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[摘要]创设故事情境能唤起学生的求知欲、探索欲，激发学生学习数学的兴趣，培养学生数学探究的思想.
[关键词]数学故事 问题情境 合作探究
[中图分类号] G633.6
[文献标识码] A [文章编号] 1674-6058（2016）02-0022
通过视频播放科幻大片《猩球崛起》的片断，片断中一只叫明眸的猩猩在玩四层汉诺塔游戏，由此引出情境问题：这只猩猩最少要移动几次才能完成任务？这就是我们今天要探究的问题，如教材第75页例4：如图，有三根针和套在根针上的若干金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上.（1）每次只能移动1个金属片；（2）较大的金属片不能放在较小的金属片上面.试推测：把n个金属片从l号针移到3号针，最少需要移动多少次？
教师可引导学生先独立思考，再小组合作交流.从特殊情况分析，利用合情推理：三根针的序号为1.2，3，各个金属片从上到下，从小到大分别定义为（1）.（2），（3），…，（n）.
当n=l时金片移动的顺序为（1）-3只需1次就能完成任务.（（1）-3表示把金属片（1）移到3号针上）.
当n=2时，金片移动的顺序为（1）-2，（2）-3，（1）-3只需3次就能完成任务.
当n=3时，金片移动的顺序为（1）-3，（2）-2.（1）-2，（3）-3，（I）-1，（2）-3，（1）-3只需7次就能完成任务.
当n=4时，金片移动的顺序为（1）-2，（2）-3，（1）-3，（3）-2.（1）-1，（2）-2，（1）-2，（4）-3.（1）-3.（2）-1，（1）-1，（3）-3，（1）-2，（2）-3，（1）-3只需15次就能完成任务.
我们设移动n个金属片所需次数为f（n）构成的数列、f（l），f（2），f（3），f4），…，f（n）.
其中，f（1）=1，f（2）=3，f3）=7，f（4）=15，那么f（n）=？
我们可以通过观察、分析、比较得：f（1）=2-1，f（2）=2?-l，f3）=2?-1，f（4）=24-1，猜想f（n）=2n-l（n∈N*）（该结论需证明）
通过上面的合情推理可归纳出n个金属片移动的步骤：
第一步，将1号针上面n-l个金属片从1号针移到2号针（只要移动f（n-1）次）；
第二步，把1号针上剩下的一个金属片移到塔3上（只要移动1次）；
第三步，将2号上n-1个金属片移到塔3上（只要移动f（n-1）次）.因此可得到：
f（n）=f（n-1） 1 f（n-1）=2f（n-l） 1.
解决该问题的数列模型：已知f（1）=1，f（n）=2f（n-l） 1，（n∈N*，n≥2），求f（n）=？
方法一：由f（1）=2-1，f（2）=2?-l，f3=2?-1，f（4）=24-1猜想f（n）=2n-l（n∈N*）.
方法二：由f（2）-f（1）=2，f（3）-f（2）=2?，f（4）-f（3）=2?猜想f（n l）-f（n）=2n，
联立f（n l）=2f（n） 1可得f（n）=2n-l.
方法三：发现递推公式f（n）=2f（n-1） 1右边多了一个1，没这个1就成了f（n）=2f（n-1）.这是我们熟悉的等比数列.通过观察、分析、比较得：
①f（n）=2f（n-1），f（1）=2，f（2）=4，f（3）=8，f（4）=16，…，f（n）=2n；
②f（n）=2f（n-1） 1，f（1）=1，f（2）=3，f3）=7，f（4）=15，那么f（n）=2n-1（猜想）.
在探究问题中，合情推理能帮助我们通过观察、分析、比较、归纳、类比，猜测得出结论，但结论正确与否还要通过严格的证明.
下面我们就来证明结论.
（1）用数学归纳法证明如下：
①n=l时，显然f（n）=l成立；
②n=2时，假设当n=k时命题成立也即f（k）=2k-l，那么当n=k l时，f（k 1）=2f（k） 1=2（2k-1）命题也成立.
由上面①、②可得证n任意正整时命题成立.也
（2）其他证法
还是观察递推公式、f（n）=2f（n-l） l（n≥2）右边多出的这个1，怎么处理它呢？
分析一：若再写出f（n 1）=2f（n） l将两式作差可把那个1消去，得到f（n 1）-f（n）=2[f（n）f（n-1）]，得到数列{f（n 1）-f（n）}为等比数列.
分析二：不去消1，两边加1呢？就得到f（n） l=2[f（n-1） 1]，这是我们熟悉的等比数列，于是有f（n）
让学生课后探索下列数学的通项公式：
①f（n 1）=3f（n） 2且f（1）=1.
②f（n 1）=pf（n） q，且f（1）=1（p，q为常数）.
[关键词]数学故事 问题情境 合作探究
[中图分类号] G633.6
[文献标识码] A [文章编号] 1674-6058（2016）02-0022
通过视频播放科幻大片《猩球崛起》的片断，片断中一只叫明眸的猩猩在玩四层汉诺塔游戏，由此引出情境问题：这只猩猩最少要移动几次才能完成任务？这就是我们今天要探究的问题，如教材第75页例4：如图，有三根针和套在根针上的若干金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上.（1）每次只能移动1个金属片；（2）较大的金属片不能放在较小的金属片上面.试推测：把n个金属片从l号针移到3号针，最少需要移动多少次？
教师可引导学生先独立思考，再小组合作交流.从特殊情况分析，利用合情推理：三根针的序号为1.2，3，各个金属片从上到下，从小到大分别定义为（1）.（2），（3），…，（n）.
当n=l时金片移动的顺序为（1）-3只需1次就能完成任务.（（1）-3表示把金属片（1）移到3号针上）.
当n=2时，金片移动的顺序为（1）-2，（2）-3，（1）-3只需3次就能完成任务.
当n=3时，金片移动的顺序为（1）-3，（2）-2.（1）-2，（3）-3，（I）-1，（2）-3，（1）-3只需7次就能完成任务.
当n=4时，金片移动的顺序为（1）-2，（2）-3，（1）-3，（3）-2.（1）-1，（2）-2，（1）-2，（4）-3.（1）-3.（2）-1，（1）-1，（3）-3，（1）-2，（2）-3，（1）-3只需15次就能完成任务.
我们设移动n个金属片所需次数为f（n）构成的数列、f（l），f（2），f（3），f4），…，f（n）.
其中，f（1）=1，f（2）=3，f3）=7，f（4）=15，那么f（n）=？
我们可以通过观察、分析、比较得：f（1）=2-1，f（2）=2?-l，f3）=2?-1，f（4）=24-1，猜想f（n）=2n-l（n∈N*）（该结论需证明）
通过上面的合情推理可归纳出n个金属片移动的步骤：
第一步，将1号针上面n-l个金属片从1号针移到2号针（只要移动f（n-1）次）；
第二步，把1号针上剩下的一个金属片移到塔3上（只要移动1次）；
第三步，将2号上n-1个金属片移到塔3上（只要移动f（n-1）次）.因此可得到：
f（n）=f（n-1） 1 f（n-1）=2f（n-l） 1.
解决该问题的数列模型：已知f（1）=1，f（n）=2f（n-l） 1，（n∈N*，n≥2），求f（n）=？
方法一：由f（1）=2-1，f（2）=2?-l，f3=2?-1，f（4）=24-1猜想f（n）=2n-l（n∈N*）.
方法二：由f（2）-f（1）=2，f（3）-f（2）=2?，f（4）-f（3）=2?猜想f（n l）-f（n）=2n，
联立f（n l）=2f（n） 1可得f（n）=2n-l.
方法三：发现递推公式f（n）=2f（n-1） 1右边多了一个1，没这个1就成了f（n）=2f（n-1）.这是我们熟悉的等比数列.通过观察、分析、比较得：
①f（n）=2f（n-1），f（1）=2，f（2）=4，f（3）=8，f（4）=16，…，f（n）=2n；
②f（n）=2f（n-1） 1，f（1）=1，f（2）=3，f3）=7，f（4）=15，那么f（n）=2n-1（猜想）.
在探究问题中，合情推理能帮助我们通过观察、分析、比较、归纳、类比，猜测得出结论，但结论正确与否还要通过严格的证明.
下面我们就来证明结论.
（1）用数学归纳法证明如下：
①n=l时，显然f（n）=l成立；
②n=2时，假设当n=k时命题成立也即f（k）=2k-l，那么当n=k l时，f（k 1）=2f（k） 1=2（2k-1）命题也成立.
由上面①、②可得证n任意正整时命题成立.也
（2）其他证法
还是观察递推公式、f（n）=2f（n-l） l（n≥2）右边多出的这个1，怎么处理它呢？
分析一：若再写出f（n 1）=2f（n） l将两式作差可把那个1消去，得到f（n 1）-f（n）=2[f（n）f（n-1）]，得到数列{f（n 1）-f（n）}为等比数列.
分析二：不去消1，两边加1呢？就得到f（n） l=2[f（n-1） 1]，这是我们熟悉的等比数列，于是有f（n）
让学生课后探索下列数学的通项公式：
①f（n 1）=3f（n） 2且f（1）=1.
②f（n 1）=pf（n） q，且f（1）=1（p，q为常数）.