如何讲解不定积分

• 作 者: 杜先云 任秋道
• 出 处: 数学学习与研究
• 发表日期: 2021年1期
• 关键词: 导数 微分 不定积分

　　【摘要】函数的不定积分是与函数导数（微分）相反的问题，本文给出了利用导数（微分）来计算不定积分的方法，同时推广了不定积分的基本公式.
　　【关键词】导数;微分;不定积分
　　【基金项目】四川省教育厅基金资助（16ZB0314）
　　一、引 入
　　许多实际问题需要解决与求导问题相反的问题，即已知某个函数的导数来求这个函数，也就是求一个可导函数，使它的导函数等于已知函数.由此引出了原函数和不定积分的概念.反的问题比正的问题更加难于理解.例如，学生理解反函数就比较困难.不定积分比导数更难理解，不易入门，为此笔者归纳总结了如下内容.
　　二、不定积分的概念
　　定义1 设f（x）是定义在区间I上的一个函数.如果存在区间I上的一个可导函数F（x），使得对任意的x∈I均有
　　F′（x）=f（x），或dF（x）=f（x）dx，
　　那么函数F（x）称为f（x）（或f（x）dx）在区间I上的一个原函数.也就是说，一个函数的导数等于已知函数，这个函数就是已知函数的原函数.
　　原函数的存在问题 如果f（x）在某区间I上连续，那么f（x）在该区间上一定有原函数，即一定存在区间I上的可导函数F（x），使得任意x∈I，都有
　　F′（x）=f（x），或dF（x）=f（x）dx.
　　原函数的一般表达形式 如果f（x）一旦存在原函数，它的原函数就不唯一，那么这些原函数之间有什么差异呢？能否写成统一的表达式呢？对此，有如下结论：
　　定理1 若函数F（x）是f（x）的一个原函数，则F（x） C是f（x）的全部原函数，其中C为任意常数.
　　证明 若f（x）有一个原函数F（x），则有F′（x）=f（x），且对于任意常数C，
　　[F（x） C]′=F′（x） C′=f（x） （x∈I），
　　即函數F（x） C也是f（x）的原函数.也就是说，如果f（x）有一个原函数F（x），那么就有无穷多个原函数.
　　另一方面，设G（x）是f（x）的另一个原函数，即G′（x）=f（x），下面证F（x）与G（x）之间只相差一个常数.事实上，由于
　　[F（x）-G（x）]′=F′（x）-G′（x）=f（x）-f（x）=0 （x∈I），
　　根据拉格朗日中值定理的推论：在一个区间上导数恒为零的函数为常数，
　　所以
　　F（x）-G（x）=C0（C0为某一个常数），
　　或者G（x）=F（x） C0.
　　因此，对于任意常数C，表达式F（x） C
　　就可以表示f（x）的任何一个原函数.
　　f（x）的全体原函数所构成的集合是一个函数族，记为
　　{F（x） C|-∞