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(郑州外国语学校河南 郑州450001)
真空中两个等量异(同)种点电荷的连线及中垂线上场强或电势的变化规律是历年高考考查的热点.这类“双电荷”问题体现了叠加、对称与极限思维，学生看起来似曾熟悉，但往往较难做出正确解答，究其原因，主要是没有真正理解这类“双电荷”电场的特点与规律.本文就来探讨真空中等量双电荷连线及中垂线上场强与电势的变化规律.
1等量异种双电荷的连线及中垂线上场强与电势的变化规律
1.1场强的变化规律
(1)中垂线上场强的变化规律
如图1所示，真空中两个等量异种点电荷的电量分别为 Q和-Q，连线为线段AB，MN为AB的中垂线，垂足为O.在中垂线MN上任取一点C，令OC=y,AB=L，在Rt△AOC和Rt△BOC中，有
AC=BC=(L2)2 y2,
cosθ=L2(L2)2 y2.
Q和-Q分别在C点处产生场强的大小为
EA=EB=kQ(L2)2 y2.
由平行四边形定则可知，C点处的合场强EC平行于连线AB指向-Q一侧，且
EC=2EAcosθ=kQL［(L2)2 y2］3/2(1)(1)式中k、Q、L是常量，由(1)式可知，当y=0时，EC有最大值，且ECmax=8kQL2，即中垂线上垂足O处的场强最大；当y变大时，上式分母［(L2)2 y2］3/2逐渐变大，则EC的值因单调递减而逐渐变小；当y→∞时，EC→0，即中垂线上距O点无穷远处几乎不存在电场，场强为零.
可见，真空中两个等量异种点电荷的连线中垂线上，垂足处的场强最大，沿中垂线向两侧、关于垂足对称场强逐渐减小，无穷远处场强为零，场强的方向始终垂直于中垂线指向负场源点电荷一侧.如图2所示.
(2)连线上场强的变化规律
如图1所示，在连线AB上任取一点D，令AD=x,AB=L，则BD=L-x. Q在D点产生的场强为
EA′=kQx2,
-Q在D点产生的场强为
EB′=kQ(L-x)2,
由场强矢量的叠加原理可知，D点的合场强为
ED=EA′ EB′=kQ［1x2 1(L-x)2］(2)
外接法、电流表内接法几种形式，如图3所示，构成“A-a、A-b、B-a、B-b”4种组合方式.
对于同一个基本原理，也可能有多种实验处理的方法和替换方式，以伏安法测电阻(外接法)为例，如图4所示，其中(1)和(2)分别是改装了电流表和电压表，这两种情景是在基本伏安法的基础上进行了电表改装的拓展，本质与原设计是一致的；如果总电压恒定不变，可以变图(1)为图(3)，变图(2)为图(4)或(5)，引导学生进行归类能够将头脑中的电学实验有机的融合到一块.
物理实验教学培养学生创新能力的重要途径，无论是演示实验还是学生分组实验，学生是主体，我们教师要充分发挥主导性作用，对教材中的实验内容和实验装置进行必要的改进和重组，提高物理实验的探究性和思考性，激发学生的正向思维，引导学生在思考、设计、探究的一系列过程中实现知识的累积和方法的沉淀，同时自身的创新意识和创新能力得到提高.为了讨论ED随x的变化规律，对(2)式求导可得
ED′=kQ［-2x-3 2(L-x)-3］
=2kQ［1(L-x)3-1x3］(3)
由(3)式可知，当x＜L2时，ED′＜0，则原函数ED在(0，L2］上为递减函数，即线段AO上，沿AO方向各点的合场强具有随x增大而减小的变化规律；当x＞L2时，ED′＞0，则原函数ED在［L2，L)上为递增函数，即线段OB上，沿OB方向各点的合场强具有随x增大而增大的变化规律；当x=L2时，ED′=0，则原函数ED有最小值，即EDmin=8kQL2.场强的变化规律如图3所示.
可见，在真空中两个等量异种点电荷的连线上，两端点处的场强最大，中点O处场强最小(但不等于零)，连线上其他各点场强的大小总是沿连线从中点O向两场源电荷场强逐渐增大，其中关于中点O对称点的场强大小相等,方向相同，沿连线指向负场源点电荷一侧.此规律也可利用分子动理论中分子力随距离变化的规律进行类比.另外，也可根据两个等量异种点电荷的连线周围电场线的疏密变化，定性知道场强沿连线先变小后变大.
1.2电势的变化规律
真空中两个等量异种点电荷的连线位于一条由正场源点电荷指向负场源点电荷的电场线上，沿着电场线电势逐渐降低，其中连线的中垂线正场源点电荷一侧的电势大于零，连线的中垂线负场源点电荷一侧的电势小于零，连线与中垂线的交点(垂足)处的电势等于零，如图4所示；因为连线的中垂线上的场强方向始终垂直于中垂线指向负场源点电荷一侧，因此，沿中垂线移动电荷至无穷远时，电场力不做功，即中垂线为一条等势线.若取无穷远处电势为零，则中垂线上各点的电势均为零.
2等量同种双电荷的连线及中垂线上场强与电势的变化规律
2.1场强的变化规律
(1)中垂线上场强的变化规律
如图5所示，真空中两个等量同种点电荷的带电量均为 Q，连线AB的长度为L，连线与中垂线的交点(垂足)为O.在中垂线上任取一点C，设∠CAB=θ.两场源正点电荷分别在C点产生的场强为
E1=E2=kQ(L2cosθ)2=4kQcos2θL2,
由平行四边形定则可知，C点处的合场强E沿中垂线背离O点，且
E=2E1sinθ=8kQL2cos2θsinθ(4)
在(4)式中，令y=sinθcos2θ，对y求导得
y′=cosθ-3sin2θcosθ
=cosθ(1-3sinθ)·(1 3sinθ),
则当sinθ=±33时，y′=0，即当θ=arcsin33=35.26°时，ymax=239，而θ=arcsin(-33)体现了中垂线上关于O点两侧电场的对称性.则中垂线上C点处合场强的最大值为
Emax=8kQL2ymax=163kQ9L2.
由(4)式可知，当θ=0°时，即在O点，场强E=0；当θ=90°时，即无穷远处，场强E=0；当θ=arcsin33=35.26°时，场强E有最大值Emax=163kQ9L2.
可见，在真空中两个带电量均为 Q的等量同种点电荷连线的中垂线上，场强关于连线的中点O对称，先逐渐增大，后逐渐减小，场强的方向相反，始终沿中垂线背离O点.而在真空中两个带电量均为-Q的等量同种点电荷连线的中垂线上，只是相反的场强方向始终沿中垂线指向O点，其它则与上述结论相同.即等量同种点电荷连线的中垂线上的场强E随x变化的规律如图6所示.
(2)连线上场强的变化规律
与真空中两个等量异种点电荷连线上场强的变化规律类似，真空中两个等量同种点电荷连线中点O处的场强最小，且为零，沿连线从中点O向两场源电荷场强逐渐增大，两端点处的场强最大，且关于中点O对称点的场强大小相等,方向相反.场强大小的变化规律如图7所示.
2.2电势的变化规律
真空中两等量正电荷的连线上，场强的方向沿连线背离场源电荷，沿场强方向电势逐渐降低，因此，连线中点O处的电势最低，沿连线从中点O向两场源电荷电势逐渐升高，两端点处的电势最高，且电势大小关于中点O对称，如图8所示；真空中两等量正电荷的中垂线上，场强的方向始终沿中垂线背离O点，沿场强方向电势逐渐降低，因此O点处的电势最高，沿中垂线背离O点电势逐渐降低，无穷远处电势降为零，且电势大小关于O点对称.而真空中两等量负电荷恰好相反，连线中点O处的电势最高，沿连线从中点O向两场源电荷电势逐渐降低，两端点处的电势最低，且电势大小关于中点O对称；中垂线上O点处的电势最低，沿中垂线指向O点电势逐渐降低，且电势大小关于O点对称.
2.3规律拓展
如果真空中两同种点电荷的带电量不相等，则在两点电荷的连线上一定存在一点O′，在O′处的合场强为零，两点电荷连线上过O′点的垂线上的场强与电势的分布规律与上述结论类似，也存在一个极值点.由n个固定在一条直线上的同种点电荷产生的电场中，垂足处场强为零的这一直线的垂线上的场强与电势的分布规律也与上述结论类似.