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被人们誉为世界上最美的曲线——正弦或余弦曲线，是数学三角函数中的最重要的内容之一.在中学物理中有着极其广泛的应用，诸如：力学领域的机械运动中，用来描述简谐振子运动学特征的振动图象，机械波中用来描述各个质点在某时刻所处位置的波形图；电磁学领域中，线圈在磁场中匀速转动时产生的瞬时电压、电流随时间变化而形成正弦交流电以及正弦电信号、电磁波、电谐振等等.诚然，要把握上述物理的变化规律，那么就必须掌握正、余弦函数的本身特性，如：单调性、周期性、对称性以及其最值等等.笔者在教学中总结发现，这类曲线函数在除上述领域外的广泛应用之外，还在其他实际问题中有着另类广泛应用，现总结如下.
1物体沿成“正、余弦曲线”的轨道运动情形
问题1在竖直平面内，一根光滑金属杆弯成如图1所示形状，相应的曲线方程为y=2.5cos（kx 2π3） （单位：m），式中k=1 m-1.将一光滑小环套在该金属杆上，并从x=0处给小环以v0=5 m/s的初速度沿杆向右运动.取重力加速度g=10 m/s2，试求小球运动到x=π2 m时的速度大小.
分析与解显然，小环沿光滑曲杆运动过程中，小环的机械能守恒，设零势面为图1曲线的x轴，再利用函数单调性从余弦函数方程找出从x=0处和x=π2 m处所对应的纵坐标分别为：y0=-1.25 m和y=-1.253 m再利用机械能守恒定律得：mgy0 12mv20=mgy 12mv2，解得v=543 m/s.当然，此题还可以不设零势面而用动能定理直接求解，更快捷.
2速度随时间成“正、余弦函数”的情形
问题2如图2所示，一理想变压器的两个线圈AB和CD的匝数比为n1∶n2=1∶2，CD两端连接如图所示的电路，其中定值电阻R=2 Ω，L为标有“2 V、2 W”的小灯泡.AB两端用导线和两平行金属导轨连接，两导轨处在同一水平面内，导轨宽度为d=l m，且存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度B=0.2 T，在导轨上垂直导轨方向放一金属杆EF，金属杆在外力作用下沿平行于导轨方向做周期为T的往复运动，以水平向右为正方向，金属杆运动的速度时间关系为一正弦曲线，如图3所示.除灯泡L和电阻R外，不计一切电阻，则下列说法正确的是
A.小灯泡L不能正常发光
B.流过小灯泡的电流是正弦式交变电流
C.线圈CD两端的电压有效值为2 V
D.当金属杆运动周期变大时，线圈CD两端的电压有效值不变
分析与解由金属杆运动的v-t图象可知，其速度随时间变化的函数为
v=102sin2πTt，
则金属杆EF在磁场中作切割磁感线运动所产生的感应电动势，由法拉第电磁感应定律得
e=BLv=0.2×1×102sin2πTt=22sin2πTt （V），
显然，原线圈上产生的是正弦交流电，从而流过小灯泡上的电流也是正弦交流电，选择正确答案B；再由变压器的电压比规律，可得出副线圈上的电压为
U1U2=n1n2U2=n2n1U1=21×2=4 V，
而小灯泡的电阻与定值电阻R阻值相等且都等于2 Ω，所以分得的电压都为2 V，与小灯泡额定电压相同，灯泡正常发光，A选项错.因为上述电压比规律计算得出副线圈上电压的有效值为4 V，C选项显然也错.由于金属杆上产生的正弦交流电，所以电压的有效值总为其最大值的12倍跟周期无关，所以D选项正确.此题正确答案为B、D.
3成“正、余弦曲线”形状的物体运动情形
问题3如图4所示，将一根绝缘硬金属导线弯曲成一个完整的正弦曲线形状，它通过两个小金属环a、b与长直金属杆导通，在外力F作用下，正弦形金属线可以在杆上无摩擦滑动.杆的电阻不计，导线电阻为R，ab间距离为2L，导线组成的正弦图形顶部或底部到杆距离都是L2.在导线和杆平面内有一有界匀强磁场区域，磁场的宽度为2L，磁感应强度为B.现在外力F作用下导线沿杆以恒定的速度v向右运动，在运动过程中导线和杆组成的平面始终与磁场垂直，t=0时刻导线从O点进入磁场，直到全部穿过磁场，试求外力F所做功为多少？
分析与解显然，此题因为弯曲的金属导线切割磁感线的有效长度在时刻变化，因而产生的电流也时刻变化，所以它所受安培力是变力，无法直接求其力所做的功.但由于金属导线形状成正弦曲线，那么它切割磁感线的有效长度就是曲线上各个时刻的“纵坐标”，因而产生的感应电动势为
e=Byv=Bv×L2sinωt=BLv2sin2πTt=BLv2sinπvLt，
这是一正弦交流电，因此，金属导线在匀速穿越整个磁场的过程中，外力所做的功即为整个穿越的时间（t=4Lv）内导线上产生的焦耳热.利用正弦交流电的有效值计算得
W=Q=（E2R）2Rt=（BLv22R）2×R×4Lv=B2L3v2R.
4磁场区域“成正、余弦函数”的情形
问题4如图5所示，光滑绝缘水平桌面上直立一个单匝正方形导线框ABCD，线框的边长为L=0.4 m、总电阻为R=0.1 Ω.在直角坐标系xOy中，有界匀强磁场区域的下边界与x轴重合，上边界满足曲线方程y=0.2sin10π3x （m），场强大小B=0.2 T，线框在沿x轴正方向的拉力F作用下，以速度v=10 m/s水平向右做匀速直线运动，恰好拉出磁场.（1）求线框中AD两端的最大电压；（2）在图6中画出运动过程上线框i-t图象.
分析与解（1）显然，AD两端电压最大值所对应的是回路中的电流最大，也就是所对应的导线切割磁感线的有效长度最长，即：当导线框运动到磁场中心线时的两种情况，一是BC边，二是AD边.即图7与图8两种示意情形：易得最大电压
UADm=BymvR×34R=0.3 V.
（2）由于磁场的区域成正弦曲线形，所以金属线框切割磁感线的有效长度随着横坐标的变化规律是
L=y=ymsin10π3x=ymsin10π3vt=0.2sin100π3t，
则线框通过正弦形磁场产生的电流应为正弦交流电
e=Byv=Bv×0.2sin100π3t=0.4sin100π3 （V），
易得最大电流Im=EmR=4 A，
这里值得注意的是：BC边切割磁感线的时间为
t1=0.310=0.03 s，
一旦BC边出磁场后，由于线框的边长为0.4 m大于磁场的最大“宽度”0.3 m，所以，将有t2=0.4-0.310=0.01 s的时间，穿过线框的磁通量不变，线框中无感应电流.0.01 s后，当AD边进入磁场，再根据正弦曲线的对称性，AD切割磁场产生的感应电流与BC边切割产生的感应电流大小相等，方向相反.由此得出线框穿越整个正弦形磁场的过程中的电流随时间图象应为如图9.
下面一道题与上述相似情形，不必赘述： 两根无限长且电阻不计、间距为L的平行导轨左端与一阻值为 的定值电阻相连，导轨间分布着如图所示、磁感应强度为 的匀强磁场，图（5）中虚线为正弦曲线，一根电阻为 的导体棒以速度 在导轨上向右匀速滑行（接触电阻不计），交流电压表及交流电流表均为理想电表，则A.回路中的电流为正弦式交流电B.棒两端的电压为 C.电流表的示数为 D.当棒运动到图中虚线位置时电压表的示数为0正确答案为 综上所述，几个典型的问题分别利用了正、余弦曲线的单调性、周期性、对称性及其最值的意义，只要把握这些特性，与之相类似的问题即可触类旁通了.
1物体沿成“正、余弦曲线”的轨道运动情形
问题1在竖直平面内，一根光滑金属杆弯成如图1所示形状，相应的曲线方程为y=2.5cos（kx 2π3） （单位：m），式中k=1 m-1.将一光滑小环套在该金属杆上，并从x=0处给小环以v0=5 m/s的初速度沿杆向右运动.取重力加速度g=10 m/s2，试求小球运动到x=π2 m时的速度大小.
分析与解显然，小环沿光滑曲杆运动过程中，小环的机械能守恒，设零势面为图1曲线的x轴，再利用函数单调性从余弦函数方程找出从x=0处和x=π2 m处所对应的纵坐标分别为：y0=-1.25 m和y=-1.253 m再利用机械能守恒定律得：mgy0 12mv20=mgy 12mv2，解得v=543 m/s.当然，此题还可以不设零势面而用动能定理直接求解，更快捷.
2速度随时间成“正、余弦函数”的情形
问题2如图2所示，一理想变压器的两个线圈AB和CD的匝数比为n1∶n2=1∶2，CD两端连接如图所示的电路，其中定值电阻R=2 Ω，L为标有“2 V、2 W”的小灯泡.AB两端用导线和两平行金属导轨连接，两导轨处在同一水平面内，导轨宽度为d=l m，且存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度B=0.2 T，在导轨上垂直导轨方向放一金属杆EF，金属杆在外力作用下沿平行于导轨方向做周期为T的往复运动，以水平向右为正方向，金属杆运动的速度时间关系为一正弦曲线，如图3所示.除灯泡L和电阻R外，不计一切电阻，则下列说法正确的是
A.小灯泡L不能正常发光
B.流过小灯泡的电流是正弦式交变电流
C.线圈CD两端的电压有效值为2 V
D.当金属杆运动周期变大时，线圈CD两端的电压有效值不变
分析与解由金属杆运动的v-t图象可知，其速度随时间变化的函数为
v=102sin2πTt，
则金属杆EF在磁场中作切割磁感线运动所产生的感应电动势，由法拉第电磁感应定律得
e=BLv=0.2×1×102sin2πTt=22sin2πTt （V），
显然，原线圈上产生的是正弦交流电，从而流过小灯泡上的电流也是正弦交流电，选择正确答案B；再由变压器的电压比规律，可得出副线圈上的电压为
U1U2=n1n2U2=n2n1U1=21×2=4 V，
而小灯泡的电阻与定值电阻R阻值相等且都等于2 Ω，所以分得的电压都为2 V，与小灯泡额定电压相同，灯泡正常发光，A选项错.因为上述电压比规律计算得出副线圈上电压的有效值为4 V，C选项显然也错.由于金属杆上产生的正弦交流电，所以电压的有效值总为其最大值的12倍跟周期无关，所以D选项正确.此题正确答案为B、D.
3成“正、余弦曲线”形状的物体运动情形
问题3如图4所示，将一根绝缘硬金属导线弯曲成一个完整的正弦曲线形状，它通过两个小金属环a、b与长直金属杆导通，在外力F作用下，正弦形金属线可以在杆上无摩擦滑动.杆的电阻不计，导线电阻为R，ab间距离为2L，导线组成的正弦图形顶部或底部到杆距离都是L2.在导线和杆平面内有一有界匀强磁场区域，磁场的宽度为2L，磁感应强度为B.现在外力F作用下导线沿杆以恒定的速度v向右运动，在运动过程中导线和杆组成的平面始终与磁场垂直，t=0时刻导线从O点进入磁场，直到全部穿过磁场，试求外力F所做功为多少？
分析与解显然，此题因为弯曲的金属导线切割磁感线的有效长度在时刻变化，因而产生的电流也时刻变化，所以它所受安培力是变力，无法直接求其力所做的功.但由于金属导线形状成正弦曲线，那么它切割磁感线的有效长度就是曲线上各个时刻的“纵坐标”，因而产生的感应电动势为
e=Byv=Bv×L2sinωt=BLv2sin2πTt=BLv2sinπvLt，
这是一正弦交流电，因此，金属导线在匀速穿越整个磁场的过程中，外力所做的功即为整个穿越的时间（t=4Lv）内导线上产生的焦耳热.利用正弦交流电的有效值计算得
W=Q=（E2R）2Rt=（BLv22R）2×R×4Lv=B2L3v2R.
4磁场区域“成正、余弦函数”的情形
问题4如图5所示，光滑绝缘水平桌面上直立一个单匝正方形导线框ABCD，线框的边长为L=0.4 m、总电阻为R=0.1 Ω.在直角坐标系xOy中，有界匀强磁场区域的下边界与x轴重合，上边界满足曲线方程y=0.2sin10π3x （m），场强大小B=0.2 T，线框在沿x轴正方向的拉力F作用下，以速度v=10 m/s水平向右做匀速直线运动，恰好拉出磁场.（1）求线框中AD两端的最大电压；（2）在图6中画出运动过程上线框i-t图象.
分析与解（1）显然，AD两端电压最大值所对应的是回路中的电流最大，也就是所对应的导线切割磁感线的有效长度最长，即：当导线框运动到磁场中心线时的两种情况，一是BC边，二是AD边.即图7与图8两种示意情形：易得最大电压
UADm=BymvR×34R=0.3 V.
（2）由于磁场的区域成正弦曲线形，所以金属线框切割磁感线的有效长度随着横坐标的变化规律是
L=y=ymsin10π3x=ymsin10π3vt=0.2sin100π3t，
则线框通过正弦形磁场产生的电流应为正弦交流电
e=Byv=Bv×0.2sin100π3t=0.4sin100π3 （V），
易得最大电流Im=EmR=4 A，
这里值得注意的是：BC边切割磁感线的时间为
t1=0.310=0.03 s，
一旦BC边出磁场后，由于线框的边长为0.4 m大于磁场的最大“宽度”0.3 m，所以，将有t2=0.4-0.310=0.01 s的时间，穿过线框的磁通量不变，线框中无感应电流.0.01 s后，当AD边进入磁场，再根据正弦曲线的对称性，AD切割磁场产生的感应电流与BC边切割产生的感应电流大小相等，方向相反.由此得出线框穿越整个正弦形磁场的过程中的电流随时间图象应为如图9.
下面一道题与上述相似情形，不必赘述： 两根无限长且电阻不计、间距为L的平行导轨左端与一阻值为 的定值电阻相连，导轨间分布着如图所示、磁感应强度为 的匀强磁场，图（5）中虚线为正弦曲线，一根电阻为 的导体棒以速度 在导轨上向右匀速滑行（接触电阻不计），交流电压表及交流电流表均为理想电表，则A.回路中的电流为正弦式交流电B.棒两端的电压为 C.电流表的示数为 D.当棒运动到图中虚线位置时电压表的示数为0正确答案为 综上所述，几个典型的问题分别利用了正、余弦曲线的单调性、周期性、对称性及其最值的意义，只要把握这些特性，与之相类似的问题即可触类旁通了.