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数学教学是教师思维与学生思维相互沟通的过程，教师主导作用的效果应以学生主体功能的发挥是否充分来衡量。教师的“启”要具科学性和艺术性，才能激发学生思维的“火花”。启发式教学是传统教学方法落实素质教育的重要途径。如何在课堂45分钟做到“启”而能“发”，是众多数学教师孜孜以求的教学目标。
一、轻松课堂
心理快乐能使人处于积极向上的状态，而启动主体的思维，前提是积极营造一个愉快、合作、民主的课堂氛围，首先，教师应保持一个好的心情，面带微笑的走进课堂，从语言、图象等多方位让学生轻松体验到数学的快乐和数学的美。如遨游在神奇的数字三角形（杨辉三角）中进一步探究排列组合；在欣赏古诗词《浮屠增级歌》：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增。共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”中进入《数列》的启蒙；在实验《沙漏的均匀摆动》里接触了婀娜的正弦函数曲线；隶莫弗由美妙的帕斯卡三角形设计了老鼠钻洞的实验，才有了今天概率统计中重要的正态分布……数学与快乐和美的紧密联系，才会引发心灵的愉悦，才能启发积极的思维。
二、形象语言
语言是思维的载体，一名优秀的数学教师应该是运用语言的巧匠。笔者在教学实践中体会到，在学习某些数学概念时，恰如其分地运用生动活泼、喜闻乐见的口语讲解数学。可使讲课变得风趣，并能创造出一种有利于学生学习的轻松气氛，调动了学生的运动参与意识。
案例1：
在讲解y=tanx，x∈（ ）的图像中解析渐近线时，我把x= ，x= 比喻成两根无限延伸的“电线”，y=tanx图像被“囚禁”其中无论上下如何延伸但不能“触电”。根据周期性和同学们的积极想象，在整个y=tanx的图像中，这样的“电线”还有多少？写出来，（即x≠ ，k∈Z）在数学中称这种与y=tanx图像无限相近但又不能相触的“电线”为渐进线。接着提问：
能写出与y=tan（x ）永远不会相交的直线吗？（或：能写出y=tan（x ）的渐进线吗？或：能求出y=tan（x ）的定义域吗？）
案例2：
在映射与函数的教学中，我并没有按照常规在黑板上画出A集合，给出对应法则f，B集合，介绍它们之间的对应关系和映射、函数的定义。为辅助这节课，对抽象、烦琐、易混淆的概念具体化，我设计了一个类似于生活中材料加工图的幻灯片。图有三大部分：主体为“对应法则”的加工机器，用f代替，机器上方有一进料口（a）右下方有一出料口（b）；在机器的左右两边各备有一个原料筐A和成品筐B；设置图片（一）：机器功能f为加3，则A筐中有数字2提出进入（a）口，通过加工，（b）口出来为5进入成品筐B，依此类推，学生可以自己取数字完成“加工”；图片（二）：机器功能f为平方，操作类同（一）；图片（三）：机器功能f为开方，操作类同（一）。三张幻灯片后，提问：
（1）整个加工过程有怎样的特点？
（2）怎样从“加工”角度理解f（1），f（2），f（a）？
（3）如何把形象的“加工”过程转换成数学语言叙述y=f（x）这样的符号？
（4）自己总结：什么是函数？
（5）怎样理解函数的定义域？值域又是什么？与B筐又有怎样的关系？
（6）能说出一个函数的构成有几要素吗？
三、信息技术的应用
从心理学的角度上讲，人的信息接受70%来自视觉，所以让学生通过视觉获取知识尤其重要。在现代科技发展的今天利用信息技术可把静止的、烦琐的概念动态化，形象化、具体化，弥补了传统教学中的一支粉笔，一块黑板的陈旧方式的不足。增强了直观性，形象性，交互性和探讨性。能促进学生积极思维，理解更为全面，更为深刻。
案例：
在讲解《角的概念推广》一课时设计了始边OB不动，终边OA可以任意转动的角，学生自己操作，教师引导学生自己组织语言命名了正角、负角、零角的代数概念；再继续观察操作的动画，引导学生找出这些角的几何共性，显示直角坐标系，很容易接受引入象限角、轴线角概念的必要性。至此，角的概念可进行代数和几何两方面的推广，数形结合，概念的理解更为完善。
此课件的引入使整节课的气氛活跃，难以理解、较抽象的象限角、轴线角、终边相同角的概念，在动画演示和教师的引导中解决，为后续内容的学习夯实了基础。
四、开放式教学
开放式教学是教师通过开放性问题的引进，鼓励学生动手，动脑，调查研究。在学生参与下解决问题。可将教师的“教”转移到学生的“学”，使学生在问题解决的过程中体验数学的本质，品尝进行创造性数学活动的乐趣。开放题具有结果开放、方法开放、思路开放等特点，有助于培养学生对数学的积极态度，加强师生双方情感交流，营造民主和谐、愉悦的课堂教学气氛。
1.调查研究，数学实验
数学来源于生活实际，学数学当然要应用于实践，启发学生在实践中去运用数学从而理解课堂的板书推理。
案例：布置调查报告：
李阳10年期8万元的按揭贷款，月利率为0.4575%按复利计，从、贷之日起，每个月还贷一次，每次归还金额相等，10年后本息全部还清。问每月应归还多少？
提示性问题：
在该项调查中涉及到哪些量？哪些是常量？变量？
列表回答：
贷款额、还款期数、月利率、每月还款额、期数、每期还款后的余额。首先（可市场调查、可银行咨询）建立模型1解决实际问题；其次利用等比数列知识研究模型1，从而启发建立模型2以解决此类数学问题。
2.类比变换，深化思维
将习题的某些条件作适当变化而形成的新题，对培养学生的数学解题能力实现知识的正迁移，克服思维的定势有一定的促进作用。
②y=f（x）与x=f-1（y）是同一个函数？
③函数y=f（x）与y=f-1（x）的图像如果有交点，其交点是否一定在y=x直线上？
教有法而无定法，以上只是笔者课堂教学中努力去做到“启”而能“发”的一点体会，以期专家指正。
（作者单位：安徽省合肥市第二中学）
一、轻松课堂
心理快乐能使人处于积极向上的状态，而启动主体的思维，前提是积极营造一个愉快、合作、民主的课堂氛围，首先，教师应保持一个好的心情，面带微笑的走进课堂，从语言、图象等多方位让学生轻松体验到数学的快乐和数学的美。如遨游在神奇的数字三角形（杨辉三角）中进一步探究排列组合；在欣赏古诗词《浮屠增级歌》：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增。共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”中进入《数列》的启蒙；在实验《沙漏的均匀摆动》里接触了婀娜的正弦函数曲线；隶莫弗由美妙的帕斯卡三角形设计了老鼠钻洞的实验，才有了今天概率统计中重要的正态分布……数学与快乐和美的紧密联系，才会引发心灵的愉悦，才能启发积极的思维。
二、形象语言
语言是思维的载体，一名优秀的数学教师应该是运用语言的巧匠。笔者在教学实践中体会到，在学习某些数学概念时，恰如其分地运用生动活泼、喜闻乐见的口语讲解数学。可使讲课变得风趣，并能创造出一种有利于学生学习的轻松气氛，调动了学生的运动参与意识。
案例1：
在讲解y=tanx，x∈（ ）的图像中解析渐近线时，我把x= ，x= 比喻成两根无限延伸的“电线”，y=tanx图像被“囚禁”其中无论上下如何延伸但不能“触电”。根据周期性和同学们的积极想象，在整个y=tanx的图像中，这样的“电线”还有多少？写出来，（即x≠ ，k∈Z）在数学中称这种与y=tanx图像无限相近但又不能相触的“电线”为渐进线。接着提问：
能写出与y=tan（x ）永远不会相交的直线吗？（或：能写出y=tan（x ）的渐进线吗？或：能求出y=tan（x ）的定义域吗？）
案例2：
在映射与函数的教学中，我并没有按照常规在黑板上画出A集合，给出对应法则f，B集合，介绍它们之间的对应关系和映射、函数的定义。为辅助这节课，对抽象、烦琐、易混淆的概念具体化，我设计了一个类似于生活中材料加工图的幻灯片。图有三大部分：主体为“对应法则”的加工机器，用f代替，机器上方有一进料口（a）右下方有一出料口（b）；在机器的左右两边各备有一个原料筐A和成品筐B；设置图片（一）：机器功能f为加3，则A筐中有数字2提出进入（a）口，通过加工，（b）口出来为5进入成品筐B，依此类推，学生可以自己取数字完成“加工”；图片（二）：机器功能f为平方，操作类同（一）；图片（三）：机器功能f为开方，操作类同（一）。三张幻灯片后，提问：
（1）整个加工过程有怎样的特点？
（2）怎样从“加工”角度理解f（1），f（2），f（a）？
（3）如何把形象的“加工”过程转换成数学语言叙述y=f（x）这样的符号？
（4）自己总结：什么是函数？
（5）怎样理解函数的定义域？值域又是什么？与B筐又有怎样的关系？
（6）能说出一个函数的构成有几要素吗？
三、信息技术的应用
从心理学的角度上讲，人的信息接受70%来自视觉，所以让学生通过视觉获取知识尤其重要。在现代科技发展的今天利用信息技术可把静止的、烦琐的概念动态化，形象化、具体化，弥补了传统教学中的一支粉笔，一块黑板的陈旧方式的不足。增强了直观性，形象性，交互性和探讨性。能促进学生积极思维，理解更为全面，更为深刻。
案例：
在讲解《角的概念推广》一课时设计了始边OB不动，终边OA可以任意转动的角，学生自己操作，教师引导学生自己组织语言命名了正角、负角、零角的代数概念；再继续观察操作的动画，引导学生找出这些角的几何共性，显示直角坐标系，很容易接受引入象限角、轴线角概念的必要性。至此，角的概念可进行代数和几何两方面的推广，数形结合，概念的理解更为完善。
此课件的引入使整节课的气氛活跃，难以理解、较抽象的象限角、轴线角、终边相同角的概念，在动画演示和教师的引导中解决，为后续内容的学习夯实了基础。
四、开放式教学
开放式教学是教师通过开放性问题的引进，鼓励学生动手，动脑，调查研究。在学生参与下解决问题。可将教师的“教”转移到学生的“学”，使学生在问题解决的过程中体验数学的本质，品尝进行创造性数学活动的乐趣。开放题具有结果开放、方法开放、思路开放等特点，有助于培养学生对数学的积极态度，加强师生双方情感交流，营造民主和谐、愉悦的课堂教学气氛。
1.调查研究，数学实验
数学来源于生活实际，学数学当然要应用于实践，启发学生在实践中去运用数学从而理解课堂的板书推理。
案例：布置调查报告：
李阳10年期8万元的按揭贷款，月利率为0.4575%按复利计，从、贷之日起，每个月还贷一次，每次归还金额相等，10年后本息全部还清。问每月应归还多少？
提示性问题：
在该项调查中涉及到哪些量？哪些是常量？变量？
列表回答：
贷款额、还款期数、月利率、每月还款额、期数、每期还款后的余额。首先（可市场调查、可银行咨询）建立模型1解决实际问题；其次利用等比数列知识研究模型1，从而启发建立模型2以解决此类数学问题。
2.类比变换，深化思维
将习题的某些条件作适当变化而形成的新题，对培养学生的数学解题能力实现知识的正迁移，克服思维的定势有一定的促进作用。
②y=f（x）与x=f-1（y）是同一个函数？
③函数y=f（x）与y=f-1（x）的图像如果有交点，其交点是否一定在y=x直线上？
教有法而无定法，以上只是笔者课堂教学中努力去做到“启”而能“发”的一点体会，以期专家指正。
（作者单位：安徽省合肥市第二中学）