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前不久，在我校教学演练场上，一位骨干教师执教“倍”(苏教版国标本小学数学二年级下册第73—75页)一课。该课教学内容安排紧凑，教学过程轻松活泼，学生积极参与，练习设计层层深入，形式多样。教学效果按照推想应该很好，但课的结尾部分却令人匪夷所思，出现了两个极不和谐的镜头。
镜头一：
师：聪明的苗苗给大家带来了一些数字卡片。(出示如下卡片)
师：我们可以说12是2的6倍。你能找两个数说一说吗?
生：5是2的3倍。
师：能说5是2的3倍吗?
生，(立即纠正)：5是3的2倍。
师：5和3行吗？
生1(又纠正)：5是1的4倍。
师：我们可以说5是1的5倍。
……
镜头二：
师：好好说“我今天看了30页故事书”，明明说“我今天看了6页故事书”，好好看的页数是明明的几倍?你能列式解答吗?
(学生列式解答后)
师：你是怎样列式解答的?
生1：30÷6=5(倍)。
师：这个“倍”要写吗？
生(齐说)：要。
师：这个“倍”字，我们可以不写。
很显然，镜头一中的学生根本不知道“倍”是怎么回事，凭空随意瞎猜，把“一个数是另一个数的几倍”与“一个数比另一个数多多少”混淆。而镜头二中的学生把“倍”当作单位名称，也没有透彻理解“倍”是表示两个数量之间的关系。看来，本节课有些学生并没有真正理解“倍”的本质内涵。那么，究竟是什么原因让课堂陷入如此尴尬的境地呢?
理性思考
当我们静下心来，去除课堂表面的浮华，深入分析后不难发现：这节课，学生更多的是手和口的参与，缺乏脑的实质性参与。很多时间进行的是模仿活动和机械操练，教师没有引领学生对“倍”的本质进行深入思考，整个教学过程给人一种浮于表面的感觉。
其实，“倍”是一种数学语言，它不同于一般的生活语言或文学语言，具有高度的抽象性、严密的逻辑性和’丰富的内涵。学生认识并理解“倍”这个数学语言，需要经历一个数学化的过程。“数学化”是荷兰数学教育家弗赖登塔尔数学教育思想的核心，分横向数学化和纵向数学化。横向数学化是“把生活世界引向符号世界”，即生成生活与数学的联系；纵向数学化是“在数学世界里，符号的生成、重塑和被使用”，即生成抽象数学知识之间的联系。他倡导数学教育要实现横向数学化和纵向数学化的均衡发展。这节课该如何引领学生亲身经历数学化的过程，充分认识并深刻理解“倍”呢?带着这样的问题，我尝试着进行实践探索。
实践探索
一、横向数学化：生活语言和数学文字语言相互转换
[实践]
(电脑出示下图)
师：我们把2朵蓝花看作1份，黄花的朵数有这样的几份?
生1：把2朵蓝花看作1份，黄花的朵数就有这样的3份。
师：你是怎么想的?
生1：蓝花有2朵，黄花有3个2朵。
师：我们也可以说黄花的朵数是蓝花的——
生1：3倍。
师：谢谢你给我们带来了数学上的一个新朋友——倍。(板书课题：倍)
师：我们说黄花的朵数是蓝花的3倍，也就是把谁看作1份，谁就有这样的几份?
生2：黄花的朵数是蓝花的3倍，就是把蓝花看作1份，黄花的朵数有这样的3份。
[思考]
教师借助实物图，在生活语言“把2朵蓝花看作1份，黄花的朵数就有这样的3份”的基础上进行提炼，让学生先提炼出“几个几”，再逐步抽象出数学语言“倍”。进而揭示“倍”的含义，实现从生活语言“几份”向数学文字语言“几倍”的转换。然后教师又让学生对数学文字语言“黄花的朵数是蓝花的3倍”用生活语言进行反刍式解读，从而生成生活与数学的联系，完成了横向数学化的过程。
二、纵向数学化
(一)数学文字语言和数学图形语言相互转换
[实践]
师：你能用自己喜欢的方式，表示出“苹果的个数是梨的2倍”吗?试试看。
学生动手操作后，进行汇报展示。出现以下几种不同的画法：
师：这几种画法，不仅梨和苹果的表示方法各不相同，它们的数量也各不相同，为什么都能表示苹果的个数是梨的2倍呢?
生1：画法①把1个梨看作1份，苹果就有这样的2份；画法②把2个梨看作1份，苹果也有这样的2份；画法③把3个梨看作1份，苹果还是有这样的2份，所以苹果的个数是梨子的2倍。
生：无论梨有多少个，我们都可以把它看作1份，苹果都有这样的2份，所以苹果的个数总是梨的2倍。
[思考]
让学生用自己喜欢的方式表示出“苹果的个数是梨的2倍”，不同画法的背后是学生对这句话理解深度的不同。画法①的学生还停留在借助具体物进行思考的阶段；画法②的学生能够去除具体物的属性，用口表示梨，用○表示苹果，初步具有图式意识；画法③的学生则完全去除具体物的属性，只保留两个数量之间的关系，即梨和苹果都用○表示，表现出较高的图式化水平。
将数学文字语言“苹果的个数是梨的2倍”转换为数学图形语言，使抽象的数学文字语言形象化、图式化，既巩固、深化、拓展学生对“倍”的本质内涵的理解，又发展了学生灵活运用数学图形语言表示数学知识的能力，为后面学习“求一个数是另一个数的几倍(或几分之几)”、“求一个数的几倍(或几分之几)是多少”以及“已知一个数的几倍(或几分之几)是多少，求这个数”的应用题建立了丰富的感性经验，同时为学生运用图示法分析应用题的数量关系夯实基础。
(二)数学文字语言与数学符号语言相互转换
[实践]
师：先连一连。再填空。
师：你是怎么想的?
生1：要求“花皮球的个数是白皮球的几倍”，就是求“10里有几个2”，所以可以用10÷2得到。
[思考]
借助实物图，让学生通过连一连，发现并理解花皮球的个数之所以是白皮球的5倍，是因为10里面有5个2，而解决“10里面有几个2”可以用除法算式10÷2得到。同理，解决“花皮球的个数是白皮球的几倍”也可以用除法算式10÷2得到。这样，就把求“花皮球的个数是白皮球的几倍”与除法算式10÷2联系起来，实现数学文字语言向数学符号语言的转换，完成了纵向数学化的过程。
看来，“倍”的教学绝非我们所想像的那么简单．需要让学生亲身经历横向数学化和纵向数学化的过程。通过生活语言向数学语言的转换以及不同数学语言形态之间的相互转换，多角度、多层面理解“倍”的外延和内涵，把握“倍”的本质属性，为顺利解决相关数学问题做好铺垫。
前不久，在我校教学演练场上，一位骨干教师执教“倍”(苏教版国标本小学数学二年级下册第73—75页)一课。该课教学内容安排紧凑，教学过程轻松活泼，学生积极参与，练习设计层层深入，形式多样。教学效果按照推想应该很好，但课的结尾部分却令人匪夷所思，出现了两个极不和谐的镜头。
镜头一：
师：聪明的苗苗给大家带来了一些数字卡片。(出示如下卡片)
师：我们可以说12是2的6倍。你能找两个数说一说吗?
生：5是2的3倍。
师：能说5是2的3倍吗?
生，(立即纠正)：5是3的2倍。
师：5和3行吗？
生1(又纠正)：5是1的4倍。
师：我们可以说5是1的5倍。
……
镜头二：
师：好好说“我今天看了30页故事书”，明明说“我今天看了6页故事书”，好好看的页数是明明的几倍?你能列式解答吗?
(学生列式解答后)
师：你是怎样列式解答的?
生1：30÷6=5(倍)。
师：这个“倍”要写吗？
生(齐说)：要。
师：这个“倍”字，我们可以不写。
很显然，镜头一中的学生根本不知道“倍”是怎么回事，凭空随意瞎猜，把“一个数是另一个数的几倍”与“一个数比另一个数多多少”混淆。而镜头二中的学生把“倍”当作单位名称，也没有透彻理解“倍”是表示两个数量之间的关系。看来，本节课有些学生并没有真正理解“倍”的本质内涵。那么，究竟是什么原因让课堂陷入如此尴尬的境地呢?
理性思考
当我们静下心来，去除课堂表面的浮华，深入分析后不难发现：这节课，学生更多的是手和口的参与，缺乏脑的实质性参与。很多时间进行的是模仿活动和机械操练，教师没有引领学生对“倍”的本质进行深入思考，整个教学过程给人一种浮于表面的感觉。
其实，“倍”是一种数学语言，它不同于一般的生活语言或文学语言，具有高度的抽象性、严密的逻辑性和’丰富的内涵。学生认识并理解“倍”这个数学语言，需要经历一个数学化的过程。“数学化”是荷兰数学教育家弗赖登塔尔数学教育思想的核心，分横向数学化和纵向数学化。横向数学化是“把生活世界引向符号世界”，即生成生活与数学的联系；纵向数学化是“在数学世界里，符号的生成、重塑和被使用”，即生成抽象数学知识之间的联系。他倡导数学教育要实现横向数学化和纵向数学化的均衡发展。这节课该如何引领学生亲身经历数学化的过程，充分认识并深刻理解“倍”呢?带着这样的问题，我尝试着进行实践探索。
实践探索
一、横向数学化：生活语言和数学文字语言相互转换
[实践]
(电脑出示下图)
师：我们把2朵蓝花看作1份，黄花的朵数有这样的几份?
生1：把2朵蓝花看作1份，黄花的朵数就有这样的3份。
师：你是怎么想的?
生1：蓝花有2朵，黄花有3个2朵。
师：我们也可以说黄花的朵数是蓝花的——
生1：3倍。
师：谢谢你给我们带来了数学上的一个新朋友——倍。(板书课题：倍)
师：我们说黄花的朵数是蓝花的3倍，也就是把谁看作1份，谁就有这样的几份?
生2：黄花的朵数是蓝花的3倍，就是把蓝花看作1份，黄花的朵数有这样的3份。
[思考]
教师借助实物图，在生活语言“把2朵蓝花看作1份，黄花的朵数就有这样的3份”的基础上进行提炼，让学生先提炼出“几个几”，再逐步抽象出数学语言“倍”。进而揭示“倍”的含义，实现从生活语言“几份”向数学文字语言“几倍”的转换。然后教师又让学生对数学文字语言“黄花的朵数是蓝花的3倍”用生活语言进行反刍式解读，从而生成生活与数学的联系，完成了横向数学化的过程。
二、纵向数学化
(一)数学文字语言和数学图形语言相互转换
[实践]
师：你能用自己喜欢的方式，表示出“苹果的个数是梨的2倍”吗?试试看。
学生动手操作后，进行汇报展示。出现以下几种不同的画法：
师：这几种画法，不仅梨和苹果的表示方法各不相同，它们的数量也各不相同，为什么都能表示苹果的个数是梨的2倍呢?
生1：画法①把1个梨看作1份，苹果就有这样的2份；画法②把2个梨看作1份，苹果也有这样的2份；画法③把3个梨看作1份，苹果还是有这样的2份，所以苹果的个数是梨子的2倍。
生：无论梨有多少个，我们都可以把它看作1份，苹果都有这样的2份，所以苹果的个数总是梨的2倍。
[思考]
让学生用自己喜欢的方式表示出“苹果的个数是梨的2倍”，不同画法的背后是学生对这句话理解深度的不同。画法①的学生还停留在借助具体物进行思考的阶段；画法②的学生能够去除具体物的属性，用口表示梨，用○表示苹果，初步具有图式意识；画法③的学生则完全去除具体物的属性，只保留两个数量之间的关系，即梨和苹果都用○表示，表现出较高的图式化水平。
将数学文字语言“苹果的个数是梨的2倍”转换为数学图形语言，使抽象的数学文字语言形象化、图式化，既巩固、深化、拓展学生对“倍”的本质内涵的理解，又发展了学生灵活运用数学图形语言表示数学知识的能力，为后面学习“求一个数是另一个数的几倍(或几分之几)”、“求一个数的几倍(或几分之几)是多少”以及“已知一个数的几倍(或几分之几)是多少，求这个数”的应用题建立了丰富的感性经验，同时为学生运用图示法分析应用题的数量关系夯实基础。
(二)数学文字语言与数学符号语言相互转换
[实践]
师：先连一连。再填空。
师：你是怎么想的?
生1：要求“花皮球的个数是白皮球的几倍”，就是求“10里有几个2”，所以可以用10÷2得到。
[思考]
借助实物图，让学生通过连一连，发现并理解花皮球的个数之所以是白皮球的5倍，是因为10里面有5个2，而解决“10里面有几个2”可以用除法算式10÷2得到。同理，解决“花皮球的个数是白皮球的几倍”也可以用除法算式10÷2得到。这样，就把求“花皮球的个数是白皮球的几倍”与除法算式10÷2联系起来，实现数学文字语言向数学符号语言的转换，完成了纵向数学化的过程。
看来，“倍”的教学绝非我们所想像的那么简单．需要让学生亲身经历横向数学化和纵向数学化的过程。通过生活语言向数学语言的转换以及不同数学语言形态之间的相互转换，多角度、多层面理解“倍”的外延和内涵，把握“倍”的本质属性，为顺利解决相关数学问题做好铺垫。