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从数学教育角度出发,数学发展过程大致可分为三个阶段:①数学发现过程,将实际问题进行数学抽象处理符号化,进而抽象成数学模型(数学问题).②数学完善过程,即对已有数学模型进行解释,做进一步抽象化处理,一直尝试建立更新的、更完善的数学模型.③数学应用过程,应用获得的数学模型解决实际问题.运用过程的三个阶段来分析课程内容中体现的过程含义,将有助于我们实现过程性目标.
《数学课程标准》明确规定了义务教育阶段数学课程的总体目标,并从知识与技能、数学思考、解决问题、情感与态度等四个方面作出了进一步阐述.同时明确规定了以“经历”、“体验”、“探索”为标志的过程性目标,并在总体目标的描述中有6处使用了“经历……过程”,3处使用了“体验……过程”,在学段目标的描述中有7处使用了“经历……过程”,5处使用了“体验……过程”,5处使用了“探索……过程”.这些刻画数学活动水平的过程性目标动词的使用点,规定了数学活动的内容、指向、目的和水平,是实现过程性目标的根据和参照.
德国教育家第斯多惠说:“一个坏老师奉送给学生真理,一个好老师则教学生发现真理”.荷兰数学教育家弗赖登塔尔反复强调:学习数学的唯一正确方法是实行“再创造”,也就是由学生本人把要学的东西自己去发现或创造出来,教师的任务是引导和帮助学生去进行这种再创造,而不是把现成的知识灌输给学生.以往的数学教学更多关注的是学生的学习结果,而忽略了学生的学习过程.而新课程改革凸现“过程”目标,一是因为只有关注学生数学学习的过程,才能真正了解学生是怎样学习的,是采用什么样的学习方法或策略的.在此基础上,教师才可以加以科学的指导,最终引导学生学会学习.二是因为让中学生开展数学探究性学习活动,目的并非是要他们获取重大的数学研究成果,而主要是让学生在探究(研究)的过程中,去学习一些数学研究的方法,同时体验自主、合作、探究等目标的内容.从这个意义上说,有时候过程比结果更重要.数学学习是一个从感知数学到积累数学知识,从积累数学知识到理解数学的过程;同时也是学生学习基本技能、掌握学习策略、培养思维能力、体验“情感态度价值观”目标的过程.
1 概念建立的思维过程
数学知识的产生与发展是自然的、合理的,一个完美的数学概念的定义是数学界长期自然、合理“进化”的结果.数学概念、数学方法、数学思想的起源与发展都是自然的.如果有人感到某个概念不自然,是强加于人的,那么只要想一下它的背景,它的形成过程,它的应用,以及它与其他概念的联系,你就会发现它实际上是水到渠成、浑然天成的产物,不仅合情合理,甚至很有人情味.因此教师在教学过程中应有意识地引导学生揭示数学概念的形成背景、形成过程以及它与其他概念的联系,揭示数学概念形成与完善的必然性、合理性.
案例1 “三角形的概念”的教学
师:刚才请同学们用数学的眼光欣赏了美丽的图片(图片略),请问这些美丽的图片中都含有哪种平面几何图形.
生(众):三角形.
师:对!(多媒体投放图1所示的三角形)小学时我们已学过三角形的一些知识,从今天开始将进一步学习有关三角形的知识.谁来说说什么样的图形叫做三角形呢?
生1:由三条线段组成的图形叫做三角形.
师:有不同的观点吗?
生2:我不同意生1的观点.请大家看我画的由三条线段组成的图形(如图2、图3(用实物投影放映)),可它们却不是三角形,故应改为:由三条线段首尾顺次连接组成的图形叫做三角形.
师:这下,大家没异议了吧!
生3:不行!必须添上条件“不在同一条直线上”,否则,组成的图形可能是线段,我画给大家看(图4).
故应改为:由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次连接组成的图形叫三角形.
师:真聪明!大家一起说说什么样的图形叫做三角形?
生(众):由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次连接组成的图形叫做三角形.
师:我们知道图形的“角”用符号“∠”表示.垂直用符号“⊥”表示,那么,三角形这一图形该用什么符号表示呢?
生(众):用小的三角形图形.
师:你们是怎么想到的?
生(众):受角、垂直的符号表示法的启发呀!
师:这种考虑问题的方法,叫类比.类比是最有创造力的一种思维方法.它关注两个对象在某些方面的相同或相似,从而推测它们在其他方面可能存在的相同或相似之处,它是我们解决问题时非常重要的思路.的确,数学家们用小的三角形图形“△”表示三角形,这一符号形象、直观,便于记忆.
我们知道图1的三角形中三条线段可分别记作线段AB、BC、CA,三个角可分别记作∠ABC、∠BAC、∠ACB,那么“图1中的三角形”又该如何用符号表示呢?
生4:记作“△ABC”.
师:能否记作“△BCA”或“△CAB”呢?
(此时,学生窃窃私语,呈现出两种意见)
生5:不能.因为∠ABC、∠BAC表示不同的角,类比角的表示法,故“△ABC”“△BCA”应表示不同的三角形.所以“△ABC”不能记作“△BCA”.
生6:我认为可以.因为三角形中点A、B、C呈“三国鼎立,势均力敌”之势,故“排名不分先后”(学生大笑),而角中的A、B、C的地位是不同的!不能盲目类比.
师:生6说得太棒了!从中我们得到启发,有时由类比得到的结论不一定可靠,需要仔细斟酌.
我们知道符号“∠ABC’’读作“角A、B、C”,那么符号“△ABC”又如何读呢?
生(众):读作三角形A、B、C.
……
本案例师生通过思维对话把三角形概念的学习组织成学生再创造的过程,在学生思维的最近发展区内创设问题情境,引导学生通过观察、类比、猜想、分析、验证,使问题层层推进,从而使学生一步一步地完善自己的认知结构.整个过程教师自始至终“带着学生走向知识”——授人以渔,充分体现了学生是学习的主人,教师是学生学习的组织者、引导者与合作者的理念.
概念形成过程的教学策略是:1.注意概念的引入.概念引入的方法有:①提供现实原型;②直观演示;③从数学内在需要引入概念;④用类比的方法引入或区分概念.总的原则是从学生思维的最近发展区出发,创设问题情境,激发学习兴趣,调动学生解决问题的积极性.2.剖析概念的本质.从概念的内涵与外延上进行深入的剖析,形成对概念的理性认识.3.掌握概念的语言表示.概念的呈现形式一般有:文字语言、图形语言、符号语言.4.重视概念的巩固、运用和推广.
2 规律形成的思维过程
我们知道,公式、定理、法则等规律性的教学既是概念教学的延续,又是解题教学的基础,承上启下,直接关系着概念和解题教学的质量.这些规律的发现、证明的过程中蕴含着丰富的数学观点、数学思想和方法,这对全面提高学生的素质,开发学生的智力是大有裨益的.目前,只重视其应用阶段的教学,而忽视其形成阶段(即它们被发现、证明的过程)的教学,掩盖、回避了它们形成阶段的思维过程,失去了培养学生思维能力的好机会.因此,在数学教学中,教师应精心设计教学内容,展示这些规律的形成过程,为学生创设问题情境,“教发现、教猜想、教证明”(波利亚语),培养学生用数学的观点、思想和方法去研究、探索问题的能力,提高学生思维品质.
案例2 “零指数”的教学
“零指数”的教学,不仅要包括了解零指数幂的“规定”、会进行简单运算,还要包括感受这种“规定”的合理性,并在这个过程中学会数学思考、感悟理性精神.
然后,向学生质疑这个猜想是否合理,并通过多种途径引导学生感受猜想的合理性:
(1)1个细胞分裂1次变2个,分裂2次变4个,分裂3次变8个……那么,1个细胞没有分裂时为几个?
(2)观察数轴上表示16,8,4,2,……的点的位置变化,有什么规律?
(3)观察下列式子中“幂”与“指数”的变化,有什么规律?
这样,学生学习“零指数”就经历了如下思维过程:面对挑战——提出猜想(“规定”)——感受(“规定”)合理性——作出“规定”——验证“规定”与原有知识的和谐(又一种意义的合理)——指数概念得到扩充.这样的过程,有助于发展学生的理性精神,有助于学生感受数学是如何在自身的矛盾运动中不断得到发展的.事实上,借助学习“零指数”所获得的经验,学生不难自己尝试对负整数指数幂的意义作出合理的“规定”
案例3 “多边形的外角和”的教学
师:同学们跑过10000米长跑吗?(大部分学生惊叫)
师:(稍等片刻):如果沿学校的400米椭圆形操场跑,需要跑25圈.在这“漫长”的转圈中,你们联想到什么数学知识呢?
生1:(争先恐后):每转一圈的路程相等,每转一圈都是从起点回到起点,转一圈是360°……
师:不错.如果我们把操场由椭圆形改成五边形(如图5),沿五边形的边按逆时针方向跑,请思考:
(1)从一条边转到下一条边时,身体转过的角是哪个角?[TP1d.tif,Y][TS(][JZ]图5[TS)]
(2)每跑完一圈,身体转过的角度之和是多少?
(师生共同参与研究转圈活动后分组合作归纳)
生2:从一条小路转到下一条小路时,身体转过的角分别是∠1、∠2、∠3、∠4、∠5.
生3:我认为在点A处转身前后视线的夹角为∠1,同样在点B处转身前后视线的夹角为∠2,在点C处转身前后视线的夹角为∠3,在点D处转身前后视线的夹角为∠4,在点E处转身前后视线的夹角为∠5,一圈后,视线的方向与原来的方向一致,由此,我想到这五个角的和是360°,也就是说五边形的外角和等于360°.(结论已出,教师正准备引出多边形外角和都等于360°的结论)
生4:沿各边行走,视线恰好扫过一圈,这五个角的和是360°.(周围不少同学点头称是,显然这种说法也比较容易让人理解、接受)
生5:(平时少于发言)只要在某一个顶点沿各边方向转动一圈,恰好形成一个周角,不就说明五边形的外角和等于360°吗?所以,任何多边形的外角和都等于360°,与边数无关.(同学们点头称赞,并给予热烈的掌声)
师:好极了!一语道破天机!周而复始,原来如此!现在我们把转圈的过程搬到黑板上来.(拿出圆规,使一边与五边形的一边重合,另一边沿着各边方向旋转……,直到最终重合在一起,形成周角)此时所旋转的各角与各外角是什么关系?
生6:所旋转的各角与各外角是同位角.
生7:这相当于在一个顶点处分别作各边的平行线而未改变外角的大小.(大家纷纷点头)
师:生7的回答真精彩!我们已经实实在在地“看”到多边形的外角和是周角这一重要结论.那么,同学们能否按照前面研究的思路证明这个结论呢?(于是,教学转入下一个环节.)
这样,打破惯例,选择“现实的、有意义的、富有挑战性的”“转圈”活动,再现了数学知识的自然背景及其本质内涵,也让学生初步经历了“问题情境——建立模型——解释、反思、应用”的数学学习思维过程.事实上,在平时的教学中许多教师不也在没完没了的“转圈”吗?就像多边形外角和360°,不知教了多少遍,但每次都是轻松带过,而未能真真切切地“看”到这个“圈”.因此,在这个“转圈”的过程中,老师和学生得到的不仅仅是一个周角,而是一种思想方法,一种全新的教学理念.
规律形成的思维过程的教学策略是:创设性境一分析探究一猜想假设一论证评价.问题情境的优劣取决于它是否蕴含丰富的数学事实,能否激发学生学习的兴趣,能否体现再创造的过程.追求一个“近”字,贴“近”学生现实生活,接“近”学生学习起点,走“近”数学学习主题;注重一个“实”字,内容“真实”,形式“朴实”,运用“务实”;突出一个“活”字,激“活”思维,诱“活”气氛,用“活”情境.创设问题情境的方式有:生活情境、游戏情境、质疑情境、故事情境、操作情境、纠错情境、实践情境等.
3 思路探索的思维过程
布鲁纳指出:“探索是数学的生命线.”探索得来的知识深刻难忘.在解题教学中,教师大都是将一种或几种正确的解题方法展示给学生,告诉学生:“这道题的正确解法是这样的!”事实上,解题教学至关重要的一环就是注重探索,突出思维过程,即在解题环节上,突出思路的探索;在思维层次上,注意问题的概括解决.解题教学的重点应放在解题思路探索的过程中,放在发现解题方法的寻找过程中,从而通过解题教学,让学生在学习中提高观察能力;在分析综合中提高逻辑推理能力;在抽象概括中提高抽象思维能力;在数式的变换与计算中,提高运算能力;在形体研究中提高空间想象能力.
案例4 “积的乘方”例题的教学
师:说说你的解题思路.
生9:就是对积的乘方法则的逆用.
通过对这样一组例题的设置,学生的思维过程暴露无遗,教师的思维也清晰地展示给了学生,使不同层次的学生的思维都得到了不同的发展.
案例5 如图6,在△ABC中,分别以AB、BC、CA为边在BC的同侧向外作正三角形ABD、BCE、ACF.求证:DC=BF.[TP1e.tif,Y][TS(][JZ]图6[TS)]
我们可以这样分析:要证明DC=BF,只须证明它们所在的三角形全等,即△DCB、△DCA中的一个与△FBC、△FBA中的一个全等,且DC与BF是对应边.
先考虑△DCB与△FBC.它们只有一个相等条件:公共边BC,而DB与CF不一定相等,所以无法证明它们全等.
再考虑△DCB与△BFA.它们也有一个相等条件:BD=BA,再也找不到其他相等条件了,无法证明它们全等.
接着考虑△DCA与△BFC.它们有一组边相等:AC=CF,其他相等条件不具备,无法证明它们全等.
在走了这么多的“死路”之后,再继续分析.
再看△DCA与△FBA.在这两个三角形中,已经有AC=AF,AD=AB,知道了两个“S”.证明两个三角形全等的理由中有两个“S”的有两种:“SSS”和“SAS”.若要用“SSS”,就需知道或证明第三个“S”,但第三个“S”就是我们需要证明的,所以不可能用“SSS”证明全等.因此只能用“SAS”来证明它们全等.接着分析这里的“A”……
经常进行这样的教学,能使学生对解题过程有一个正确的认识,使他们清醒地认识到解题过程实际上是一个摸索、探索的过程,不可能每次都那么“巧”,直接得到正确结果.以后在比较难的题目面前,也就不会不知所措了.
思路探索的思维过程的教学策略是:1.审题:弄清两个部分:条件与结论,对已知条件既不能遗漏,也不能意外添加,注意条件的多元化、复杂化、联系性,并注意隐含条件.对结论,经过审题要转化为各种等价形式.2.解题方法的探索过程:是否见过相同的问题只是形式有变化?与哪些定理、公式、法则有关,可否直接应用?解决这一问题用到哪些策略?不但要展示解题思路的“成品”、“优品”,而且更要展示解题思路的“废品”、“次品”,以及从“废品”到“次品”,进而到“成品”、“优品”的过程.
《数学课程标准》明确规定了义务教育阶段数学课程的总体目标,并从知识与技能、数学思考、解决问题、情感与态度等四个方面作出了进一步阐述.同时明确规定了以“经历”、“体验”、“探索”为标志的过程性目标,并在总体目标的描述中有6处使用了“经历……过程”,3处使用了“体验……过程”,在学段目标的描述中有7处使用了“经历……过程”,5处使用了“体验……过程”,5处使用了“探索……过程”.这些刻画数学活动水平的过程性目标动词的使用点,规定了数学活动的内容、指向、目的和水平,是实现过程性目标的根据和参照.
德国教育家第斯多惠说:“一个坏老师奉送给学生真理,一个好老师则教学生发现真理”.荷兰数学教育家弗赖登塔尔反复强调:学习数学的唯一正确方法是实行“再创造”,也就是由学生本人把要学的东西自己去发现或创造出来,教师的任务是引导和帮助学生去进行这种再创造,而不是把现成的知识灌输给学生.以往的数学教学更多关注的是学生的学习结果,而忽略了学生的学习过程.而新课程改革凸现“过程”目标,一是因为只有关注学生数学学习的过程,才能真正了解学生是怎样学习的,是采用什么样的学习方法或策略的.在此基础上,教师才可以加以科学的指导,最终引导学生学会学习.二是因为让中学生开展数学探究性学习活动,目的并非是要他们获取重大的数学研究成果,而主要是让学生在探究(研究)的过程中,去学习一些数学研究的方法,同时体验自主、合作、探究等目标的内容.从这个意义上说,有时候过程比结果更重要.数学学习是一个从感知数学到积累数学知识,从积累数学知识到理解数学的过程;同时也是学生学习基本技能、掌握学习策略、培养思维能力、体验“情感态度价值观”目标的过程.
1 概念建立的思维过程
数学知识的产生与发展是自然的、合理的,一个完美的数学概念的定义是数学界长期自然、合理“进化”的结果.数学概念、数学方法、数学思想的起源与发展都是自然的.如果有人感到某个概念不自然,是强加于人的,那么只要想一下它的背景,它的形成过程,它的应用,以及它与其他概念的联系,你就会发现它实际上是水到渠成、浑然天成的产物,不仅合情合理,甚至很有人情味.因此教师在教学过程中应有意识地引导学生揭示数学概念的形成背景、形成过程以及它与其他概念的联系,揭示数学概念形成与完善的必然性、合理性.
案例1 “三角形的概念”的教学
师:刚才请同学们用数学的眼光欣赏了美丽的图片(图片略),请问这些美丽的图片中都含有哪种平面几何图形.
生(众):三角形.
师:对!(多媒体投放图1所示的三角形)小学时我们已学过三角形的一些知识,从今天开始将进一步学习有关三角形的知识.谁来说说什么样的图形叫做三角形呢?
生1:由三条线段组成的图形叫做三角形.
师:有不同的观点吗?
生2:我不同意生1的观点.请大家看我画的由三条线段组成的图形(如图2、图3(用实物投影放映)),可它们却不是三角形,故应改为:由三条线段首尾顺次连接组成的图形叫做三角形.
师:这下,大家没异议了吧!
生3:不行!必须添上条件“不在同一条直线上”,否则,组成的图形可能是线段,我画给大家看(图4).
故应改为:由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次连接组成的图形叫三角形.
师:真聪明!大家一起说说什么样的图形叫做三角形?
生(众):由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次连接组成的图形叫做三角形.
师:我们知道图形的“角”用符号“∠”表示.垂直用符号“⊥”表示,那么,三角形这一图形该用什么符号表示呢?
生(众):用小的三角形图形.
师:你们是怎么想到的?
生(众):受角、垂直的符号表示法的启发呀!
师:这种考虑问题的方法,叫类比.类比是最有创造力的一种思维方法.它关注两个对象在某些方面的相同或相似,从而推测它们在其他方面可能存在的相同或相似之处,它是我们解决问题时非常重要的思路.的确,数学家们用小的三角形图形“△”表示三角形,这一符号形象、直观,便于记忆.
我们知道图1的三角形中三条线段可分别记作线段AB、BC、CA,三个角可分别记作∠ABC、∠BAC、∠ACB,那么“图1中的三角形”又该如何用符号表示呢?
生4:记作“△ABC”.
师:能否记作“△BCA”或“△CAB”呢?
(此时,学生窃窃私语,呈现出两种意见)
生5:不能.因为∠ABC、∠BAC表示不同的角,类比角的表示法,故“△ABC”“△BCA”应表示不同的三角形.所以“△ABC”不能记作“△BCA”.
生6:我认为可以.因为三角形中点A、B、C呈“三国鼎立,势均力敌”之势,故“排名不分先后”(学生大笑),而角中的A、B、C的地位是不同的!不能盲目类比.
师:生6说得太棒了!从中我们得到启发,有时由类比得到的结论不一定可靠,需要仔细斟酌.
我们知道符号“∠ABC’’读作“角A、B、C”,那么符号“△ABC”又如何读呢?
生(众):读作三角形A、B、C.
……
本案例师生通过思维对话把三角形概念的学习组织成学生再创造的过程,在学生思维的最近发展区内创设问题情境,引导学生通过观察、类比、猜想、分析、验证,使问题层层推进,从而使学生一步一步地完善自己的认知结构.整个过程教师自始至终“带着学生走向知识”——授人以渔,充分体现了学生是学习的主人,教师是学生学习的组织者、引导者与合作者的理念.
概念形成过程的教学策略是:1.注意概念的引入.概念引入的方法有:①提供现实原型;②直观演示;③从数学内在需要引入概念;④用类比的方法引入或区分概念.总的原则是从学生思维的最近发展区出发,创设问题情境,激发学习兴趣,调动学生解决问题的积极性.2.剖析概念的本质.从概念的内涵与外延上进行深入的剖析,形成对概念的理性认识.3.掌握概念的语言表示.概念的呈现形式一般有:文字语言、图形语言、符号语言.4.重视概念的巩固、运用和推广.
2 规律形成的思维过程
我们知道,公式、定理、法则等规律性的教学既是概念教学的延续,又是解题教学的基础,承上启下,直接关系着概念和解题教学的质量.这些规律的发现、证明的过程中蕴含着丰富的数学观点、数学思想和方法,这对全面提高学生的素质,开发学生的智力是大有裨益的.目前,只重视其应用阶段的教学,而忽视其形成阶段(即它们被发现、证明的过程)的教学,掩盖、回避了它们形成阶段的思维过程,失去了培养学生思维能力的好机会.因此,在数学教学中,教师应精心设计教学内容,展示这些规律的形成过程,为学生创设问题情境,“教发现、教猜想、教证明”(波利亚语),培养学生用数学的观点、思想和方法去研究、探索问题的能力,提高学生思维品质.
案例2 “零指数”的教学
“零指数”的教学,不仅要包括了解零指数幂的“规定”、会进行简单运算,还要包括感受这种“规定”的合理性,并在这个过程中学会数学思考、感悟理性精神.
然后,向学生质疑这个猜想是否合理,并通过多种途径引导学生感受猜想的合理性:
(1)1个细胞分裂1次变2个,分裂2次变4个,分裂3次变8个……那么,1个细胞没有分裂时为几个?
(2)观察数轴上表示16,8,4,2,……的点的位置变化,有什么规律?
(3)观察下列式子中“幂”与“指数”的变化,有什么规律?
这样,学生学习“零指数”就经历了如下思维过程:面对挑战——提出猜想(“规定”)——感受(“规定”)合理性——作出“规定”——验证“规定”与原有知识的和谐(又一种意义的合理)——指数概念得到扩充.这样的过程,有助于发展学生的理性精神,有助于学生感受数学是如何在自身的矛盾运动中不断得到发展的.事实上,借助学习“零指数”所获得的经验,学生不难自己尝试对负整数指数幂的意义作出合理的“规定”
案例3 “多边形的外角和”的教学
师:同学们跑过10000米长跑吗?(大部分学生惊叫)
师:(稍等片刻):如果沿学校的400米椭圆形操场跑,需要跑25圈.在这“漫长”的转圈中,你们联想到什么数学知识呢?
生1:(争先恐后):每转一圈的路程相等,每转一圈都是从起点回到起点,转一圈是360°……
师:不错.如果我们把操场由椭圆形改成五边形(如图5),沿五边形的边按逆时针方向跑,请思考:
(1)从一条边转到下一条边时,身体转过的角是哪个角?[TP1d.tif,Y][TS(][JZ]图5[TS)]
(2)每跑完一圈,身体转过的角度之和是多少?
(师生共同参与研究转圈活动后分组合作归纳)
生2:从一条小路转到下一条小路时,身体转过的角分别是∠1、∠2、∠3、∠4、∠5.
生3:我认为在点A处转身前后视线的夹角为∠1,同样在点B处转身前后视线的夹角为∠2,在点C处转身前后视线的夹角为∠3,在点D处转身前后视线的夹角为∠4,在点E处转身前后视线的夹角为∠5,一圈后,视线的方向与原来的方向一致,由此,我想到这五个角的和是360°,也就是说五边形的外角和等于360°.(结论已出,教师正准备引出多边形外角和都等于360°的结论)
生4:沿各边行走,视线恰好扫过一圈,这五个角的和是360°.(周围不少同学点头称是,显然这种说法也比较容易让人理解、接受)
生5:(平时少于发言)只要在某一个顶点沿各边方向转动一圈,恰好形成一个周角,不就说明五边形的外角和等于360°吗?所以,任何多边形的外角和都等于360°,与边数无关.(同学们点头称赞,并给予热烈的掌声)
师:好极了!一语道破天机!周而复始,原来如此!现在我们把转圈的过程搬到黑板上来.(拿出圆规,使一边与五边形的一边重合,另一边沿着各边方向旋转……,直到最终重合在一起,形成周角)此时所旋转的各角与各外角是什么关系?
生6:所旋转的各角与各外角是同位角.
生7:这相当于在一个顶点处分别作各边的平行线而未改变外角的大小.(大家纷纷点头)
师:生7的回答真精彩!我们已经实实在在地“看”到多边形的外角和是周角这一重要结论.那么,同学们能否按照前面研究的思路证明这个结论呢?(于是,教学转入下一个环节.)
这样,打破惯例,选择“现实的、有意义的、富有挑战性的”“转圈”活动,再现了数学知识的自然背景及其本质内涵,也让学生初步经历了“问题情境——建立模型——解释、反思、应用”的数学学习思维过程.事实上,在平时的教学中许多教师不也在没完没了的“转圈”吗?就像多边形外角和360°,不知教了多少遍,但每次都是轻松带过,而未能真真切切地“看”到这个“圈”.因此,在这个“转圈”的过程中,老师和学生得到的不仅仅是一个周角,而是一种思想方法,一种全新的教学理念.
规律形成的思维过程的教学策略是:创设性境一分析探究一猜想假设一论证评价.问题情境的优劣取决于它是否蕴含丰富的数学事实,能否激发学生学习的兴趣,能否体现再创造的过程.追求一个“近”字,贴“近”学生现实生活,接“近”学生学习起点,走“近”数学学习主题;注重一个“实”字,内容“真实”,形式“朴实”,运用“务实”;突出一个“活”字,激“活”思维,诱“活”气氛,用“活”情境.创设问题情境的方式有:生活情境、游戏情境、质疑情境、故事情境、操作情境、纠错情境、实践情境等.
3 思路探索的思维过程
布鲁纳指出:“探索是数学的生命线.”探索得来的知识深刻难忘.在解题教学中,教师大都是将一种或几种正确的解题方法展示给学生,告诉学生:“这道题的正确解法是这样的!”事实上,解题教学至关重要的一环就是注重探索,突出思维过程,即在解题环节上,突出思路的探索;在思维层次上,注意问题的概括解决.解题教学的重点应放在解题思路探索的过程中,放在发现解题方法的寻找过程中,从而通过解题教学,让学生在学习中提高观察能力;在分析综合中提高逻辑推理能力;在抽象概括中提高抽象思维能力;在数式的变换与计算中,提高运算能力;在形体研究中提高空间想象能力.
案例4 “积的乘方”例题的教学
师:说说你的解题思路.
生9:就是对积的乘方法则的逆用.
通过对这样一组例题的设置,学生的思维过程暴露无遗,教师的思维也清晰地展示给了学生,使不同层次的学生的思维都得到了不同的发展.
案例5 如图6,在△ABC中,分别以AB、BC、CA为边在BC的同侧向外作正三角形ABD、BCE、ACF.求证:DC=BF.[TP1e.tif,Y][TS(][JZ]图6[TS)]
我们可以这样分析:要证明DC=BF,只须证明它们所在的三角形全等,即△DCB、△DCA中的一个与△FBC、△FBA中的一个全等,且DC与BF是对应边.
先考虑△DCB与△FBC.它们只有一个相等条件:公共边BC,而DB与CF不一定相等,所以无法证明它们全等.
再考虑△DCB与△BFA.它们也有一个相等条件:BD=BA,再也找不到其他相等条件了,无法证明它们全等.
接着考虑△DCA与△BFC.它们有一组边相等:AC=CF,其他相等条件不具备,无法证明它们全等.
在走了这么多的“死路”之后,再继续分析.
再看△DCA与△FBA.在这两个三角形中,已经有AC=AF,AD=AB,知道了两个“S”.证明两个三角形全等的理由中有两个“S”的有两种:“SSS”和“SAS”.若要用“SSS”,就需知道或证明第三个“S”,但第三个“S”就是我们需要证明的,所以不可能用“SSS”证明全等.因此只能用“SAS”来证明它们全等.接着分析这里的“A”……
经常进行这样的教学,能使学生对解题过程有一个正确的认识,使他们清醒地认识到解题过程实际上是一个摸索、探索的过程,不可能每次都那么“巧”,直接得到正确结果.以后在比较难的题目面前,也就不会不知所措了.
思路探索的思维过程的教学策略是:1.审题:弄清两个部分:条件与结论,对已知条件既不能遗漏,也不能意外添加,注意条件的多元化、复杂化、联系性,并注意隐含条件.对结论,经过审题要转化为各种等价形式.2.解题方法的探索过程:是否见过相同的问题只是形式有变化?与哪些定理、公式、法则有关,可否直接应用?解决这一问题用到哪些策略?不但要展示解题思路的“成品”、“优品”,而且更要展示解题思路的“废品”、“次品”,以及从“废品”到“次品”,进而到“成品”、“优品”的过程.