经历一次尝试与修正的过程，增强识别错误、改正错误的能力。
学生的认知过程经历了从无到有，从不会到会，由表及里，由量变到质变的过程。其间正确与错误相互交织，教师对错误要正确对待、认真分析、有效控制，才能使学生的学习顺利进行，并逐步提高学生观察问题、分析问题和解决问题的能力。
作者单位 天津市武清区下朱庄街中学
（责任编辑 田欣欣）
一、正视学生解题中的错误
以往教师只注重教给学生正确的结论，忽视了知识形成的过程，害怕因启发学生进行讨论会得出错误的结论。长此以往，学生虽接受了正确的结论，但对错误的出现缺乏心理准备，看不出错误或看出错误但不知道如何纠正，甚至弄不清出现错误的原因。事实上，错误是正确的先导，是成功的开始。学生在学习中所犯的错误及其对错误的认识，是学生获得和巩固知识的重要途径。
因此，教师应把对学生数学解题中出现错误的惧怕心理和不能正视的态度，转变为积极应对的心理和正确引导的态度。因为数学学习实际上是不断地提出假设，修正假设的过程。从这个意义上说，数学解题中出现错误不过是学生在数学学习过程中所做的某种尝试，它只能反映学生在数学学习的某个阶段的水平，而不能代表其最终的实际水平。此外，这些错误也使学生认识到自己的不足，从而不断努力。因此，揭示数学解题错误是为了尽量减少错误，我们所说的积极应对与正确引导也是相对于这一过程而言的。教师只有具备这样的积极应对心理与正确引导态度，才会耐心寻找学生解题过程中出现错误的原因，并做出正确的处理。
二、初中学生数学解题出错的原因
学生能顺利、正确地解答数学习题，表明其在观察、分析问题，提取、运用相应知识的环节上没有受到干扰或者说克服了干扰。就初中学生而言，答题的干扰主要来自以下两方面：一是学习小学数学知识时所形成的错误认识的干扰；二是学习初中数学知识时所形成的错误认识的干扰。
1.学习小学数学知识时所形成的错误认识的干扰
如学生学习小学数学时形成的某些认识会妨碍他们学习代数初步知识，造成解题错误。在小学数学中，解题结果常常是一个确定的数。受此影响，学生在解答下述问题时会出现混乱与错误。原题是这样的：“礼堂第一排有a个座位，后面每排都比前1排多1个座位，第2排有几个座位？第3排呢？设m为第n排的座位数，那么m是多少？求a=20，n=19时，m的值。”学生在解答上述问题时，受结果是确定的数的影响，把用n表示m与求m的值混为一谈，暴露出其思考过程受到小学数学知识干扰的问题。
又如，在小学减法运算中，被减数比减数大的认识根深蒂固。记得在初一上学期的一次摸底测试中，有这么一道题：计算“2 2－3”。部分学生一看到“2－3”这一部分，就说这道题无法求解，殊不知还有运算顺序的问题。
由此可见，初中开始阶段，学生解题出错的原因常可追溯到小学数学知识对其新学知识的影响。教师讲清新学知识的意义（如用字母表示数）、范围（正数、０、负数）、方法（代数和、代数方法） 与旧有知识（具体数字、非负数、加减运算、算术方法）的不同，有助于学生克服干扰，减少错误。
2.学习初中数学知识时所形成的错误认识的干扰
随着初中数学知识的深入学习，对初中数学知识的错误认识也会干扰新知识的学习。例如，在学有理数的减法时，教师反复强调减去一个数等于加上它的相反数，因而“3－7”中7前面的符号“－”是“减号”给学生留下了深刻的印象。紧接着学习代数和，又要强调把“3－7”看成正3与负7之和，“－”又成了负号。学生不禁产生到底要把“－”看成“减号”还是“负号”的困惑。这个困惑若不能很好地消除，学生就会产生运算错误。又如，了解不等式的解集以及运用不等式的基本性质是不等式教学的一个难点，学生常常在这里犯错误，其原因就是受等式的性质以及方程的解是一个数的干扰。若把不等式的有关内容与等式及方程的相应内容加以比较，使学生深入理解两者的异同，则有助于学生学好不等式的内容。此外，学生在解答简单问题时，需要提取、运用的知识少，因而受到知识间的干扰小，产生错误的可能性小；而遇到综合问题时，在知识的选取、运用上受到的干扰大，容易出错。
总之，这种知识的前后干扰，常常使学生在学习新知识时出现困惑，在解题时选错或用错知识，导致错误的发生。
三、减少初中学生数学解题出错的方法
综上所述，学生不能正确顺利地解题，产生解题错误，表明学生在解题过程中受到一些错误认识的干扰。因此，要纠正数学解题错误就要预防和排除对所学知识形成错误认识。为此，教师在教学中要抓好课前准备、课内讲解、课后讲评3个环节。
1.课前准备要有预见性
采取预防措施是减少初中学生数学解题出现错误的主要方法。讲课之前，教师应预测到学生学习本课内容时可能出现的错误，并能在课内讲解时有意识地指出并加以强调，从而有效地控制数学解题错误的发生。例如，讲“解方程x/0.7-（0.17-0.2x）/0.03=1” 之前，要预见到本题要用分式的基本性质与等式的性质，两者有可能混淆，因而要在引入新课前准备一些分数的基本性质与等式的性质的练习，帮助学生弄清两者的不同，避免产生混乱与错误。因此备课时，要仔细研究教科书正文中的关键字词、例题后的注意、小结与复习中应该注意的几个问题等，同时还要揣摩学生学习本课内容的心理过程，特别注意学生容易出错的地方，防患于未然。如果学生出现问题而未察觉，错误没有得到及时纠正，则遗患无穷，不仅影响学生当时的学习，还会影响他们以后的学习。因此，预见错误并有效防范能够为揭示错误、降低错误出现率打下基础。
2.课内讲解要有针对性
课内讲解时，教师要对学生可能出现的问题进行针对性的讲解。对于容易混淆的概念要引导学生用对比的方法，弄清它们的区别和联系。课内条件允许的话，可由学生分析解答例题，出现错误由学生合作更正，教师予以总结，并给学生展示揭示错误、排除错误的方法，使学生学会识别错误、纠正错误。教师要通过课堂提问及时了解学生的情况，对学生的错误回答，要分析其原因，进行针对性的讲解，利用错误知识巩固正确知识。加强课堂练习是发现学生错误的另一条有效途径，教师对练习中出现的问题要及时解决。总之，要通过课堂教学，不仅教会学生知识，而且要使学生学会识别对错，知错能改。
3.课后讲评要有总结性
要认真分析学生作业中的问题，总结出典型错误并进行讲评。通过讲评，进行适当的复习与总结，也使学生再经历一次尝试与修正的过程，增强识别错误、改正错误的能力。
学生的认知过程经历了从无到有，从不会到会，由表及里，由量变到质变的过程。其间正确与错误相互交织，教师对错误要正确对待、认真分析、有效控制，才能使学生的学习顺利进行，并逐步提高学生观察问题、分析问题和解决问题的能力。
作者单位 天津市武清区下朱庄街中学
（责任编辑 田欣欣）