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【摘要】本文主要针对求解数列极限的具体实例，对各类求解数列极限的方法进行归纳和总结，掌握了这些求数列极限的解题方法和技巧，能够大大提高解题能力和解题效率.
【关键词】数列极限;解题方法
数列极限问题是高等数学中极限问题的重要组成部分，如何求数列的极限教材一般介绍得比较简单、分散.本文将根据具体的数列求极限问题探讨其解题方法.
一、先求出n项和的表达式再求极限
这种方法通常适用于求数列通项为n项和的极限问题.求n项和的表达常常需要高中阶段求数列前n项和的方法，高中问题这里不再详述.
例1求limn→∞1+32+522+723+…+2n-12n-1.
由于cn=2n-12n-1=anbn，其中an=2n-1是等差数列，bn=12n-1是等比数列.求这样的数列{anbn}的前n项和，常用“乘公比，错位减”的方法.故设Sn=1+32+522+723+…+2n-12n-1，则12Sn=12+322+523+724+…+2n-12n，将两式相减，可得
12Sn=2+12+122+123+…+12n-2-2n-12n=3-2n+32n，
故Sn=6-4n+62n.
因为limx→∞4x+62x=limx→∞42xln 2=0，
故limn→∞4n+62n=limx→∞4x+62x=0.
所以limn→∞1+32+522+723+…+2n-12n-1=6-0=6.
二、利用两边夹准则求数列极限
有时求数列通项为n项和的极限问题先求n项和的表达式是很难做到的，这时需要尝试其他的方法，两边夹准则就是常考虑的方法.利用两边夹准则求极限时一般需要放缩n项和，常用的放缩技巧如下：
（1）几个正数乘积中，略去大于1的因子就缩小，略去小于1的因子就放大;
（2）分子、分母都是正数，分母缩小（放大），则分数放大（缩小），分子缩小（放大） ，则分数缩小（放大）;
（3）n个正数之和可缩小为n个最小数之和（或缩小为最大数），也可放大为n个最大数之和.
例2求limn→∞1n2+n+1+2n2+n+2+…+nn2+n+n.
由于和式中各项的分子、分母都是正数，故可用放缩技巧（2），即
i[]n2+n+n≤i[]n2+n+i≤i[]n2+n+1（i=1，2，…，n），
于是，有n（n+1）[]2n2+n+n≤∑ni=1in2+n+i≤n（n+1）[]2n2+n+1，
又limn→∞n（n+1）[]2n2+n+n=12，limn→∞n（n+1）[]2n2+n+1=12，
则limn→∞1n2+n+1+2n2+n+2+…+nn2+n+n=12.
例3求limn→∞1+2n+3n+4n1n.
由于表达式的底数部分是几个正数之和，可用放缩技巧（3），即
4=（4n）1[]n≤（1+2n+3n+4n）1[]n≤41[]n·4，limn→∞ 4·41n=4，
所以limn→∞（1+2n+3n+4n）1n=4.
三、利用定積分定义求数列极限
一般求每项为无穷小的无限项的和式极限时通常要考虑利用定积分定义求极限.
例4求limn→∞nn2+1+nn2+22+…+nn2+n2.
将这个和式化为某个函数在某个区间上的积分和，从而可利用定积分求和式极限.
先将和式改写，
nn2+1+nn2+22+…+nn2+n2
=1n11+1n2+11+2n2+…+11+nn2.
考虑用[0，1]区间上的函数f（x）=11+x2将[0，1]区间n等分，取每个小区间的右端点ξi，故
nn2+1+nn2+22+…+nn2+n2=∑ni=111+ξ2iΔxi
=∑ni=111+in2·1n，
所以limn→∞nn2+1+nn2+22+…+nn2+n2=∫011+x2dx=π4.
有的求数列极限问题表面上看不能利用定积分的定义来求，但经过适当的变形之后是可以用的，如例5.
例5求limn→∞nn！n.
求解过程如下：limn→∞nn！n=elimn→∞ lnnn！n=elimn→∞1n [ln（n！）-nln n]
=elimn→∞1n∑ni=1lnin=e∫10ln xdx=1e.
注意，这里的∫10ln xdx是瑕积分，具体求瑕积分的过程此处省略了.
四、由单调有界原理及其递推公式求数列的极限
用这种方法求极限的一般步骤如下：
（1）由已知条件确定数列{xn}的递推公式xn+1=f（xn）;
（2）利用递推公式证明此数列是单调有界数列;
（3）对递推公式两边取极限得到关于此数列极限的方程，解方程得到数列极限.
例6设x1=2，xn+1=12xn+2xn，n=1，2，3，…，证明：数列{xn}收敛，并求此极限limn→∞ xn.
由已知，显然有xn>0n=1，2，3，…，
xn+1=12xn+2xn≥xn·2xn=2，n=1，2，3，…，
即数列xn有下界，由此可知，
xn+1-xn=122xn-xn=2-x2n2xn≤0.
因此，数列xn单调递减且收敛，故limn→∞ xn的极限存在.设limn→∞ xn=A，对所给递推公式两边取极限，可得A=12A+2A，解得A=2，注意A>0. 五、利用级数收敛的必然条件求数列极限
级数收敛的必要条件：若级数∑∞n=1un收敛，则limn→∞ un=0.
例7求limn→∞n！nn.
考虑正项级数∑∞n=1n！nn.
由于limn→∞（n+1）！[]（n+1）（n+1）[]n！[]nn=limn→∞1[]1+1[]nn=1[]e<1.
所以正项级数∑∞n=1n！nn收敛.
由级数收敛的必要条件，得limn→∞n！nn=0.
六、利用施笃兹定理（Stolz）求数列极限
施笃兹定理一般教材都没有介绍，它可以用来计算某些难度较大的数列极限limn→∞xnyn（无穷比无穷型）.施笃兹定理被称为数列极限的洛必达法则，其定理内容如下：
设数列yn严格增大，且无界，若limn→∞xn-xn-1yn-yn-1存在或为∞，则limn→∞xnyn=limn→∞xn-xn-1yn-yn-1.
下面利用施笃兹定理再求解一遍例5.
limn→∞n[]n！[]n=limn→∞n[]n！[]nn=elimn→∞1[]nlnn！[]nn=
elimn→∞ln（n！）-nln n[]n
=elimn→∞ln（n！）-nln n-ln（（n-1）！）+（n-1）ln（n-1）[]n-（n-1）
=elimn→∞ln（n（n-1）！）-nln n-ln（（n-1）！）+（n-1）ln（n-1）[]n-（n-1）
=
elimn→∞（n-1）（ln（n-1）-ln n）=
elimn→∞ lnn-1[]nn-1
=
limn→∞n-1[]nn-1
=
limn→∞1-1[]n-nn-1[]-n=1[]e.
七、利用中值定理求數列极限
例8求limn→∞n2arctanan-arctanan+1（a≠0）.
由极限表达式的形式考虑用拉格朗日中值定理求解，设f（x）=arctan x，在an与an+1构成的区间上对f（x）使用拉格朗日中值定理，即存在介于an与an+1的ξ，使得
fa[]n-fa[]n+1=f′（ξ）a[]n-a[]n+1
=1[]n（n+1）·a[]ξ2+1
=arctana[]n-arctana[]n+1，
所以limn→∞ n2arctanan-arctanan+1=limn→∞n2n（n+1）·a1+ξ2=a.
【参考文献】
[1]刘玉莲，杨奎元.数学分析讲义学习辅导书[M].北京：高等教育出版社，2003.
[2]同济大学数学教研室.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2004.
【关键词】数列极限;解题方法
数列极限问题是高等数学中极限问题的重要组成部分，如何求数列的极限教材一般介绍得比较简单、分散.本文将根据具体的数列求极限问题探讨其解题方法.
一、先求出n项和的表达式再求极限
这种方法通常适用于求数列通项为n项和的极限问题.求n项和的表达常常需要高中阶段求数列前n项和的方法，高中问题这里不再详述.
例1求limn→∞1+32+522+723+…+2n-12n-1.
由于cn=2n-12n-1=anbn，其中an=2n-1是等差数列，bn=12n-1是等比数列.求这样的数列{anbn}的前n项和，常用“乘公比，错位减”的方法.故设Sn=1+32+522+723+…+2n-12n-1，则12Sn=12+322+523+724+…+2n-12n，将两式相减，可得
12Sn=2+12+122+123+…+12n-2-2n-12n=3-2n+32n，
故Sn=6-4n+62n.
因为limx→∞4x+62x=limx→∞42xln 2=0，
故limn→∞4n+62n=limx→∞4x+62x=0.
所以limn→∞1+32+522+723+…+2n-12n-1=6-0=6.
二、利用两边夹准则求数列极限
有时求数列通项为n项和的极限问题先求n项和的表达式是很难做到的，这时需要尝试其他的方法，两边夹准则就是常考虑的方法.利用两边夹准则求极限时一般需要放缩n项和，常用的放缩技巧如下：
（1）几个正数乘积中，略去大于1的因子就缩小，略去小于1的因子就放大;
（2）分子、分母都是正数，分母缩小（放大），则分数放大（缩小），分子缩小（放大） ，则分数缩小（放大）;
（3）n个正数之和可缩小为n个最小数之和（或缩小为最大数），也可放大为n个最大数之和.
例2求limn→∞1n2+n+1+2n2+n+2+…+nn2+n+n.
由于和式中各项的分子、分母都是正数，故可用放缩技巧（2），即
i[]n2+n+n≤i[]n2+n+i≤i[]n2+n+1（i=1，2，…，n），
于是，有n（n+1）[]2n2+n+n≤∑ni=1in2+n+i≤n（n+1）[]2n2+n+1，
又limn→∞n（n+1）[]2n2+n+n=12，limn→∞n（n+1）[]2n2+n+1=12，
则limn→∞1n2+n+1+2n2+n+2+…+nn2+n+n=12.
例3求limn→∞1+2n+3n+4n1n.
由于表达式的底数部分是几个正数之和，可用放缩技巧（3），即
4=（4n）1[]n≤（1+2n+3n+4n）1[]n≤41[]n·4，limn→∞ 4·41n=4，
所以limn→∞（1+2n+3n+4n）1n=4.
三、利用定積分定义求数列极限
一般求每项为无穷小的无限项的和式极限时通常要考虑利用定积分定义求极限.
例4求limn→∞nn2+1+nn2+22+…+nn2+n2.
将这个和式化为某个函数在某个区间上的积分和，从而可利用定积分求和式极限.
先将和式改写，
nn2+1+nn2+22+…+nn2+n2
=1n11+1n2+11+2n2+…+11+nn2.
考虑用[0，1]区间上的函数f（x）=11+x2将[0，1]区间n等分，取每个小区间的右端点ξi，故
nn2+1+nn2+22+…+nn2+n2=∑ni=111+ξ2iΔxi
=∑ni=111+in2·1n，
所以limn→∞nn2+1+nn2+22+…+nn2+n2=∫011+x2dx=π4.
有的求数列极限问题表面上看不能利用定积分的定义来求，但经过适当的变形之后是可以用的，如例5.
例5求limn→∞nn！n.
求解过程如下：limn→∞nn！n=elimn→∞ lnnn！n=elimn→∞1n [ln（n！）-nln n]
=elimn→∞1n∑ni=1lnin=e∫10ln xdx=1e.
注意，这里的∫10ln xdx是瑕积分，具体求瑕积分的过程此处省略了.
四、由单调有界原理及其递推公式求数列的极限
用这种方法求极限的一般步骤如下：
（1）由已知条件确定数列{xn}的递推公式xn+1=f（xn）;
（2）利用递推公式证明此数列是单调有界数列;
（3）对递推公式两边取极限得到关于此数列极限的方程，解方程得到数列极限.
例6设x1=2，xn+1=12xn+2xn，n=1，2，3，…，证明：数列{xn}收敛，并求此极限limn→∞ xn.
由已知，显然有xn>0n=1，2，3，…，
xn+1=12xn+2xn≥xn·2xn=2，n=1，2，3，…，
即数列xn有下界，由此可知，
xn+1-xn=122xn-xn=2-x2n2xn≤0.
因此，数列xn单调递减且收敛，故limn→∞ xn的极限存在.设limn→∞ xn=A，对所给递推公式两边取极限，可得A=12A+2A，解得A=2，注意A>0. 五、利用级数收敛的必然条件求数列极限
级数收敛的必要条件：若级数∑∞n=1un收敛，则limn→∞ un=0.
例7求limn→∞n！nn.
考虑正项级数∑∞n=1n！nn.
由于limn→∞（n+1）！[]（n+1）（n+1）[]n！[]nn=limn→∞1[]1+1[]nn=1[]e<1.
所以正项级数∑∞n=1n！nn收敛.
由级数收敛的必要条件，得limn→∞n！nn=0.
六、利用施笃兹定理（Stolz）求数列极限
施笃兹定理一般教材都没有介绍，它可以用来计算某些难度较大的数列极限limn→∞xnyn（无穷比无穷型）.施笃兹定理被称为数列极限的洛必达法则，其定理内容如下：
设数列yn严格增大，且无界，若limn→∞xn-xn-1yn-yn-1存在或为∞，则limn→∞xnyn=limn→∞xn-xn-1yn-yn-1.
下面利用施笃兹定理再求解一遍例5.
limn→∞n[]n！[]n=limn→∞n[]n！[]nn=elimn→∞1[]nlnn！[]nn=
elimn→∞ln（n！）-nln n[]n
=elimn→∞ln（n！）-nln n-ln（（n-1）！）+（n-1）ln（n-1）[]n-（n-1）
=elimn→∞ln（n（n-1）！）-nln n-ln（（n-1）！）+（n-1）ln（n-1）[]n-（n-1）
=
elimn→∞（n-1）（ln（n-1）-ln n）=
elimn→∞ lnn-1[]nn-1
=
limn→∞n-1[]nn-1
=
limn→∞1-1[]n-nn-1[]-n=1[]e.
七、利用中值定理求數列极限
例8求limn→∞n2arctanan-arctanan+1（a≠0）.
由极限表达式的形式考虑用拉格朗日中值定理求解，设f（x）=arctan x，在an与an+1构成的区间上对f（x）使用拉格朗日中值定理，即存在介于an与an+1的ξ，使得
fa[]n-fa[]n+1=f′（ξ）a[]n-a[]n+1
=1[]n（n+1）·a[]ξ2+1
=arctana[]n-arctana[]n+1，
所以limn→∞ n2arctanan-arctanan+1=limn→∞n2n（n+1）·a1+ξ2=a.
【参考文献】
[1]刘玉莲，杨奎元.数学分析讲义学习辅导书[M].北京：高等教育出版社，2003.
[2]同济大学数学教研室.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2004.