一道高考题的解法探究

• 作 者: 佘军仁 陈巧红
• 出 处: 中学生数理化·自主招生
• 发表日期: 2020年1期
• 关键词: 解法探究 高考题 数列 全国Ⅲ卷 规范

　　例题 （2016年全国Ш卷）定义“规范01数列”{an}如下：{an}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，an中O的个数不少于1的个数。若m=4，则不同的“规范01数列”共有（
　　）。
　　A.18个
　　B.16个
　　C.14个
　　D.12个
　　答案：C
　　探究一、用分步计数原理
　　解：由题意，{an}中共有8项，4项为O，4项为1，且第一项为O，第八项为1，且要符合对任意k≤2m，a1，a2，…，ak中0的个数不少于1的个数。如图l所示，此时可按项数从小到大分步作答，但关键是只要前面出现3个O，即结束讨论，分步如下。
　　（1）当第二项、第三项均为O时，共C41种情况;当第三项为1，第四项为0时，共C13种情况;当第四项为1时，第五项只能为O，共C12种情况。如图2。
　　（2）当第二项为1时，第三项只能为O，当第四项为O时，共C13种情况;当第四项为1时，第五项只能为0时，共q种情况。如圖3。
　　综上，共有C14 C12 C12 C13 C12=14（种）。
　　探究二、用分类计数原理
　　解：由题意，{an}中共有8项，4项为0，4项为1，且第一项为O，第八项为1，且要符合对任意k≤2m，a1，a2，…，ak中O的个数不少于l的个数，分为以下几种情况：
　　（1）前4项均为0，后4项均为1——共1种情况;
　　（2）前4项3个0，1个1，后4项1个O，3个1——共C23C13种情况;
　　（3）前4项2个O，2个1，后4项2个O，2个1——共2×2种情况。
　　所以，共有1 9 4=14（种）情况。
　　探究三、构造路径问题，通过标数法解题
　　解：在直角坐标系下，若向右走1个单位代表o，向上走1个单位代表1，该题可转化为在4×4方格y≤x的区域内，从o点走到A点的最短路径的条数。如图4所示，给经过的每一个格点（i，j）[数学上把在平面直角坐标系中横纵坐标均为整数的点称为格点（lattice point）或整点]标数，数字为从O点到点（i，j）的最短路径条数，除y=x上格点（i，i）标的数字和格点（i，j-1）相同外，其余y
　　注：图4中标在y=x上格点的数字又称为“卡特兰数”。
　　进一步归纳：
　　定义“规范01数列”{an}如下：{an}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1a2，…，ak中0的个数不少于1的个数，则不同的“规范Ol数列”共有个。
　　作者单位：河北省邯郸市第一中学
　　此文是河北省教育科学研究“十三五”规划2018年度一般课题“高中数学‘变式训练’的策略探究”（课题编号：1804082）的阶段性成果。