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[摘 要]为了上好人教版教材的“植树问题”公开课，不断修改完善，从教学内容的取舍、学生学习热情的激发等进行备课，并进行课后反思。
[关键词]植树问题;学生;间隔数;课堂
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2021）20-0094-02
根据往常的经验，面对四年级学生，如果想要“毕其功于一役”，在一节课的时间里将“植树问题”的三种情况（两端都栽、两端都不栽、一端栽一端不栽）“一网打尽”，势必要压缩探究的过程和减弱探究的效果。权衡利弊，笔者狠下决心，决定在课中忽略后两种植树情况，只保留最基本的第一种植树情况，将对后两种情况的探究放到下一节课集中解决。
一、内心的矛盾
这节课的教学设计，是从学生熟悉的事物导入，从数指头、数橡皮、数弹珠、数花坛栏杆到数校园内的盆景，联系生活中各种类似的排列现象以及植树情境，让学生认清间隔问题，通过观察，弄清间隔数、棵数之间的区别，初步感知棵数与间隔数之间的数量关系，为揭示出二者的逻辑关联埋下伏笔。接着创设解决问题的环节，激发学生运用已有知识经验解决现实问题的热情。
当学生发现植树棵数与间隔数之间不是一一对应的关系后，就着手在认知冲突处展开研究，解开疑惑。在教学中，笔者在巡视督导中惊喜地发现，学生在合作探究中的参与度非常高。这从侧面说明，这样的构想能够调动学生的学习动力，激发他们的求知欲，此时笔者既激动又有些担忧，内心十分矛盾：真是后生可畏，他们在小组活动中积极动脑，各种奇思妙想层出不穷，那么，是留出充裕的时间让每位学生一吐心声，还是节约时间，让部分学生做简要汇报，只要这其中出现自己想要的结果就行？倘若笔者采取第一种方式，汇报时间必然会很长，为了赶进度本堂课很可能草草收尾;倘若选择第二种方式，课堂必会一帆风顺畅通无阻，但学生得不到展示机会。
二、操作为主尽情展示
犹豫再三后，看着学生高举的手、如饥似渴的眼神、不吐不快的表情，笔者毅然选择了第一种方式，让学生逐个上台各抒己见。学生通过独立思考、观察对比数据、组内合作等环节，汇报的时候各有各的主张。有的说：“两端都栽树时，栽树棵数=间隔数 1，间隔数=栽树棵数-1。”有的学生进行补充，证明了上述结论的可靠性，同时指出：“两端都栽树的时候，在路长不变的前提下，相邻两棵树之间的间距越大，间隔数越少。相邻两棵树之间的间距越小，间隔数越多。”还有的小组总结出文字公式“全长÷间距=间隔数”，又有的小组受到前面小组的鞭策和启示，提出：“间距×间隔数=全长，这里面的间隔数既可以用路长除以间距算出来，也可以用植树棵数减1求得……”广开言路之后，笔者又选择了常见的植树规划模型问题，如在操场上的跑道一侧摆放花盆、在院墙上插上红旗等模拟实践活动，让学生在对照练习中了解到“植树问题”的广泛性，深刻领悟到两端都栽树时，植树棵数与间隔数之间的关系，同时体会到“植树问题”在生活中的实用性和研究价值，增强建立“植树问题”模型的心理动机。还让学生在观察、比较的过程中拓展视角，理解两端都栽树时，植树棵数、间隔数、间距三者之间的数量关系，弄清解决“植树问题”的要诀。不出所料，时间仓促，课堂出现了虎头蛇尾的局面。
三、课后反思与心得
那么，花费大量时间让学生体验、探究、交流、汇报，到底值不值？
1.课堂应是学生自主探究、自主构建、自由发挥的乐园。课堂是为学习创造条件和提供保障的，教学活动就应该揭露出学生的认知状态，营建民主、平等的研学环境，让学生实现学习的自力更生，唯有如此，对于学生今后的学习和发展才能起到促进作用。“植树问题”所蕴含的规律是理解的难点，但对于“植树问题”本身，学生司空见惯。新课伊始，笔者就设计学生熟悉的情境，让学生看清间隔数、数清间隔数。慢慢地，功夫不负有心人，学生借助原始经验理解并建立了相邻树木之间的间隔数这个概念，并能准确无误地数清间隔数了，从而揭示出间隔距离与间隔数之间的对应关系。这为后面学习“植树问题”的公式清除了障碍。教学过程中，笔者对学生凭借自己的经验获得的认知给予肯定，不强行灌输观点。在探究两端都栽树时的运算规律时，笔者只是提了一些小小的要求，就让学生根据题意在各小组内模拟植树，自由辩论，自由发表见解。笔者还为学生准备长度不一的学具，让学生模拟植树操作，契合学生的认知心理，训练与磨砺了学生的思维。笔者干脆在小组总结陈词时，把讲台交给了学生，让他们自己上台汇报研究成果，再让大家提出意见，由他们答辩。通过这一系列措施，使得他们的学习热情空前高涨，课堂高潮迭起。从问题的提出到问题的解决，完全是学生自己拿主意，他们不光运用了原始知识经验，而且在小组合作研讨中，碰撞出了新的灵感，所有学生都大显身手，表现不俗。
2.课堂教学中，要达到让学生在探究时感知到数学思想方法，积累到数学活动经验的目的。“通过数学学习使学生获得适应社会的必备技能、基本思想、基本活动经验”是我们教师一贯的教学主张。在探究中为学生准备长短不一的学具，用学具来表示路线长度，运用不完全归纳法总结规律，同时渗透化繁为简、化难为易的数学思想，和从特殊推广到一般的思想。探索知识的进程中，既要独立思考，又要合作探究，学生接触的是有动有静的鲜活课堂，他们在经历知识生成的过程中，既享受到了乐趣，又积累了宝贵的活动经验，也为今后学习习惯的养成打下坚实基础。
3.由具象到抽象构建数学模型。教学中，教师应顺应学生的心理，不捆绑他们，而是大胆放手，在备好学具的前提下，留给他们充裕的时间去操作，让学生在操作中探究和思考，慢慢归纳出“植树问题”中蕴含的规律。学生通过直观操作总结出两端植树时植树棵数与间隔数之间的数量关系，由具体到抽象，数学模型瓜熟蒂落。特别是当学生展示成果时，其他学生的质疑也是有理有据的，是他们从操作中产生的灵感和困惑。动手操作虽然费时费力，可是磨刀不误砍柴工，学生在动手操作中获取的是最有生命力的认知，并行的是积极的数学思考，沉淀的是对知识的深刻的认识。练习环节中的“一题三变”，让学生经历了从具体到抽象的洗礼，构建了数学模型。学生在观察比较后基本能搞清植树棵数、间隔数和间距之间的对应关系，清醒意识到确定间隔数是解题的秘诀。
常言道，课堂教学是一门有缺憾的艺术。虽然这节课很成功，但还有许多缺陷，如时间安排不合理，结局不完美等，但是課堂上学生自由支配的时间十分宽裕，每个学生都能尽情展现自己，乐在其中。笔者觉得课堂教学就应该顺应“民意”，如此才能真正为学生服务。
（责编 杨偲培）
[关键词]植树问题;学生;间隔数;课堂
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2021）20-0094-02
根据往常的经验，面对四年级学生，如果想要“毕其功于一役”，在一节课的时间里将“植树问题”的三种情况（两端都栽、两端都不栽、一端栽一端不栽）“一网打尽”，势必要压缩探究的过程和减弱探究的效果。权衡利弊，笔者狠下决心，决定在课中忽略后两种植树情况，只保留最基本的第一种植树情况，将对后两种情况的探究放到下一节课集中解决。
一、内心的矛盾
这节课的教学设计，是从学生熟悉的事物导入，从数指头、数橡皮、数弹珠、数花坛栏杆到数校园内的盆景，联系生活中各种类似的排列现象以及植树情境，让学生认清间隔问题，通过观察，弄清间隔数、棵数之间的区别，初步感知棵数与间隔数之间的数量关系，为揭示出二者的逻辑关联埋下伏笔。接着创设解决问题的环节，激发学生运用已有知识经验解决现实问题的热情。
当学生发现植树棵数与间隔数之间不是一一对应的关系后，就着手在认知冲突处展开研究，解开疑惑。在教学中，笔者在巡视督导中惊喜地发现，学生在合作探究中的参与度非常高。这从侧面说明，这样的构想能够调动学生的学习动力，激发他们的求知欲，此时笔者既激动又有些担忧，内心十分矛盾：真是后生可畏，他们在小组活动中积极动脑，各种奇思妙想层出不穷，那么，是留出充裕的时间让每位学生一吐心声，还是节约时间，让部分学生做简要汇报，只要这其中出现自己想要的结果就行？倘若笔者采取第一种方式，汇报时间必然会很长，为了赶进度本堂课很可能草草收尾;倘若选择第二种方式，课堂必会一帆风顺畅通无阻，但学生得不到展示机会。
二、操作为主尽情展示
犹豫再三后，看着学生高举的手、如饥似渴的眼神、不吐不快的表情，笔者毅然选择了第一种方式，让学生逐个上台各抒己见。学生通过独立思考、观察对比数据、组内合作等环节，汇报的时候各有各的主张。有的说：“两端都栽树时，栽树棵数=间隔数 1，间隔数=栽树棵数-1。”有的学生进行补充，证明了上述结论的可靠性，同时指出：“两端都栽树的时候，在路长不变的前提下，相邻两棵树之间的间距越大，间隔数越少。相邻两棵树之间的间距越小，间隔数越多。”还有的小组总结出文字公式“全长÷间距=间隔数”，又有的小组受到前面小组的鞭策和启示，提出：“间距×间隔数=全长，这里面的间隔数既可以用路长除以间距算出来，也可以用植树棵数减1求得……”广开言路之后，笔者又选择了常见的植树规划模型问题，如在操场上的跑道一侧摆放花盆、在院墙上插上红旗等模拟实践活动，让学生在对照练习中了解到“植树问题”的广泛性，深刻领悟到两端都栽树时，植树棵数与间隔数之间的关系，同时体会到“植树问题”在生活中的实用性和研究价值，增强建立“植树问题”模型的心理动机。还让学生在观察、比较的过程中拓展视角，理解两端都栽树时，植树棵数、间隔数、间距三者之间的数量关系，弄清解决“植树问题”的要诀。不出所料，时间仓促，课堂出现了虎头蛇尾的局面。
三、课后反思与心得
那么，花费大量时间让学生体验、探究、交流、汇报，到底值不值？
1.课堂应是学生自主探究、自主构建、自由发挥的乐园。课堂是为学习创造条件和提供保障的，教学活动就应该揭露出学生的认知状态，营建民主、平等的研学环境，让学生实现学习的自力更生，唯有如此，对于学生今后的学习和发展才能起到促进作用。“植树问题”所蕴含的规律是理解的难点，但对于“植树问题”本身，学生司空见惯。新课伊始，笔者就设计学生熟悉的情境，让学生看清间隔数、数清间隔数。慢慢地，功夫不负有心人，学生借助原始经验理解并建立了相邻树木之间的间隔数这个概念，并能准确无误地数清间隔数了，从而揭示出间隔距离与间隔数之间的对应关系。这为后面学习“植树问题”的公式清除了障碍。教学过程中，笔者对学生凭借自己的经验获得的认知给予肯定，不强行灌输观点。在探究两端都栽树时的运算规律时，笔者只是提了一些小小的要求，就让学生根据题意在各小组内模拟植树，自由辩论，自由发表见解。笔者还为学生准备长度不一的学具，让学生模拟植树操作，契合学生的认知心理，训练与磨砺了学生的思维。笔者干脆在小组总结陈词时，把讲台交给了学生，让他们自己上台汇报研究成果，再让大家提出意见，由他们答辩。通过这一系列措施，使得他们的学习热情空前高涨，课堂高潮迭起。从问题的提出到问题的解决，完全是学生自己拿主意，他们不光运用了原始知识经验，而且在小组合作研讨中，碰撞出了新的灵感，所有学生都大显身手，表现不俗。
2.课堂教学中，要达到让学生在探究时感知到数学思想方法，积累到数学活动经验的目的。“通过数学学习使学生获得适应社会的必备技能、基本思想、基本活动经验”是我们教师一贯的教学主张。在探究中为学生准备长短不一的学具，用学具来表示路线长度，运用不完全归纳法总结规律，同时渗透化繁为简、化难为易的数学思想，和从特殊推广到一般的思想。探索知识的进程中，既要独立思考，又要合作探究，学生接触的是有动有静的鲜活课堂，他们在经历知识生成的过程中，既享受到了乐趣，又积累了宝贵的活动经验，也为今后学习习惯的养成打下坚实基础。
3.由具象到抽象构建数学模型。教学中，教师应顺应学生的心理，不捆绑他们，而是大胆放手，在备好学具的前提下，留给他们充裕的时间去操作，让学生在操作中探究和思考，慢慢归纳出“植树问题”中蕴含的规律。学生通过直观操作总结出两端植树时植树棵数与间隔数之间的数量关系，由具体到抽象，数学模型瓜熟蒂落。特别是当学生展示成果时，其他学生的质疑也是有理有据的，是他们从操作中产生的灵感和困惑。动手操作虽然费时费力，可是磨刀不误砍柴工，学生在动手操作中获取的是最有生命力的认知，并行的是积极的数学思考，沉淀的是对知识的深刻的认识。练习环节中的“一题三变”，让学生经历了从具体到抽象的洗礼，构建了数学模型。学生在观察比较后基本能搞清植树棵数、间隔数和间距之间的对应关系，清醒意识到确定间隔数是解题的秘诀。
常言道，课堂教学是一门有缺憾的艺术。虽然这节课很成功，但还有许多缺陷，如时间安排不合理，结局不完美等，但是課堂上学生自由支配的时间十分宽裕，每个学生都能尽情展现自己，乐在其中。笔者觉得课堂教学就应该顺应“民意”，如此才能真正为学生服务。
（责编 杨偲培）