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摘 要：数学是“真与美”和谐统一的学科。在儿童数学学习中，教师要发掘数学美的因子，运用数学的美学特质，引领儿童展开“合规律性”与“合目的性”的解题。在领略数学简约、和谐、对称、相似与奇异美的过程中，优化儿童解题思路，形成儿童的灵动思维。
关键词：数学之美；数学之真；解题思路
数学是一门真与美高度和谐统一的学科。古希腊著名数学家普洛克拉斯曾经断言，“哪里有数，哪里就有美。”英国逻辑学家罗素也曾说，“数学，如果正确地看，不但拥有真理，而且具有至高无上的美——正像雕刻的美，是一种冷而严肃的美。”在数学教学中，引领儿童运用“美的眼光”打量习题，运用“美的数学思想、方法”进行解题，能够让孩子在数学王国中自由游弋。数学的美是丰富的、博大的，从表现内容上看，有数的美、式的美、形的美、关系的美等；从表现形式上看，有简约美、对称美、和谐美、相似美、奇异美等。教学中，教师若能唤醒儿童审美经验、审美直觉，运用儿童的审美想象与审美思维，则一定能让数学的问题解决进入别开洞天的境界。
一、追寻简约，优化解题方法
“简约”是数学知识的基本特性，许多数学问题从表面上看是复杂的，但如果我们能够运用简约观点、简约方法对它展开转化、变换、分解、降维等，则往往能够发现其在数学本质上简约的一面。著名数学家高斯曾经这样说，“去寻求一种最简的证明，乃是吸引我去研究的主要动力。”追求数学的简约之美往往能够让人的思维产生飞跃，进而直观把握问题的数学本质。
例1：计算9 99 999 …
分析：这道题初看上去非常繁杂，如果我们直接相加计算简直不可思议。而如果我们采用“以小见大找规律”进行计算，也是非常麻烦的。但如果我们能够用美的眼光、从简约的视角去打量，就会发现题目的表现形式很有个性，每一个数都是由数字9组成的，这些数都和10n（n为正整数）相差1。因此，我们不妨先借2016个1，让每一个数都变成10n（n为正整数）的形式，这样或许能够找到问题解决的捷径。
因此，原式=10 100 1000 … 1-2016
=0-2016
=09094
可见，追寻数学的简约之美有利于把握问题的数学本质，探索出解决数学问题的捷径，并且这种简约的方法时常让人感受到问题解决过程的明快、流畅与透彻，产生一种如沐春风的感觉。诚如著名物理学大师爱因斯坦所说，“美，本质上终究是简洁性。”朴素、简约应该是数学的基本特性。
二、感悟和谐，培养灵动思维
数学的和谐美是指数学知识的部分与部分、部分与整体之间的圆融、贯通、协调与一致等。数学和谐既包括数学本身的和谐，即“数形和谐”“数数和谐”“形形和谐”等，也包括数学问题解决策略、方法、思想的和谐。尽管数学的表现形式是多种多样、纷繁复杂的，但其内在的本质却是统一的。
例2：
分析：这样一道分数的化简题，乍一看，简直是“乱花渐欲迷人眼”，但仔细观察，我们又会被它外在的整齐、和谐、圆融与对称所折服。这种和谐让人产生内在的、积极的解题欲望，欲罢而不能。然而直接展开计算，破坏式子的和谐，将会越算越烦琐。因此，必须思考其和谐、对称的特质。首先看分母，根据加法交换律和结合律，可以看出是8个8，也就是8×8；其次看分子，分子是88888888×88888888，这样我们就可以约分，将分数化简。
原式=
=11111111×11111111
=123456787654321
本题无论是题目的表征形式还是计算过程，抑或计算结果，都是非常和谐的，这种和谐我们凭直觉就能感知到。在这里，和谐是对立的、杂多的统一。而本题中解决问题的思维过程就是对已知条件进行分析的过程，就是协调式子各部分关系的过程，这个过程尽管为式子外在的和谐所吸引，但却是内在的、看不见的，然而也正是在这个意义上，诚如赫拉克利特所说，“看不见的和谐比看得见的和谐”更好。
三、启迪对称，形成召唤结构
格式塔美学认为，艺术设计应当把握“完美形”与“不完美形”、“简单形”与“复杂形”之间的张力。在儿童数学教学中，教师可以运用对称，发掘习题的召唤结构，让儿童通过图形补白、想象等对图形进行加工、组织与建构，让“不完全形”形成一种“形式意味”，诱发儿童的创造性想象，进而解决问题。
例3：求图1所示图形的体积。
分析：本题中的形体是一个不规则的几何形体，不能直接运用体积公式。然而该形体看上去又非常接近圆柱。如果我们用对称的眼光去观察，那么原来的形体就犹如一种“召唤结构”，等待着我们去填补、完善，使之臻于完整。那么，怎样运用对称性去补白呢？这里，我们用一个和它完全相同的几何形体倒置在它上面，这样就能形成一个标准的圆柱体，新圆柱的高为：3 5=8厘米，新圆柱的底面积就是原来几何形体的底面积，新圆柱的体积是原来几何形体体积的2倍。
因此，可以算出原来几何形体的体积：V=π×22×（3 5）÷2=16π（cm3）。
在本题中，对称预示着一种平衡之美，教学中教师要巧妙地利用对称建构完形，引导儿童从整体上把握几何形体的本质，让学生在恍然大悟中获得智慧的启迪。在这个过程中，引领儿童完形想象，让儿童对几何形体进行主动构造，培养儿童的审美能力和创美素质。
四、运用相似，引发类比联想
相似的条件、相似的因素往往能产生相似的结果、相似的关系。在儿童数学教学中，教师要以“相似美”为指导，引领儿童对数学问题展开类比、联想、猜想等，让儿童获得相似性启示。有时相似性启示来自于儿童敏锐的数学直觉，它能帮助儿童发现新思路，解决原问题。
例4：小明的奶奶在下午做手工，开始做时奶奶看了一下钟面，分针略超过时针。做完手工，奶奶再次看了一下钟面，发现这时时针和分针正好换了一下位置。问题：奶奶做手工用了多长时间？ 分析：本题中没有一个数据，看上去简直无从下手。但解题经验告诉我们，钟面上的数学问题通常可以类比行程问题中的追及或相遇问题。那么，这一道题中的时针和分针正好换了一下位置到底意味着什么呢？分针到了原来时针的位置，说明分针走了一圈但缺少时针所走的一段距离；时针到了原来分针的位置，说明时针走了一圈但缺少分针所走的一段距离。这样时针和分针所走的路程和正好是1圈。于是我们可以作如下类比：甲（分针）的速度是乙（时针）的12倍，甲、乙一共行驶了60千米（60小格即60分钟），甲行驶了多少千米？
因此，本题可以这样列式：60÷（1 12）×12=55（分）。
这里，巧妙运用类比进行相似联想，促进了儿童对知识的迁移、探究，培养了儿童数学思维的广阔性，提升了儿童解决问题的能力。这种相似让儿童领略到数学的无穷魅力。诚如著名数学家克莱因所说，“数学是人类最高最优越的智力成就，也是人类心灵最独特的创作。音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目……但是数学却能提供上述一切。”
五、体验奇异，突破常规思路
数学的奇异美是指数学问题的解决过程和解决结果常常能让人体验到数学的独特与新颖，让人不由地惊奇与折服。在儿童数学学习中，教师可以运用寻求特例、反例，构造极端等方法，让儿童突破常规思路。所谓“以退求进”“正难则反”等都是数学奇异美的解题表现。数学奇异的解题过程能够发展儿童的逆向思维、求异思维与发散思维等。
例5：有16支足球队参加比赛，比赛以单场淘汰制（即每场比赛淘汰一支球队）进行，那么一共要进行多少场比赛才能产生冠军？
分析：本题我们可以画图（如图2）帮助理解。因为是16支球队，每两队进行一场比赛，所以第一轮应该有8场比赛，淘汰8支球队。第二轮应该有4场比赛，淘汰4支球队。第三轮应该有2场比赛，淘汰2支球队。第四轮应该有一场比赛（冠亚军决赛），淘汰一支球队。这样一共进行了8 4 2 1=15场比赛，淘汰了15支球队。而如果我们反过来思考，一共是16支球队，最后剩下1支球队，那么一定是淘汰了15支球队。因为一场比赛只能淘汰一支球队，所以一共要进行16-1=15场比赛。
数学的奇异解法常常让人击节叫好、拍案叫绝，将我们带入数学深刻的审美意境。有时，我们在“山重水复疑无路”时，奇异的数学思维往往能够别开生面，出奇制胜，让数学问题的解决变得“柳暗花明又一村”。因此，教学中教师要引领儿童发现数学奇异、体验数学奇异、运用数学奇异。正如著名数学教育家徐利治先生所说，“奇异是一种美，奇异到极点更是一种美。”
儿童数学教学应当是“合规律性”与“合目的性”的和谐。在儿童数学教学中，许多数学知识都传达着别样的美，教学中教师要以美启真，以真显美。充分运用数学的美学特质，发掘数学习题中蕴含的“美的因子”，引领儿童用“美的眼光”观察、思考、发现，就能为儿童的数学解题打开另一扇窗。在这个过程中，儿童感受到数学之美，并为数学之美所吸引，能够主动创造数学美！
关键词：数学之美；数学之真；解题思路
数学是一门真与美高度和谐统一的学科。古希腊著名数学家普洛克拉斯曾经断言，“哪里有数，哪里就有美。”英国逻辑学家罗素也曾说，“数学，如果正确地看，不但拥有真理，而且具有至高无上的美——正像雕刻的美，是一种冷而严肃的美。”在数学教学中，引领儿童运用“美的眼光”打量习题，运用“美的数学思想、方法”进行解题，能够让孩子在数学王国中自由游弋。数学的美是丰富的、博大的，从表现内容上看，有数的美、式的美、形的美、关系的美等；从表现形式上看，有简约美、对称美、和谐美、相似美、奇异美等。教学中，教师若能唤醒儿童审美经验、审美直觉，运用儿童的审美想象与审美思维，则一定能让数学的问题解决进入别开洞天的境界。
一、追寻简约，优化解题方法
“简约”是数学知识的基本特性，许多数学问题从表面上看是复杂的，但如果我们能够运用简约观点、简约方法对它展开转化、变换、分解、降维等，则往往能够发现其在数学本质上简约的一面。著名数学家高斯曾经这样说，“去寻求一种最简的证明，乃是吸引我去研究的主要动力。”追求数学的简约之美往往能够让人的思维产生飞跃，进而直观把握问题的数学本质。
例1：计算9 99 999 …
分析：这道题初看上去非常繁杂，如果我们直接相加计算简直不可思议。而如果我们采用“以小见大找规律”进行计算，也是非常麻烦的。但如果我们能够用美的眼光、从简约的视角去打量，就会发现题目的表现形式很有个性，每一个数都是由数字9组成的，这些数都和10n（n为正整数）相差1。因此，我们不妨先借2016个1，让每一个数都变成10n（n为正整数）的形式，这样或许能够找到问题解决的捷径。
因此，原式=10 100 1000 … 1-2016
=0-2016
=09094
可见，追寻数学的简约之美有利于把握问题的数学本质，探索出解决数学问题的捷径，并且这种简约的方法时常让人感受到问题解决过程的明快、流畅与透彻，产生一种如沐春风的感觉。诚如著名物理学大师爱因斯坦所说，“美，本质上终究是简洁性。”朴素、简约应该是数学的基本特性。
二、感悟和谐，培养灵动思维
数学的和谐美是指数学知识的部分与部分、部分与整体之间的圆融、贯通、协调与一致等。数学和谐既包括数学本身的和谐，即“数形和谐”“数数和谐”“形形和谐”等，也包括数学问题解决策略、方法、思想的和谐。尽管数学的表现形式是多种多样、纷繁复杂的，但其内在的本质却是统一的。
例2：
分析：这样一道分数的化简题，乍一看，简直是“乱花渐欲迷人眼”，但仔细观察，我们又会被它外在的整齐、和谐、圆融与对称所折服。这种和谐让人产生内在的、积极的解题欲望，欲罢而不能。然而直接展开计算，破坏式子的和谐，将会越算越烦琐。因此，必须思考其和谐、对称的特质。首先看分母，根据加法交换律和结合律，可以看出是8个8，也就是8×8；其次看分子，分子是88888888×88888888，这样我们就可以约分，将分数化简。
原式=
=11111111×11111111
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本题无论是题目的表征形式还是计算过程，抑或计算结果，都是非常和谐的，这种和谐我们凭直觉就能感知到。在这里，和谐是对立的、杂多的统一。而本题中解决问题的思维过程就是对已知条件进行分析的过程，就是协调式子各部分关系的过程，这个过程尽管为式子外在的和谐所吸引，但却是内在的、看不见的，然而也正是在这个意义上，诚如赫拉克利特所说，“看不见的和谐比看得见的和谐”更好。
三、启迪对称，形成召唤结构
格式塔美学认为，艺术设计应当把握“完美形”与“不完美形”、“简单形”与“复杂形”之间的张力。在儿童数学教学中，教师可以运用对称，发掘习题的召唤结构，让儿童通过图形补白、想象等对图形进行加工、组织与建构，让“不完全形”形成一种“形式意味”，诱发儿童的创造性想象，进而解决问题。
例3：求图1所示图形的体积。
分析：本题中的形体是一个不规则的几何形体，不能直接运用体积公式。然而该形体看上去又非常接近圆柱。如果我们用对称的眼光去观察，那么原来的形体就犹如一种“召唤结构”，等待着我们去填补、完善，使之臻于完整。那么，怎样运用对称性去补白呢？这里，我们用一个和它完全相同的几何形体倒置在它上面，这样就能形成一个标准的圆柱体，新圆柱的高为：3 5=8厘米，新圆柱的底面积就是原来几何形体的底面积，新圆柱的体积是原来几何形体体积的2倍。
因此，可以算出原来几何形体的体积：V=π×22×（3 5）÷2=16π（cm3）。
在本题中，对称预示着一种平衡之美，教学中教师要巧妙地利用对称建构完形，引导儿童从整体上把握几何形体的本质，让学生在恍然大悟中获得智慧的启迪。在这个过程中，引领儿童完形想象，让儿童对几何形体进行主动构造，培养儿童的审美能力和创美素质。
四、运用相似，引发类比联想
相似的条件、相似的因素往往能产生相似的结果、相似的关系。在儿童数学教学中，教师要以“相似美”为指导，引领儿童对数学问题展开类比、联想、猜想等，让儿童获得相似性启示。有时相似性启示来自于儿童敏锐的数学直觉，它能帮助儿童发现新思路，解决原问题。
例4：小明的奶奶在下午做手工，开始做时奶奶看了一下钟面，分针略超过时针。做完手工，奶奶再次看了一下钟面，发现这时时针和分针正好换了一下位置。问题：奶奶做手工用了多长时间？ 分析：本题中没有一个数据，看上去简直无从下手。但解题经验告诉我们，钟面上的数学问题通常可以类比行程问题中的追及或相遇问题。那么，这一道题中的时针和分针正好换了一下位置到底意味着什么呢？分针到了原来时针的位置，说明分针走了一圈但缺少时针所走的一段距离；时针到了原来分针的位置，说明时针走了一圈但缺少分针所走的一段距离。这样时针和分针所走的路程和正好是1圈。于是我们可以作如下类比：甲（分针）的速度是乙（时针）的12倍，甲、乙一共行驶了60千米（60小格即60分钟），甲行驶了多少千米？
因此，本题可以这样列式：60÷（1 12）×12=55（分）。
这里，巧妙运用类比进行相似联想，促进了儿童对知识的迁移、探究，培养了儿童数学思维的广阔性，提升了儿童解决问题的能力。这种相似让儿童领略到数学的无穷魅力。诚如著名数学家克莱因所说，“数学是人类最高最优越的智力成就，也是人类心灵最独特的创作。音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目……但是数学却能提供上述一切。”
五、体验奇异，突破常规思路
数学的奇异美是指数学问题的解决过程和解决结果常常能让人体验到数学的独特与新颖，让人不由地惊奇与折服。在儿童数学学习中，教师可以运用寻求特例、反例，构造极端等方法，让儿童突破常规思路。所谓“以退求进”“正难则反”等都是数学奇异美的解题表现。数学奇异的解题过程能够发展儿童的逆向思维、求异思维与发散思维等。
例5：有16支足球队参加比赛，比赛以单场淘汰制（即每场比赛淘汰一支球队）进行，那么一共要进行多少场比赛才能产生冠军？
分析：本题我们可以画图（如图2）帮助理解。因为是16支球队，每两队进行一场比赛，所以第一轮应该有8场比赛，淘汰8支球队。第二轮应该有4场比赛，淘汰4支球队。第三轮应该有2场比赛，淘汰2支球队。第四轮应该有一场比赛（冠亚军决赛），淘汰一支球队。这样一共进行了8 4 2 1=15场比赛，淘汰了15支球队。而如果我们反过来思考，一共是16支球队，最后剩下1支球队，那么一定是淘汰了15支球队。因为一场比赛只能淘汰一支球队，所以一共要进行16-1=15场比赛。
数学的奇异解法常常让人击节叫好、拍案叫绝，将我们带入数学深刻的审美意境。有时，我们在“山重水复疑无路”时，奇异的数学思维往往能够别开生面，出奇制胜，让数学问题的解决变得“柳暗花明又一村”。因此，教学中教师要引领儿童发现数学奇异、体验数学奇异、运用数学奇异。正如著名数学教育家徐利治先生所说，“奇异是一种美，奇异到极点更是一种美。”
儿童数学教学应当是“合规律性”与“合目的性”的和谐。在儿童数学教学中，许多数学知识都传达着别样的美，教学中教师要以美启真，以真显美。充分运用数学的美学特质，发掘数学习题中蕴含的“美的因子”，引领儿童用“美的眼光”观察、思考、发现，就能为儿童的数学解题打开另一扇窗。在这个过程中，儿童感受到数学之美，并为数学之美所吸引，能够主动创造数学美！