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[摘 要] 数学概念是数学思维的元素，在整個高中数学知识体系中占有相当重要的地位，但如果概念不清或理解错误，就会引起由概念推导的一系列性质和定理的错误，甚至将直接影响到数学的学习效率. 本文在分析高中数学概念学习过程中学生存在心理问题的原因的基础上，结合自己的教学实践，以“概率与统计”概念教学为例提出了高中数学概念学习过程中突破心理问题的途径和方法.
[关键词] 高中数学；概念教学；心理问题；成因对策
概念是大脑反映客观现实的一种高级形式，在任何一门学科的学习中，概念的学习至关重要，如果概念不清或理解错误，就会引起由概念推导的一系列性质和定理的错误，因此，对于概念掌握的熟练程度将直接影响到这门课程的学习效率. 在高中数学概念教学中，不仅有着十分丰富的概念，而且这些概念具有抽象和具体的双重性、逻辑联系性以及很高的概括性和系统性等特点，这种情况的存在，致使学生在相关概念的学习中常常表现为概念本质属性模糊，邻近概念的辨别常常混淆，难以将同一概念的不同表达方式灵活转换等等. 所以，在这种大背景下，研究高中数学概念学习过程中学生心理问题的成因与对策具有十分重要的意义.
高中数学概念学习过程中存在心理问题的原因
深入分析高中数学概念学习过程中学生存在的各种心理问题，其主要原因有以下几个方面：
一是教师灌输式教学. 在具体教学过程中，大多数教师仍然是按照自己的思路和方式进行，未能将现代辅助教学工具、数学史料等应用于课堂之中，在这种情况下，学生常常表现为茫然，未能真正理解相关概念的外延和内涵，致使学生对相关概念较为模糊，一遇概念的变式就不知所措. 以“概率”知识为例，由于概率这个概念较为抽象，加之教师灌输式教学，学生无法正确理解概率的深层次知识.
二是新旧数学概念之间缺乏有效的衔接. 当一些新的数学概念与学生原有的知识结构之间存在差异时，这些新的概念就会被无形地排斥或“校正”后吸收，因此，在具体学习过程中，做到新旧知识的有效衔接. 例如，频率是学生在初中阶段已经学习过的知识，随着试验的进展其统计值是不断变化的，在概率的学习过程中，大部分学生误认为频率就是概率，究其原因是对概率的认识缺乏有效的衔接.
三是学生自信心过高或者不足. 大部分学生普遍存在着眼高手低的现象，误认为数学概念较为简单，在数学概念的讲解中自我感觉良好，忽视数学概念的练习和巩固，重题型练习，轻数学概念学习的现象较为严重，致使学生在正常作业或考试中频繁出错.同时，也有一部分学生初中数学基础不够结实，一遇到文字冗长的数学题目时，难以抽象出数学语言，从而表现为一接触就产生畏难情绪，缺乏迎难而上和刻苦钻研的精神与意志. 例如，对于“某车站的公共汽车可能准时发车也可能延迟出车”这样的题目，由于“可能”一词的出现致使许多学生误认为该事件是可能事件.
高中数学概念学习过程中突破心理问题的途径和方法
1. 注重教学反例的应用
（1）构造反例，加深学生对基本概念的理解
纵观高中数学概念，均存在着抽象、难以理解等特点，如果在具体教学实践中，教师能够帮助学生构造出反例，使学生对概念所反映的对象有着较为具体的认识，这样一方面可以促使学生抓住概念的本质，另一方面也可以调动学生学习数学的积极性. 例如，在讲授“概率”这一概念时，由定义可知：在随机事件中，随着试验次数的不断增多，某事物发生的概率P（A）可以用这个试验次数来估算.于是，部分学生误认为试验次数越多，频率就越趋近于概率. 这时笔者进行投币试验，通过分析投币出现正面的次数，得出相应的频率，从而降低频率和概率之间的混淆程度，帮助学生加深对概率和频率概念的理解程度.
（2）构造反例，及时纠正学生错误
应用反例不仅可以让学生发现自己理解过程中的漏洞，而且也可以让学生在辨析错误的过程中不断总结，完善自己的知识结构，从而获得对相应概念的正确理解. 例如，学生对“古典概型”的题目常常出现错误，究其原因是学生往往凭借直觉和相关经验进行判断，未能从问题的实际情况出发去判断事件之间是否相互独立. 为了研究的方便，不妨列举一实例进行说明.
一个袋子中含有4个相同的盒子，其中一个盒子上标有X、Y、Z三个字母，另外三个盒子上分别标有X、Y、Z三个字母，并且事件A={取出的盒子为X}， B={取出的盒子为Y}，C={取出的盒子为Z}. 请判断事件A、B、C 是否独立？
解析：由题意可得P（A）=P（B）=P（C）= ；
P（AB）=P（BC）=P（AC）= ，
P（ABC）= ，
所以，P（AB）=P（A）P（B）；P（BC）=P（B）P（C）；P（AC）=P（A）P（C）.
但是P（ABC）= ≠P（A）P（B）P（C）=
因此，A、B、C两两之间相互独立，但A、B、C三者之间不相互独立.
若该题仅凭借直觉进行求证，则很难得出正确的判断，因此，在教学中应及时纠正由于直觉或经验产生的错误，回归问题本质，应用定义进行科学判断.
（3）构造反例，培养学生的发散性和创造性思维
在具体教学中，如果离开了严谨细致的思维，那么很难对题目做出正确的判断，因此，可以通过一个恰当而又巧妙的反例来培养学生思维的批判性、严谨性、发散性和创造性，达到辨析错误、内化知识的目的.
以投掷若干个硬币为例，令A={最多有一个反面}，B={既有正面，又有反面}，判断A、B是否独立？
解析：若投掷2枚硬币，则P（A）= ，P（B）= ，P（AB）= ，
因为P（A）P（B）= ≠P（AB）= ，
所以，事件A与B不相互独立.
若投掷3枚硬币，则P（A）= ，P（B）= ，P（AB）= ， 因为P（A）P（B）=P（AB）= ，
所以事件A与B相互独立.
2. 注重错误案例的运用
在教学中，我们常常会遇到这种情况：对于某一数学概念，即使在教师的多次解释和纠正后，学生还是难以达到相应的效果. 这时，教师应充分利用桑代克的试误学习理论，让学生在错误的思路中碰碰壁，在学生不知所措时教师应给予帮助，及时纠正学生的錯误，从而加深对相关概念的学习，激发学生学习数学的兴趣.
例如，等可能是一种理想状态，是一种假设的情况，在日常学习中，学生常常对此产生误解，认为等可能就是在试验中每一种结果都有同样发生的机会. 教师可以在学生理解处于困惑并表现出强烈的求知欲时，及时引导学生建立不同的概率模型，从而加深对等可能概念的理解. 值得说明的是，并不是所有的概念错误都可以运用此决策，而应根据实际情况灵活处理学生存在的错误.
3. 注重现代信息技术手段的运用
现代信息技术的应用不仅可以将抽象问题具体化，而且能够有效节约时间，提高概念学习的效率. 在“概率与统计”课程的教学中，教师应以多媒体为辅助教学手段，通过动画模拟、图形显示等方式有效刺激学生的形象思维. 例如，在理解大量重复实验时频率稳定在概率这一事实时，需要花费大量的时间进行试验，因此，教师可以充分利用计算机中的随机数来模拟实验，让学生亲身体会到随机现象的思想，帮助学生理解大量重复实验时频率接近于概率这一知识.
4. 注重数学史料的结合应用
任何概念的产生都有其不同的过程，教师应在具体概念学习之前，讲述相关概念产生的背景、发展过程以及基本思想，充分利用史料降低数学概念学习的枯燥感，让学生体会相关概念是怎样形成的，从而激发学生学习数学的兴趣. 同时，应合理安排史料内容，避免过多过繁. 例如，在讲授概率概念时，笔者首先简述了概率产生的缘由，即1654年帕斯卡和费尔马解决赌注分配问题，讲述了概率论的奠基人以及概率论的生日（1654年7月29日）的来由. 通过这则史料的讲述，使学生在感受丰富的数学文化底蕴的基础上，对概率的理解更加深刻，并要求学生课后寻找相关概率的数学史料，在下节课前与其他同学分享.
总之，在高中数学概念教学中，务必以生为本，加强数学概念等基础知识的学习，通过教学反例、错误案例、现代信息技术、数学史料等途径减轻学生学习数学的负担，不断培养学生的数学思维. 只有这样，才能有效解决高中数学概念学习过程中的心理问题，才能提升高中数学的教学质量.
[关键词] 高中数学；概念教学；心理问题；成因对策
概念是大脑反映客观现实的一种高级形式，在任何一门学科的学习中，概念的学习至关重要，如果概念不清或理解错误，就会引起由概念推导的一系列性质和定理的错误，因此，对于概念掌握的熟练程度将直接影响到这门课程的学习效率. 在高中数学概念教学中，不仅有着十分丰富的概念，而且这些概念具有抽象和具体的双重性、逻辑联系性以及很高的概括性和系统性等特点，这种情况的存在，致使学生在相关概念的学习中常常表现为概念本质属性模糊，邻近概念的辨别常常混淆，难以将同一概念的不同表达方式灵活转换等等. 所以，在这种大背景下，研究高中数学概念学习过程中学生心理问题的成因与对策具有十分重要的意义.
高中数学概念学习过程中存在心理问题的原因
深入分析高中数学概念学习过程中学生存在的各种心理问题，其主要原因有以下几个方面：
一是教师灌输式教学. 在具体教学过程中，大多数教师仍然是按照自己的思路和方式进行，未能将现代辅助教学工具、数学史料等应用于课堂之中，在这种情况下，学生常常表现为茫然，未能真正理解相关概念的外延和内涵，致使学生对相关概念较为模糊，一遇概念的变式就不知所措. 以“概率”知识为例，由于概率这个概念较为抽象，加之教师灌输式教学，学生无法正确理解概率的深层次知识.
二是新旧数学概念之间缺乏有效的衔接. 当一些新的数学概念与学生原有的知识结构之间存在差异时，这些新的概念就会被无形地排斥或“校正”后吸收，因此，在具体学习过程中，做到新旧知识的有效衔接. 例如，频率是学生在初中阶段已经学习过的知识，随着试验的进展其统计值是不断变化的，在概率的学习过程中，大部分学生误认为频率就是概率，究其原因是对概率的认识缺乏有效的衔接.
三是学生自信心过高或者不足. 大部分学生普遍存在着眼高手低的现象，误认为数学概念较为简单，在数学概念的讲解中自我感觉良好，忽视数学概念的练习和巩固，重题型练习，轻数学概念学习的现象较为严重，致使学生在正常作业或考试中频繁出错.同时，也有一部分学生初中数学基础不够结实，一遇到文字冗长的数学题目时，难以抽象出数学语言，从而表现为一接触就产生畏难情绪，缺乏迎难而上和刻苦钻研的精神与意志. 例如，对于“某车站的公共汽车可能准时发车也可能延迟出车”这样的题目，由于“可能”一词的出现致使许多学生误认为该事件是可能事件.
高中数学概念学习过程中突破心理问题的途径和方法
1. 注重教学反例的应用
（1）构造反例，加深学生对基本概念的理解
纵观高中数学概念，均存在着抽象、难以理解等特点，如果在具体教学实践中，教师能够帮助学生构造出反例，使学生对概念所反映的对象有着较为具体的认识，这样一方面可以促使学生抓住概念的本质，另一方面也可以调动学生学习数学的积极性. 例如，在讲授“概率”这一概念时，由定义可知：在随机事件中，随着试验次数的不断增多，某事物发生的概率P（A）可以用这个试验次数来估算.于是，部分学生误认为试验次数越多，频率就越趋近于概率. 这时笔者进行投币试验，通过分析投币出现正面的次数，得出相应的频率，从而降低频率和概率之间的混淆程度，帮助学生加深对概率和频率概念的理解程度.
（2）构造反例，及时纠正学生错误
应用反例不仅可以让学生发现自己理解过程中的漏洞，而且也可以让学生在辨析错误的过程中不断总结，完善自己的知识结构，从而获得对相应概念的正确理解. 例如，学生对“古典概型”的题目常常出现错误，究其原因是学生往往凭借直觉和相关经验进行判断，未能从问题的实际情况出发去判断事件之间是否相互独立. 为了研究的方便，不妨列举一实例进行说明.
一个袋子中含有4个相同的盒子，其中一个盒子上标有X、Y、Z三个字母，另外三个盒子上分别标有X、Y、Z三个字母，并且事件A={取出的盒子为X}， B={取出的盒子为Y}，C={取出的盒子为Z}. 请判断事件A、B、C 是否独立？
解析：由题意可得P（A）=P（B）=P（C）= ；
P（AB）=P（BC）=P（AC）= ，
P（ABC）= ，
所以，P（AB）=P（A）P（B）；P（BC）=P（B）P（C）；P（AC）=P（A）P（C）.
但是P（ABC）= ≠P（A）P（B）P（C）=
因此，A、B、C两两之间相互独立，但A、B、C三者之间不相互独立.
若该题仅凭借直觉进行求证，则很难得出正确的判断，因此，在教学中应及时纠正由于直觉或经验产生的错误，回归问题本质，应用定义进行科学判断.
（3）构造反例，培养学生的发散性和创造性思维
在具体教学中，如果离开了严谨细致的思维，那么很难对题目做出正确的判断，因此，可以通过一个恰当而又巧妙的反例来培养学生思维的批判性、严谨性、发散性和创造性，达到辨析错误、内化知识的目的.
以投掷若干个硬币为例，令A={最多有一个反面}，B={既有正面，又有反面}，判断A、B是否独立？
解析：若投掷2枚硬币，则P（A）= ，P（B）= ，P（AB）= ，
因为P（A）P（B）= ≠P（AB）= ，
所以，事件A与B不相互独立.
若投掷3枚硬币，则P（A）= ，P（B）= ，P（AB）= ， 因为P（A）P（B）=P（AB）= ，
所以事件A与B相互独立.
2. 注重错误案例的运用
在教学中，我们常常会遇到这种情况：对于某一数学概念，即使在教师的多次解释和纠正后，学生还是难以达到相应的效果. 这时，教师应充分利用桑代克的试误学习理论，让学生在错误的思路中碰碰壁，在学生不知所措时教师应给予帮助，及时纠正学生的錯误，从而加深对相关概念的学习，激发学生学习数学的兴趣.
例如，等可能是一种理想状态，是一种假设的情况，在日常学习中，学生常常对此产生误解，认为等可能就是在试验中每一种结果都有同样发生的机会. 教师可以在学生理解处于困惑并表现出强烈的求知欲时，及时引导学生建立不同的概率模型，从而加深对等可能概念的理解. 值得说明的是，并不是所有的概念错误都可以运用此决策，而应根据实际情况灵活处理学生存在的错误.
3. 注重现代信息技术手段的运用
现代信息技术的应用不仅可以将抽象问题具体化，而且能够有效节约时间，提高概念学习的效率. 在“概率与统计”课程的教学中，教师应以多媒体为辅助教学手段，通过动画模拟、图形显示等方式有效刺激学生的形象思维. 例如，在理解大量重复实验时频率稳定在概率这一事实时，需要花费大量的时间进行试验，因此，教师可以充分利用计算机中的随机数来模拟实验，让学生亲身体会到随机现象的思想，帮助学生理解大量重复实验时频率接近于概率这一知识.
4. 注重数学史料的结合应用
任何概念的产生都有其不同的过程，教师应在具体概念学习之前，讲述相关概念产生的背景、发展过程以及基本思想，充分利用史料降低数学概念学习的枯燥感，让学生体会相关概念是怎样形成的，从而激发学生学习数学的兴趣. 同时，应合理安排史料内容，避免过多过繁. 例如，在讲授概率概念时，笔者首先简述了概率产生的缘由，即1654年帕斯卡和费尔马解决赌注分配问题，讲述了概率论的奠基人以及概率论的生日（1654年7月29日）的来由. 通过这则史料的讲述，使学生在感受丰富的数学文化底蕴的基础上，对概率的理解更加深刻，并要求学生课后寻找相关概率的数学史料，在下节课前与其他同学分享.
总之，在高中数学概念教学中，务必以生为本，加强数学概念等基础知识的学习，通过教学反例、错误案例、现代信息技术、数学史料等途径减轻学生学习数学的负担，不断培养学生的数学思维. 只有这样，才能有效解决高中数学概念学习过程中的心理问题，才能提升高中数学的教学质量.