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【摘要】小波分析是近年来发展起来的一门新兴数学学科，是时间一频率分析的一种新技术。随着小波理论的日益成熟，小波分析的应用领域也变得十分广泛。基于此，本文对小波分析在大地测量中的应用及其进展进行了研究。
【关键词】小波分析大地测量 应用进展
中图分类号： P258文献标识码：A 文章编号：
近几年来，一种被称为小波变换的数学理论和方法正在科学技术界引起一场轩然大波。小波变换综合了三角函数系与Haar 系两者的优点，用小波基来分解任意函数，它具有优良的“变焦”性能；小波分析是一个新的现代分析学如泛函分析、数值分析、Fourier分析、样条分析等的完善结晶，被誉称为“数学显微镜”，它是一种窗口大小不变但形状可变的时频局部化分析方法。小波变换能将各种交织在一起的不同频率的混合信号分解成不同频率的块信号，因而能有效地用于如信噪分离、编码解码、奇异性检测、压缩数据、识别模式以及将非线性问题线性化、非平稳过程平稳化等问题。
一、重力仪测试
重力仪测试的主要任务是：测试重力仪的各项性能指标并提出合理的改正或补偿公式，必要时可为仪器进一步校正提供正确的数据依据。仪器测试是一项具有试验性质的测量，其主要手段是在某一给定的设计环境下获取试验数据，通过加工分析数据以达到仪器测试的目的。目前仪器测试中存在的主要问题是：仪器各项性能的测试指标远高于实际性能指标，改正公式难以正确合理地给出，甚至改正公式的物理意义也被歪曲，如非线性、周期误差等的改正公式不正确导致重力仪的实际精度比试验时低得多。造成这种情况的原因很大程度上是由于试验数据的获取方案与分析未能反映测试仪器的真实性能。试验数据是一种随时问或空间变化的信号，而仪器测试就是研究试验信号的构成及其特征，仪器测试数据分析的主要手段是信号分析，故小波分析完全适合重力仪的测试数据分析。小波分解可以表达非线性或更复杂的仪器读数运行方式，因而建立的改正模型可以是任意复杂的形式，小波滤波具有强去噪能力，试验信号的提取是本质充分的，故对试验环境下改正模型及仪器性能指标的确定准确可靠。测定重力仪的周期误差就是确定频谱，小波谱是完全局部化的，理论上可抑制混频现象，准确可靠，优于Fourier谱。它的估计具有强的抗差能力，不受该谱所在时频窗外试验信號的测量误差影响，因而小波谱计算仪器读数的周期误差较Fourier谱方法准确可靠。仪器读数的稳定性是重力仪性能的重要指标。小波分析能用来检测仪器读数系统的不正常行为，小波分析的奇异点定位及奇异度大小的测定功能可分析仪器在读数系统上的时间或空问的不稳定时刻或位置，测定其不稳定程度如何。用小波分析方法分析测试数据时，测试数据的长度不宜太短。
二、建立小波重力模型
地面上的重力测量都是在离散点上进行的，且不同区域的重力点密度分布不均匀。内插与推估是由离散点数据获得地面上任一点数据的基本方法，其实质是运用滤波方法建立反映离散点数据空间相关关系的最佳模型，运用模型求得任一点的估值。重力异常是地球物理及重力场研究中的重要物理量。最小二乘内插与推估重力异常是以重力异常协方差为唯一依据，而重力异常协方差是人为定义的，不可能全面反映不同重力点重力异常的空间相关性。此外，由于重力异常是由重力观测值减去该点的正常重力值求得的，而正常重力是由人为确定的椭球基准计算的，因此点与点之间重力异常的局部空间相关性受椭球基准影响而被消弱，不如其重力观测值的空间相关性更能反映重力的实际变化。总之，人为定义协方差和将重力观测值转化为重力异常，都会消弱重力点之间的空间相关性。众所周知，重力点的空间相关性表现在不同点空间数据的变化之中，其强弱与否，是否反映实际直接关系到内插与推估的精度。这说明用最小二乘法内插与推估未知点的重力异常比将空间相关性隐蔽在重力观测值的变化之中而先内插与推估未知点的重力值再求得该点的重力异常的精度低。在地球物理勘探中，研究地壳运动规律或资源引起重力变化的机制时都需要研究表层空间的重力变化特征。因而建立地球表层空间小波重力模型对大地测量及地球物理有关问题的研究都是十分重要的。而小波基能用线性方法展开表层空间重力，从而表达任意复杂的空间相关性。小波变换的时频局部化分析方法使得表层空问小波重力模型具有一系列优越的性能，如局部误差抑制能力，有较准确的谱性能，能表达任意复杂的空间相关性等，能将空间任意点重力之间的任意复杂程度的相关系数用小波基展开而作线性化处理因而能很好地表达非线性、非平稳等复杂的空间重力相关关系，从而克服了最小二乘内插与推估中须人为给定模型的形式及定义协方差的重大缺陷等等，因此表层空间小波重力模型本质地反映了表层空间的全部有用信息，因而推估准确可靠。此外，运用模型的奇异性检测和多分辨分析的功能可以分析局部地形对重力的影响和地球浅层密度不均匀分布的存在性等信息。显然，表层空间小波重力模型可很好用于地形改正。
三、地球引力场的小波系数展开
地球引力场的小波系数即位函数的小波变换，因此求引力场小波系数的关键是求大地测量边值问题解的小波变换。我们知道，小波变换的实质是积分变换，而积分变换法可用来求解大地测量边值问题，有两个方案：
1、用小波变换法直接求解大地测量边值问题，所得解的小波变换即是位函数的小波系数。
2、用Fourier变换法求解重力场的边值问题，利用小波变换与Fourier变换之间的关系求得解的小波变换即位函数的小波系数。
引力场用小波系数展开，就可利用多分辨分析方法来分析引力场在不同尺度下的结构和性质，利用小波变换的奇异性检测功能来确定重力异常源的分布及异常程度如何，利用小波变换的空频局部化分析方法分析重力场的空间域及频率域的精细结构，从而提高重力场理论在地球物理及卫星大地测量学中的地位和作用。将引力场按小波系数展开有可能进一步提高重力场理论及其与地球物理及空间科学相关理论分析和解决问题的能力。此外，将引力场用小波系数展开可以大幅度提高重力场的分辨率，至于能达到多高的分辨率应以最高分辨率的重力场不失真为原则。
四、小波分析在大地测量领域应用展望
小波变换是小波分析的一个方面，并作为一种新兴的数学分析和数值计算工具，在地球物理和大地测量领域的应用尚处于探索阶段，其应用价值需进一步拓展。在小波变换的数学理论已基本完善的今天，人们对小波的认识也已经过了那种盲目推宠的“炙热期”，更多的是扎实实地寻求小波理论与本学科的结合点，以期充分发挥小波分析统一性、局部性的特点，使其能在专业研究和分析中担当重要的角色。在地球物理中，地震信号是地球物理资料的主要来源，根据小波变换的多尺度分析原理，可把地震信号分成不同的通道和频率来分析，进行数字滤波、数据压缩、边缘检测等方面。并可将分解的数据来进行地震反演，提高层析成像分辨率，小波变换的应用将进一步拓展。在大地测量领域，建立合适的地球重力场模型还有很大的一部分工作可做，理论上需进一步完善，使其能更好地应用到实际生产中去。大地测量中的仪器检测、卫星信号、固体潮、地壳变形运动、电离层与大气层的变化以及构造应力场等都能够视为时间和空间变化的信号，小波分析可以从信噪比低的信号中放大信号，突出局部特性的优势将发挥越来越大的作用。
总结
小波分析是一种新的数学分析和信号处理工具，可以对非稳态信号进行详细的时频分析，是传统的傅里叶分析所不能及的，已广泛的应用于许多大地测量领域中，并有很大的应用前景。
参考文献
[1]林京，屈梁生。《基于连续小波变换的奇异性检测和故障诊断[J]》振动工程学报，2000，13(4)：523— 530．
[2]詹金刚，王勇，柳林涛。中国近海海平面季节尺度变化的时频分析[J]．地球物理学报，2003，46(1)：53～57．
[3]郑作亚。基于小波分析理论的GPS动态监测数据处理及分析(硕士论文)[D]．泰安：山东科技大学，2002
【关键词】小波分析大地测量 应用进展
中图分类号： P258文献标识码：A 文章编号：
近几年来，一种被称为小波变换的数学理论和方法正在科学技术界引起一场轩然大波。小波变换综合了三角函数系与Haar 系两者的优点，用小波基来分解任意函数，它具有优良的“变焦”性能；小波分析是一个新的现代分析学如泛函分析、数值分析、Fourier分析、样条分析等的完善结晶，被誉称为“数学显微镜”，它是一种窗口大小不变但形状可变的时频局部化分析方法。小波变换能将各种交织在一起的不同频率的混合信号分解成不同频率的块信号，因而能有效地用于如信噪分离、编码解码、奇异性检测、压缩数据、识别模式以及将非线性问题线性化、非平稳过程平稳化等问题。
一、重力仪测试
重力仪测试的主要任务是：测试重力仪的各项性能指标并提出合理的改正或补偿公式，必要时可为仪器进一步校正提供正确的数据依据。仪器测试是一项具有试验性质的测量，其主要手段是在某一给定的设计环境下获取试验数据，通过加工分析数据以达到仪器测试的目的。目前仪器测试中存在的主要问题是：仪器各项性能的测试指标远高于实际性能指标，改正公式难以正确合理地给出，甚至改正公式的物理意义也被歪曲，如非线性、周期误差等的改正公式不正确导致重力仪的实际精度比试验时低得多。造成这种情况的原因很大程度上是由于试验数据的获取方案与分析未能反映测试仪器的真实性能。试验数据是一种随时问或空间变化的信号，而仪器测试就是研究试验信号的构成及其特征，仪器测试数据分析的主要手段是信号分析，故小波分析完全适合重力仪的测试数据分析。小波分解可以表达非线性或更复杂的仪器读数运行方式，因而建立的改正模型可以是任意复杂的形式，小波滤波具有强去噪能力，试验信号的提取是本质充分的，故对试验环境下改正模型及仪器性能指标的确定准确可靠。测定重力仪的周期误差就是确定频谱，小波谱是完全局部化的，理论上可抑制混频现象，准确可靠，优于Fourier谱。它的估计具有强的抗差能力，不受该谱所在时频窗外试验信號的测量误差影响，因而小波谱计算仪器读数的周期误差较Fourier谱方法准确可靠。仪器读数的稳定性是重力仪性能的重要指标。小波分析能用来检测仪器读数系统的不正常行为，小波分析的奇异点定位及奇异度大小的测定功能可分析仪器在读数系统上的时间或空问的不稳定时刻或位置，测定其不稳定程度如何。用小波分析方法分析测试数据时，测试数据的长度不宜太短。
二、建立小波重力模型
地面上的重力测量都是在离散点上进行的，且不同区域的重力点密度分布不均匀。内插与推估是由离散点数据获得地面上任一点数据的基本方法，其实质是运用滤波方法建立反映离散点数据空间相关关系的最佳模型，运用模型求得任一点的估值。重力异常是地球物理及重力场研究中的重要物理量。最小二乘内插与推估重力异常是以重力异常协方差为唯一依据，而重力异常协方差是人为定义的，不可能全面反映不同重力点重力异常的空间相关性。此外，由于重力异常是由重力观测值减去该点的正常重力值求得的，而正常重力是由人为确定的椭球基准计算的，因此点与点之间重力异常的局部空间相关性受椭球基准影响而被消弱，不如其重力观测值的空间相关性更能反映重力的实际变化。总之，人为定义协方差和将重力观测值转化为重力异常，都会消弱重力点之间的空间相关性。众所周知，重力点的空间相关性表现在不同点空间数据的变化之中，其强弱与否，是否反映实际直接关系到内插与推估的精度。这说明用最小二乘法内插与推估未知点的重力异常比将空间相关性隐蔽在重力观测值的变化之中而先内插与推估未知点的重力值再求得该点的重力异常的精度低。在地球物理勘探中，研究地壳运动规律或资源引起重力变化的机制时都需要研究表层空间的重力变化特征。因而建立地球表层空间小波重力模型对大地测量及地球物理有关问题的研究都是十分重要的。而小波基能用线性方法展开表层空间重力，从而表达任意复杂的空间相关性。小波变换的时频局部化分析方法使得表层空问小波重力模型具有一系列优越的性能，如局部误差抑制能力，有较准确的谱性能，能表达任意复杂的空间相关性等，能将空间任意点重力之间的任意复杂程度的相关系数用小波基展开而作线性化处理因而能很好地表达非线性、非平稳等复杂的空间重力相关关系，从而克服了最小二乘内插与推估中须人为给定模型的形式及定义协方差的重大缺陷等等，因此表层空间小波重力模型本质地反映了表层空间的全部有用信息，因而推估准确可靠。此外，运用模型的奇异性检测和多分辨分析的功能可以分析局部地形对重力的影响和地球浅层密度不均匀分布的存在性等信息。显然，表层空间小波重力模型可很好用于地形改正。
三、地球引力场的小波系数展开
地球引力场的小波系数即位函数的小波变换，因此求引力场小波系数的关键是求大地测量边值问题解的小波变换。我们知道，小波变换的实质是积分变换，而积分变换法可用来求解大地测量边值问题，有两个方案：
1、用小波变换法直接求解大地测量边值问题，所得解的小波变换即是位函数的小波系数。
2、用Fourier变换法求解重力场的边值问题，利用小波变换与Fourier变换之间的关系求得解的小波变换即位函数的小波系数。
引力场用小波系数展开，就可利用多分辨分析方法来分析引力场在不同尺度下的结构和性质，利用小波变换的奇异性检测功能来确定重力异常源的分布及异常程度如何，利用小波变换的空频局部化分析方法分析重力场的空间域及频率域的精细结构，从而提高重力场理论在地球物理及卫星大地测量学中的地位和作用。将引力场按小波系数展开有可能进一步提高重力场理论及其与地球物理及空间科学相关理论分析和解决问题的能力。此外，将引力场用小波系数展开可以大幅度提高重力场的分辨率，至于能达到多高的分辨率应以最高分辨率的重力场不失真为原则。
四、小波分析在大地测量领域应用展望
小波变换是小波分析的一个方面，并作为一种新兴的数学分析和数值计算工具，在地球物理和大地测量领域的应用尚处于探索阶段，其应用价值需进一步拓展。在小波变换的数学理论已基本完善的今天，人们对小波的认识也已经过了那种盲目推宠的“炙热期”，更多的是扎实实地寻求小波理论与本学科的结合点，以期充分发挥小波分析统一性、局部性的特点，使其能在专业研究和分析中担当重要的角色。在地球物理中，地震信号是地球物理资料的主要来源，根据小波变换的多尺度分析原理，可把地震信号分成不同的通道和频率来分析，进行数字滤波、数据压缩、边缘检测等方面。并可将分解的数据来进行地震反演，提高层析成像分辨率，小波变换的应用将进一步拓展。在大地测量领域，建立合适的地球重力场模型还有很大的一部分工作可做，理论上需进一步完善，使其能更好地应用到实际生产中去。大地测量中的仪器检测、卫星信号、固体潮、地壳变形运动、电离层与大气层的变化以及构造应力场等都能够视为时间和空间变化的信号，小波分析可以从信噪比低的信号中放大信号，突出局部特性的优势将发挥越来越大的作用。
总结
小波分析是一种新的数学分析和信号处理工具，可以对非稳态信号进行详细的时频分析，是传统的傅里叶分析所不能及的，已广泛的应用于许多大地测量领域中，并有很大的应用前景。
参考文献
[1]林京，屈梁生。《基于连续小波变换的奇异性检测和故障诊断[J]》振动工程学报，2000，13(4)：523— 530．
[2]詹金刚，王勇，柳林涛。中国近海海平面季节尺度变化的时频分析[J]．地球物理学报，2003，46(1)：53～57．
[3]郑作亚。基于小波分析理论的GPS动态监测数据处理及分析(硕士论文)[D]．泰安：山东科技大学，2002