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[摘 要] 随着当前教育改革的深化、学习资源的日益丰富，作为一线教育工作者需要找寻到有效教学的起点，准确定位学生的最近发展区进行针对性教学，以保证课堂教学的有效性. 文章通过对典型案例的分析，细化得出有效教学的起点，给出提升数学课堂教学有效性的建议.
[关键词] 数学课堂;起点;有效性
如何促进学生的可持续发展是当前教育改革的热点问题之一，为了更好地将学习价值从工具性转移到发展性上来，需要不断改变传统教学方式，从学习者的视角探索学习路径，可以看出任何一种知识和技能的学习都是以原有知识经验为基础的. 鉴于以上的认识，作为一线数学教师，我们应找寻到有效教学的起点，准确定位学生的最近发展区进行针对性教学，才能保证课堂教学的有效性. 下面与大家分享从自身教学实践中细化出来的有效教学的起点，它们具有可操作性，希望通过与广大教师的深度交流，相互启发.
[?] 立足已有经验，定位有效教学的现实起点
教学起点的定位，也就是教学目标的立足点. 数学教学中，教学起点的定位，需要立足学生的已有经验，以此来定位有效教学的现实起点，创设有效问题情境，关注“新起点”的生成，唤醒学生的已有认知记忆，为构建实效课堂奠定良好的基础.
案例1：直线的斜率.
师：大家看，从这个图形中（一次函数的图像），你看出了什么？（教师板演，学生独立思考、积极联想、主动讨论，教师适时点拨后，很快得出了一致性意见）
生：一次函数的图像.
师：那又是一次函数中的哪一种呢？此处可以说明什么问题？
生：两点确定一条直线.
师：除此之外可有其他确定直线的方法？（学生七嘴八舌地展开讨论）
师（拾级而上）：你们玩过跷跷板吗？假如将跷跷板视为一条直线，在两个人玩的过程中，会产生一系列直线，这些直线有何共同点？（PPT演示）
生1：这些直线都过同一点.
师：非常好. 这些直线的方向各不相同，若明确其方向，是否就能确定直线呢？
生：对.
师：数学上，點可用坐标表示，方向又该如何表示呢？下面大家一起来看，这是斜拉桥的场景，上面的拉索我们将它视为方向不同的直线系，对桥面而言，就是倾斜度不同罢了. 那么直线的倾斜度该如何表示呢？（PPT演示，学生又一次探讨）
生2：倾斜度与“高度与长度之比”有关，称为坡度.
师：坡度又该如何确定呢？任意给出2条直线，是否可以判断出它们的倾斜度？
生3：将其放在直角坐标系中研究应该更容易得出结论.
师：非常好的建议，以代数法探究几何问题是解析几何的基本思想. 以直线AB为例，若给出两点，可否以坐标来表示其倾斜度？
生4：倾斜度=.
师：这个倾斜度也就是直线的斜率. （教师板书，引出课题）
设计说明：为了能够让学生获得切实的体验，必须要从学生的认知经验出发，贴近学生的基础，从实际认知水平着手来设计教学. 以上案例中，教师首先立足于学生的认知经验展开教学，激起学生的探究欲望;接着，以学生生活中常见的“斜拉桥”问题为载体，直击课题，揭示新知的本质属性. 以上知识背景的挖掘为本节课的探究活动做足知识准备，为学生的学习营造了良好的氛围[1].
[?] 把握知识水平，定位有效教学的逻辑起点
在不少教学设计中，教师已经开始关注学生的已有经验，但却对已有的知识水平估计不足，认为学生对新知的了解是“一张白纸”，实则并非如此. “倘若想将学生引入一个地方，首先需要知道此刻他们身在何处.”故由此可以判定一点，学生的知识水平直接影响着教学的质量. 因此，教师在组织教学的过程中，需要有效地把握学生的已有知识水平，找寻新旧知识的联结点，关注新知的生长点，灵活调控教学过程，从而定位有效教学的逻辑起点，帮助学生实现认知迁移.
案例2：曲线的参数方程.
师：你们一定去过很多次游乐场，对游乐场中的摩天轮大家想必印象深刻吧！
生：嗯！
师：下面请听题：如图1，已知一半径是60米的摩天轮正以弧度/秒的角速度，沿着逆时针方向做匀速旋转. 此时一游客兰兰正在点P处，再经过t秒，兰兰到了什么位置？
师：这道题该如何解决？下面给大家一点时间进行探讨. （学生展开火热的讨论）
生1：设再经过t秒，兰兰到了点P（x，y）的位置，则有x=60cos
，
y=60sin
（t是参数）.
师：生1完成了关系式的建构，从该关系式中，对于不同的时间t兰兰有不同的位置，那是否会形成一个轨迹呢？
生2：会，轨迹是圆，方程为x2+y2=3600.
师：那以上关系式是否可以作为圆的方程？
生3：可以，通过曲线方程的定义则可以进行阐释.
师：非常好！圆的方程有标准式和一般式，该方程属于哪一种呢？谁能试着为其命名呢？
生4：时间参与了变化过程，即可称之为参数方程.
师：很棒！下面我们就一起来研究有关参数方程的一些问题……（板书课题）
设计说明：教材内容直接以静态的方式呈现出来，倘若教师根据教材机械处理，则会导致学生的思维无实质性提升. 以上案例中，教师立足于学生的已有知识，他们对“曲线方程的概念”“求曲线方程的方法”以及“常见曲线方程的几何性质”有了一定的认识和体会，以此为依托激活学生的认知起点，使其在已有知识基础上构建新知，成功建构曲线参数方程的概念[2]. 整个教学流程中，教师并无重复性起点教学，学生也是水到渠成地进行知识的自主构建，实现有效教学. [?] 捕捉思维困惑，构建有效数学课堂
学生都是一个个活生生的个体，可能生成各种各样的思维困惑. 因此，在课堂中教师不仅需要综合学生的已有经验和知识水平，还需在准确分析教材内容的基础上全面分析逻辑起点和现实起点，以求及时捕捉学生的思维困惑，力求建立非直线性的、多层次性的教学路径，构建有效数学课堂.
案例3：等差数列问题的问题评析.
问题：已知等差数列{a}和{b}中，S和T分别为其前n项的和，若=，试求出的值.
师：请各位同学尝试从不同角度着手思考，比一比谁的解法又好又多.
生1：由=，可设S=4n+3，T=2n+5，则a=S-S=4×8+3-（4×7+3）=4，b=T-T=2×8+5-（2×7+5）=2，可得=2.
生2：由=，可设S=k（4n+3），T=k（2n+5），则a=S-S=k（4×8+3）-k（4×7+3）=4k，b=T-T=k（2×8+5）-k（2×7+5）=2k，可得==2.
师：两名同学的解法尽管各不相同，然而结论却相同，二人的解法是否正确？
生3：生1的結论虽然正确，但是解法却不对，由“=”并不能得出“S=4n+3，T=2n+5”，只能得出“S=k（4n+3），T=k（2n+5）”，我认为生2的解法是正确的.
师：生3认为生2的解法是正确的，而生1是错误的，其他人也看法一致吗？
生4：我觉得他们的解法都不正确. 若设S=k（4n+3），T=k（2n+5），可得数列{a}和{b}的前n项和是n的一次式，若等差数列不是常数列，其前n项和S是一个形如an2+bn的二次式，所以应设S=kn（4n+3），T=kn（2n+5），可得a=S-S=k·8（4×8+3）-k·7（4×7+3）=63k，b=T-T=k·8（2×8+5）-k·7（2×7+5）=35k，可得=.
师：很棒！生4不仅指出了以上两名同学的错误，还给出了正确解法. 生1和生2或多或少因为对等差数列前n项和的特征认识偏差而导致错误. 那该问题是否还有其他解法？请大家分组讨论……
设计说明：以上案例中，教师以一个典型问题为载体，引发学生的火热讨论，激起学生的思维火花，引发深层次的争辩，进而生成更加深刻的理解和认识. 从课堂效果来看，这样别具匠心的设计收到了显著的教学效果，学生在讨论中碰撞，在辩论中交锋，在认知冲突中省悟，不仅解决了矛盾，还加深了对知识的理解，提升了学生的能力.
总之，数学教学需从学生的学习基础出发，从最近发展区理论确定教学起点，把握好学生的认知起点，为学生构造较高的认知平台，支撑起较大的探究空间，才能让学生超越起点，从而保证课堂教学的有效性.
参考文献：
[1] 孙洁，周兴苗. 聚焦学习起点 发展空间观念——《圆锥体积练习课》教学实践与反思[J]. 数学教学通讯，2016（06）.
[2] 林锦. 从“因需而设”到“以学定教”的理念渗透——小学数学“图形与几何”前置性作业的设计[J].新教师，2019，85（01）.
[关键词] 数学课堂;起点;有效性
如何促进学生的可持续发展是当前教育改革的热点问题之一，为了更好地将学习价值从工具性转移到发展性上来，需要不断改变传统教学方式，从学习者的视角探索学习路径，可以看出任何一种知识和技能的学习都是以原有知识经验为基础的. 鉴于以上的认识，作为一线数学教师，我们应找寻到有效教学的起点，准确定位学生的最近发展区进行针对性教学，才能保证课堂教学的有效性. 下面与大家分享从自身教学实践中细化出来的有效教学的起点，它们具有可操作性，希望通过与广大教师的深度交流，相互启发.
[?] 立足已有经验，定位有效教学的现实起点
教学起点的定位，也就是教学目标的立足点. 数学教学中，教学起点的定位，需要立足学生的已有经验，以此来定位有效教学的现实起点，创设有效问题情境，关注“新起点”的生成，唤醒学生的已有认知记忆，为构建实效课堂奠定良好的基础.
案例1：直线的斜率.
师：大家看，从这个图形中（一次函数的图像），你看出了什么？（教师板演，学生独立思考、积极联想、主动讨论，教师适时点拨后，很快得出了一致性意见）
生：一次函数的图像.
师：那又是一次函数中的哪一种呢？此处可以说明什么问题？
生：两点确定一条直线.
师：除此之外可有其他确定直线的方法？（学生七嘴八舌地展开讨论）
师（拾级而上）：你们玩过跷跷板吗？假如将跷跷板视为一条直线，在两个人玩的过程中，会产生一系列直线，这些直线有何共同点？（PPT演示）
生1：这些直线都过同一点.
师：非常好. 这些直线的方向各不相同，若明确其方向，是否就能确定直线呢？
生：对.
师：数学上，點可用坐标表示，方向又该如何表示呢？下面大家一起来看，这是斜拉桥的场景，上面的拉索我们将它视为方向不同的直线系，对桥面而言，就是倾斜度不同罢了. 那么直线的倾斜度该如何表示呢？（PPT演示，学生又一次探讨）
生2：倾斜度与“高度与长度之比”有关，称为坡度.
师：坡度又该如何确定呢？任意给出2条直线，是否可以判断出它们的倾斜度？
生3：将其放在直角坐标系中研究应该更容易得出结论.
师：非常好的建议，以代数法探究几何问题是解析几何的基本思想. 以直线AB为例，若给出两点，可否以坐标来表示其倾斜度？
生4：倾斜度=.
师：这个倾斜度也就是直线的斜率. （教师板书，引出课题）
设计说明：为了能够让学生获得切实的体验，必须要从学生的认知经验出发，贴近学生的基础，从实际认知水平着手来设计教学. 以上案例中，教师首先立足于学生的认知经验展开教学，激起学生的探究欲望;接着，以学生生活中常见的“斜拉桥”问题为载体，直击课题，揭示新知的本质属性. 以上知识背景的挖掘为本节课的探究活动做足知识准备，为学生的学习营造了良好的氛围[1].
[?] 把握知识水平，定位有效教学的逻辑起点
在不少教学设计中，教师已经开始关注学生的已有经验，但却对已有的知识水平估计不足，认为学生对新知的了解是“一张白纸”，实则并非如此. “倘若想将学生引入一个地方，首先需要知道此刻他们身在何处.”故由此可以判定一点，学生的知识水平直接影响着教学的质量. 因此，教师在组织教学的过程中，需要有效地把握学生的已有知识水平，找寻新旧知识的联结点，关注新知的生长点，灵活调控教学过程，从而定位有效教学的逻辑起点，帮助学生实现认知迁移.
案例2：曲线的参数方程.
师：你们一定去过很多次游乐场，对游乐场中的摩天轮大家想必印象深刻吧！
生：嗯！
师：下面请听题：如图1，已知一半径是60米的摩天轮正以弧度/秒的角速度，沿着逆时针方向做匀速旋转. 此时一游客兰兰正在点P处，再经过t秒，兰兰到了什么位置？
师：这道题该如何解决？下面给大家一点时间进行探讨. （学生展开火热的讨论）
生1：设再经过t秒，兰兰到了点P（x，y）的位置，则有x=60cos
，
y=60sin
（t是参数）.
师：生1完成了关系式的建构，从该关系式中，对于不同的时间t兰兰有不同的位置，那是否会形成一个轨迹呢？
生2：会，轨迹是圆，方程为x2+y2=3600.
师：那以上关系式是否可以作为圆的方程？
生3：可以，通过曲线方程的定义则可以进行阐释.
师：非常好！圆的方程有标准式和一般式，该方程属于哪一种呢？谁能试着为其命名呢？
生4：时间参与了变化过程，即可称之为参数方程.
师：很棒！下面我们就一起来研究有关参数方程的一些问题……（板书课题）
设计说明：教材内容直接以静态的方式呈现出来，倘若教师根据教材机械处理，则会导致学生的思维无实质性提升. 以上案例中，教师立足于学生的已有知识，他们对“曲线方程的概念”“求曲线方程的方法”以及“常见曲线方程的几何性质”有了一定的认识和体会，以此为依托激活学生的认知起点，使其在已有知识基础上构建新知，成功建构曲线参数方程的概念[2]. 整个教学流程中，教师并无重复性起点教学，学生也是水到渠成地进行知识的自主构建，实现有效教学. [?] 捕捉思维困惑，构建有效数学课堂
学生都是一个个活生生的个体，可能生成各种各样的思维困惑. 因此，在课堂中教师不仅需要综合学生的已有经验和知识水平，还需在准确分析教材内容的基础上全面分析逻辑起点和现实起点，以求及时捕捉学生的思维困惑，力求建立非直线性的、多层次性的教学路径，构建有效数学课堂.
案例3：等差数列问题的问题评析.
问题：已知等差数列{a}和{b}中，S和T分别为其前n项的和，若=，试求出的值.
师：请各位同学尝试从不同角度着手思考，比一比谁的解法又好又多.
生1：由=，可设S=4n+3，T=2n+5，则a=S-S=4×8+3-（4×7+3）=4，b=T-T=2×8+5-（2×7+5）=2，可得=2.
生2：由=，可设S=k（4n+3），T=k（2n+5），则a=S-S=k（4×8+3）-k（4×7+3）=4k，b=T-T=k（2×8+5）-k（2×7+5）=2k，可得==2.
师：两名同学的解法尽管各不相同，然而结论却相同，二人的解法是否正确？
生3：生1的結论虽然正确，但是解法却不对，由“=”并不能得出“S=4n+3，T=2n+5”，只能得出“S=k（4n+3），T=k（2n+5）”，我认为生2的解法是正确的.
师：生3认为生2的解法是正确的，而生1是错误的，其他人也看法一致吗？
生4：我觉得他们的解法都不正确. 若设S=k（4n+3），T=k（2n+5），可得数列{a}和{b}的前n项和是n的一次式，若等差数列不是常数列，其前n项和S是一个形如an2+bn的二次式，所以应设S=kn（4n+3），T=kn（2n+5），可得a=S-S=k·8（4×8+3）-k·7（4×7+3）=63k，b=T-T=k·8（2×8+5）-k·7（2×7+5）=35k，可得=.
师：很棒！生4不仅指出了以上两名同学的错误，还给出了正确解法. 生1和生2或多或少因为对等差数列前n项和的特征认识偏差而导致错误. 那该问题是否还有其他解法？请大家分组讨论……
设计说明：以上案例中，教师以一个典型问题为载体，引发学生的火热讨论，激起学生的思维火花，引发深层次的争辩，进而生成更加深刻的理解和认识. 从课堂效果来看，这样别具匠心的设计收到了显著的教学效果，学生在讨论中碰撞，在辩论中交锋，在认知冲突中省悟，不仅解决了矛盾，还加深了对知识的理解，提升了学生的能力.
总之，数学教学需从学生的学习基础出发，从最近发展区理论确定教学起点，把握好学生的认知起点，为学生构造较高的认知平台，支撑起较大的探究空间，才能让学生超越起点，从而保证课堂教学的有效性.
参考文献：
[1] 孙洁，周兴苗. 聚焦学习起点 发展空间观念——《圆锥体积练习课》教学实践与反思[J]. 数学教学通讯，2016（06）.
[2] 林锦. 从“因需而设”到“以学定教”的理念渗透——小学数学“图形与几何”前置性作业的设计[J].新教师，2019，85（01）.