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题型一：离散型随机变量的期望
主要是通过互斥事件、相互独立事件、二项分布、超几何分布来考查离散型随机变量的分布列、期望的求法及应用。
例1 某水泥厂销售工作人员根据以往该厂的销售情况，绘制了该厂日销售量的频率分布直方图，如图1所示，将日销售量落人各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立。
（1）求未来3天内，连续2天日销售量不低于8吨，另一天日销售量低于8吨的概率;
（2）用X表示未来3天内日销售量不低于8吨的天数，求随机变量X的分布列、数学期望与方差。
例2 2015年11月27日至28日，中共中央扶贫开发工作会议在北京召开，为确保到2020年所有贫困地区和贫困人口一道迈入全面小康社会。黄山市深入学习贯彻习近平总书记关于扶贫开发工作的重要论述及系列指示精神，认真落实省委、省政府一系列决策部署，精准扶贫、精准施策，各项政策措施落到实处，脱贫攻坚各项工作顺利推进，成效明显。贫困户杨老汉就是扶贫政策受益人之一。据了解，为了帮助杨老汉早日脱贫，负责杨老汉家的扶贫队长、扶贫副队长和帮扶责任人经常到他家走访，其中扶贫队长每天到杨老汉家走访的概率为1/4，扶贫副队长每天到杨老汉家走访的概率为1/3，帮扶责任人每天到杨老汉家走访的概率为1/2。
（1）求帮扶责任人连续四天到杨老汉家走访的概率。
（2）设扶贫队长、副队长、帮扶责任人三人某天到杨老汉家走访的人数为X，求X的分布列。
（3）杨老汉对三位幫扶人员非常满意，他对别人说：“他家平均每天至少有1人走访”。
例3 2017年4月1日，国家在河北省白洋淀以北的雄县、容城、安新3县设立雄安新区，这是继深圳经济特区和上海浦东新区之后又一具有全国意义的新区，是千年大计、国家大事。多家央企为了配合国家战略支持雄安新区建设，纷纷申请在新区建立分公司。若规定每家央企只能在雄县、容城、安新3个片区中的一个片区设立分公司，且申请其中任一个片区设立分公司都是等可能的，每家央企选择哪个片区相互之间互不影响且必须在其中一个片区建立分公司。向雄安新区申请建立分公司的任意4家央企中：
（1）求恰有2家央企申请在“雄县”片区建立分公司的概率;
（2）用X表示这4家央企中在“雄县”片区建立分公司的个数，用y表示在“容城”或“安新”片区建立分公司的个数，记ξ=IX-Yl，求ξ的分布列。
例4 2017年8月8日晚，我国四川九寨沟发生了7.O级地震，为了解与掌握一些基本的地震安全防护知识，某小学在9月份开学初对全校学生进行了为期一周的知识讲座，事后并进行了测试（满分100分），根据测试成绩评定为“合格”（60分以上包含60分）、“不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化：“合格”定为10分，“不合格”定为5分。现随机抽取部分学生的答卷，统计结果如表4，对应的频率分布直方图如图2所示。
（l）求a，b，c的值。
（2）用分层抽样的方法，从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中抽取10人进行座谈，现再从这10人中任选4人，记所选4人的量化总分为ξ，求ξ的分布列及数学期望E（ξ）。
（3）设函数，f（ξ）=E（ξ）/D（ξ）（其中D（ξ）表示ξ的方差）是评估安全教育方案成效的一种模拟函数。当f （ξ）≥2.5时，认定教育方案是有效的;否则，认定教育方案应需调整。试以此函数为参考依据，在（2）的条件下，判断该校是否应调整安全教育方案？
故可以认为该校的安全教育方案是无效的，需要调整安全教育方案。
例5 甲乙两名同学参加定点投篮测试，已知两人投中的概率分别是1/2和2/3，假设两人投篮结果相互没有影响，每人各次投球是否投中也没有影响。
（1）若每人投球3次（必须投完），投中2次或2次以上，记为达标，求甲达标的概率;
（2）若每人有4次投球机会，如果连续两次投中，则记为达标。达标或能断定不达标，则终止投篮。记乙本次测试投球的次数为X，求X的分布列和数学期望E（X）。
例6计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年人流量X（年人流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米）都在40以上。其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年。将年人流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年人流量相互独立。
（1）求在未来4年中，至多1年的年人流量超过120的概率。
（2）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年人流量X的限制，并有表7中的关系：
若某台发电机运行，则该台发电机年利润为5 000万元;若某台发电机未运行，则该台发电机年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？
（2）记水电站年总利润为Y（单位：万元），由于水库年人流量总大于40，所以至少安装1台。
①安装1台发电机的情形：由于水库年人流量总大于40，所以1台发电机运行的概率为1，对应的年利润Y=5 000，E（Y）=5 000×l=5 000。
②安装2台发电机的情形：当40
当X≥80时，2台发电机运行，此时Y=5 000×2 = 10 000，因此P（Y= 10 000）=P（X≥80）=P2 P3=0.8。
所以Y的分布列如表8：
所以E（Y） =4 200×0.2 10 000×0.8=8 840。
③安装3台发电机的情形：
当40
当80≤X≤120时，2台发电机运行，此时Y=5 000×2- 800=9 200，因此P（Y=9 200）=P（80≤X≤120）=P2=0.7. 当X
主要是通过互斥事件、相互独立事件、二项分布、超几何分布来考查离散型随机变量的分布列、期望的求法及应用。
例1 某水泥厂销售工作人员根据以往该厂的销售情况，绘制了该厂日销售量的频率分布直方图，如图1所示，将日销售量落人各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立。
（1）求未来3天内，连续2天日销售量不低于8吨，另一天日销售量低于8吨的概率;
（2）用X表示未来3天内日销售量不低于8吨的天数，求随机变量X的分布列、数学期望与方差。
例2 2015年11月27日至28日，中共中央扶贫开发工作会议在北京召开，为确保到2020年所有贫困地区和贫困人口一道迈入全面小康社会。黄山市深入学习贯彻习近平总书记关于扶贫开发工作的重要论述及系列指示精神，认真落实省委、省政府一系列决策部署，精准扶贫、精准施策，各项政策措施落到实处，脱贫攻坚各项工作顺利推进，成效明显。贫困户杨老汉就是扶贫政策受益人之一。据了解，为了帮助杨老汉早日脱贫，负责杨老汉家的扶贫队长、扶贫副队长和帮扶责任人经常到他家走访，其中扶贫队长每天到杨老汉家走访的概率为1/4，扶贫副队长每天到杨老汉家走访的概率为1/3，帮扶责任人每天到杨老汉家走访的概率为1/2。
（1）求帮扶责任人连续四天到杨老汉家走访的概率。
（2）设扶贫队长、副队长、帮扶责任人三人某天到杨老汉家走访的人数为X，求X的分布列。
（3）杨老汉对三位幫扶人员非常满意，他对别人说：“他家平均每天至少有1人走访”。
例3 2017年4月1日，国家在河北省白洋淀以北的雄县、容城、安新3县设立雄安新区，这是继深圳经济特区和上海浦东新区之后又一具有全国意义的新区，是千年大计、国家大事。多家央企为了配合国家战略支持雄安新区建设，纷纷申请在新区建立分公司。若规定每家央企只能在雄县、容城、安新3个片区中的一个片区设立分公司，且申请其中任一个片区设立分公司都是等可能的，每家央企选择哪个片区相互之间互不影响且必须在其中一个片区建立分公司。向雄安新区申请建立分公司的任意4家央企中：
（1）求恰有2家央企申请在“雄县”片区建立分公司的概率;
（2）用X表示这4家央企中在“雄县”片区建立分公司的个数，用y表示在“容城”或“安新”片区建立分公司的个数，记ξ=IX-Yl，求ξ的分布列。
例4 2017年8月8日晚，我国四川九寨沟发生了7.O级地震，为了解与掌握一些基本的地震安全防护知识，某小学在9月份开学初对全校学生进行了为期一周的知识讲座，事后并进行了测试（满分100分），根据测试成绩评定为“合格”（60分以上包含60分）、“不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化：“合格”定为10分，“不合格”定为5分。现随机抽取部分学生的答卷，统计结果如表4，对应的频率分布直方图如图2所示。
（l）求a，b，c的值。
（2）用分层抽样的方法，从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中抽取10人进行座谈，现再从这10人中任选4人，记所选4人的量化总分为ξ，求ξ的分布列及数学期望E（ξ）。
（3）设函数，f（ξ）=E（ξ）/D（ξ）（其中D（ξ）表示ξ的方差）是评估安全教育方案成效的一种模拟函数。当f （ξ）≥2.5时，认定教育方案是有效的;否则，认定教育方案应需调整。试以此函数为参考依据，在（2）的条件下，判断该校是否应调整安全教育方案？
故可以认为该校的安全教育方案是无效的，需要调整安全教育方案。
例5 甲乙两名同学参加定点投篮测试，已知两人投中的概率分别是1/2和2/3，假设两人投篮结果相互没有影响，每人各次投球是否投中也没有影响。
（1）若每人投球3次（必须投完），投中2次或2次以上，记为达标，求甲达标的概率;
（2）若每人有4次投球机会，如果连续两次投中，则记为达标。达标或能断定不达标，则终止投篮。记乙本次测试投球的次数为X，求X的分布列和数学期望E（X）。
例6计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年人流量X（年人流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米）都在40以上。其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年。将年人流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年人流量相互独立。
（1）求在未来4年中，至多1年的年人流量超过120的概率。
（2）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年人流量X的限制，并有表7中的关系：
若某台发电机运行，则该台发电机年利润为5 000万元;若某台发电机未运行，则该台发电机年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？
（2）记水电站年总利润为Y（单位：万元），由于水库年人流量总大于40，所以至少安装1台。
①安装1台发电机的情形：由于水库年人流量总大于40，所以1台发电机运行的概率为1，对应的年利润Y=5 000，E（Y）=5 000×l=5 000。
②安装2台发电机的情形：当40
当X≥80时，2台发电机运行，此时Y=5 000×2 = 10 000，因此P（Y= 10 000）=P（X≥80）=P2 P3=0.8。
所以Y的分布列如表8：
所以E（Y） =4 200×0.2 10 000×0.8=8 840。
③安装3台发电机的情形：
当40
当80≤X≤120时，2台发电机运行，此时Y=5 000×2- 800=9 200，因此P（Y=9 200）=P（80≤X≤120）=P2=0.7. 当X