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摘 要 在覆盖近似空间与模糊集理论结合的研究中，已有的覆盖粗糙模糊集模型存在三类问题：一类是没有从覆盖族知识出发考虑元素的上、下近似隶属度;二类是参考的对象与元素的相似度不高;三类是隶属函数上、下界的差值过大，近似精度不高。对此，在由多种属性形成的覆盖族上，从与元素相似度最高的诱导覆盖出发，定义了一种新的模型，并研究了该模型的性质。
关键词 诱导覆盖 粗糙模糊集 模糊精度
中图分类号：TP18 文献标识码：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdkz.2015.04.024
A New Type of Covering-based Rough Fuzzy Set Model
YE Ping
（School of Humanities and Adult Education， Zhejiang Hengdian College of Film & Television， Jinhua， Zhejiang 322118）
Abstract There are three kinds of problems in the study of covering-based rough sets combined with the fuzzy sets. First， the existing covering-based rough fuzzy set models did not consider the upper and lower approximation of fuzzy sets from the knowledge of covering family; Second， the similarity of the objects reference to the element was not high;Third， the difference between the upper and lower approximation of fuzzy sets was too large， so the approximation accuracy was low. Thus， by the covering family of several properties， a new model is proposed by inducing coverage which is the highest similarity set about the element.Then， some relative properties are discussed.
Key words inducing coverage; rough fuzzy set; fuzzy accuracy
0 引言
如何将覆盖近似空间[1，3]与模糊集[2]理论结合起来进行模糊分类是当今模糊集与粗糙集结合的一个重要研究的课题。已有的四种覆盖粗糙模糊集模型都是基于一个覆盖的知识求一个元素隶属度的上、下界，参考的对象来自元素的最小描述，而不是元素属性最相似的集合，能提供的参考价值有限，且隶属函数的上、下界差距过大，对决策没有任何实际的意义。为此，本文从基于多个属性的覆盖族出发，利用元素的诱导覆盖建立了一种新的覆盖粗糙模糊集，体现出多个属性对模糊决策的影响，参考的对象都是来自元素最相似的集合。又以模糊精度作为参考标准， 将新模型与已有模型进行理论、实验对比。
1 基本概念
设为非空有限论域，为上的一个覆盖，则称有序对（，）为覆盖近似空间（covering approximation space，简称CAS）[3]。
定义2.4[3，24] 设（，）为覆盖近似空间， 为中的一个对象，则在该近似空间中的全描述为（） = {∣}，简记为（）。
定义2.5[3，24] 设为覆盖近似空间， 为中的一个对象，则在该近似空间中的最小描述为：
（） = {∣∧（∧ = ）}，
简记为：（），∪（） = ∪， （）。
定义2.6[3，24] 设（，）为覆盖近似空间，，任意，如果（），则称为的一个邻域。∪{∣（）}称为的全邻域，记为（）。∩{∣（）}称为的近邻域，记为（）。
定义2.7[2] 若对于非空论域中的任何元素，都有闭区间[0，1]的一个实数（）与之对应，则称在上定义了一个模糊集合： = {（）∣}
式中（）称为的隶属函数，（）称为的隶属度。
2 四种已有的覆盖粗糙模糊集模型及其缺陷
为了论述方便，论文将文献[5，6，7，8]所提出的模型分别称为I型覆盖粗糙模糊集模型，II型覆盖粗糙模糊集模型，Ⅲ型覆盖粗糙模糊集模型和Ⅳ型覆盖粗糙模糊集模型。
2.1 四种模型的定义及其缺陷
定义3.1[5] 设（，）为覆盖近似空间，，则在（）上的I型覆盖粗糙模糊集是一对模糊集，其隶属函数定义如下：
由定义3.1，对象隶属度的最大值为，对象隶属度的最小值为，但是这样考虑的对象太多。
定义3.2[6] 设（，）为覆盖近似空间，，则在（）上的II型覆盖粗糙模糊集是一对模糊集，其隶属函数定义如下：
与I型覆盖粗糙模糊集模型相比，II型覆盖粗糙模糊集模型将考虑的范围缩小了，只考虑了的近邻域中的元素。显然，任何对象的全邻域包含它的近邻域。
定义3.3[7] 设（，）为覆盖近似空间，，则在（，）上的Ⅲ型覆盖粗糙模糊集是一对模糊集，其隶属函数定义如下：
并证明在全描述和最小描述下两者是没有区别的，即 是先求出最小描述的各集合中元素的最小隶属度，然后取其中的最大值得到的;是先求出最小描述的各集合中元素的最大隶属度，然后取其中的最小值得到的。
定义3.4[8] 设是一个论域，是论域上的一个覆盖，，。定义关于的模糊覆盖粗糙隶属度为
定义3.5[8，26] 设是一个论域，是论域上的一个覆盖，，则在（，）上的Ⅲ型覆盖粗糙模糊集是一对模糊集，其隶属函数定义如下：
汤提出的模型利用最小描述并集中元素隶属函数的综合取平均值，得到元素的模糊覆盖粗糙隶属度，再与元素的隶属函数比较，大的值为上近似隶属函数，小的值为下近似隶属函数。汤的模型即重新定义了一个元素的隶属函数，这与我们利用覆盖交叉的知识，摆脱隶属函数主观性影响，进行模糊决策的思想本质不同。
对于个体，上述四种模型在计算在模糊集下隶属度的上、下近似时都基于一个属性形成的覆盖，依据的元素都来自于∪或者∩。这些并不是与最相似的集合，对和的计算没有很大的参考意义，只会使决策更加模糊。实际问题中，影响一个模糊决策的因素很多，不同因素的权值是不同的。在多个属性下，根据覆盖的知识来对在下隶属度的上、下近似进行计算，从属性值最相似的集合出发才具有参考意义。如病人的症状有很多，如果单独地考虑“发烧”或“头痛”来进行模糊决策显然是不对的，应该从病人所有的症状出发，样本库中与病人各症状最相似的样本集合才会对决策提供依据，所以有必要提出一种新的模型。
3 基于诱导覆盖的粗糙模糊集模型
3.1 关于新模型的相关定义
定义4.1[16] 设 = {，，…，}是论域上的覆盖，对于 ，我们定义 = ∩{：，}，则（） = {：}也是上的覆盖。我们称（）是的诱导覆盖。
定义4.2[16] 设 = {： = 1，…，}是的一个覆盖族，对于每一个，设 = ∩{：（），}，则（ ） = {：}也是的一个覆盖。我们称（ ）是 的诱导覆盖。
基于诱导覆盖的粗糙模糊集模型的构造思想：
在多个属性下，是与最相似的集合。在中，选择对象隶属度最大或者最小的值作为属于模糊集上、下近似集的隶属度。由此，我们得出如下定义：
定义4.3 设（，）为多元覆盖近似空间， = {，，…，}为论域的一个覆盖族，，则在（，）上的Ⅴ型覆盖粗糙模糊集是一对模糊集，其隶属函数定义如下：
，
。
定理 4.1 设（，）为覆盖近似空间，，， 为的补集，则Ⅴ模型具有以下性质：
（1）余正规性：;
（2）正规性：;
（3）上近似集的扩张性与下近似集的收缩性：
;
（4）对偶性：，;
（5）单调性：，
;
（6），
。
，
。
3.2 V型覆盖粗糙模糊集的模糊粗糙度
定义4.4 设（，）为多元覆盖近似空间，，关于（，）的模糊精度为，模糊粗糙度为，
其中，。显然，0≤（）≤1，0≤（）≤1。
定义4.5 设（，）为覆盖近似空间，，，
若，则记为;
若，则记为;
若且，则记为≈。
定理4.2 设（，）为覆盖近似空间，，，
（1）若≈，则（） = （）;
（2）若 ，则（∪） = （），（∩） = （）;
（3）若，则（∪）≤{（），（）};
（4）若，则（∩）≤{（），（）}。
证明：（1）（2）显然。（3）若，有。
由定理4.1可知，，
，
所以，。
由，
可得（∪）≥（），因此（∪）≤（），
即（∪）≤（），同理可得（∪）≤（）。
所以，（∪）≤{（）， （）}。证毕。
（4）若，有。
由定理4.1可知，，
，
所以，。
由，
可得（∩）≥（），因此（∩）≤（），即（∩）≤（），同理可得（∩）≤（）。
所以，（∩）≤{（），（）}。
4 结论
本文通过分析四种已有的覆盖粗糙模糊集模型缺陷，基于多个属性形成的覆盖族，从诱导覆盖出发提出了一种新的模型。该模型充分利用元素最相似的集合对于元素模糊隶属函数的参考价值，并讨论了相关的性质。
参考文献
[1] Pawlak Z.Rough sets.Int’l Journal ofComputer and Information Sciences，1982.1 I（5）：341-356.
[2] Zadeh LA.Fuzzy sets.Information and Control，1965.8（3）：338-353.
[3] Z Bonikowski.E Bryniarski.U Wybraniec Extension and intentions in the rough set theory，1998（1）.
[4] Atanassow K.Intuitionistic fuzzy sets[J].Fuzzy Sets and Systems，1986.20（1）：87-96.
[5] 魏莱，苗夺谦，徐菲菲等.基于覆盖的粗糙模糊集模型研究.计算机研究与发展，2006.43（10）：1719-1723.
[6] 徐忠印，廖家奇.基于覆盖的模糊粗糙集模型.模糊系统与数学，2006.20（3）：141-144.
[7] 胡军，王国胤，张清华.一种覆盖粗糙模糊集模型.软件学报，2010（5）.
[8] 汤建国，余堃，祝峰.一种新的覆盖粗糙模糊集模型.控制与决策，2012.27（11）：1653-1661.
[9] 徐伟华，张文修.覆盖广义粗糙集的模糊性[J].模糊系统与数学，2006.20（6）：115-121.
[10] Feng T.Mi JS.Wu WZ Covering-Based generalized rough fuzzy sets，2006.
[11] 张植明，白云超，田景峰.基于覆盖的直觉粗糙模糊集[J].控制与决策，2010. 25（9）：1369-1373.
[12] 祝峰.何华灿粗集的公理化.计算机学报，2000（3）.
[13] 吴涛，张铃，张燕平.机器学习中的核覆盖算法.计算机学报，2005.28（8）：1295-1301.
[14] 陶品，张钹，叶榛.构造型神经网络双空夏覆盖增量学习算法.软件学报，2003. 14（2）：194-201.
[15] 张铃，张钹，殷海风.多层前向网络的交叉覆盖设计算法.软件学报，1999.10（7）：737-742.
[16] 张铃，张钹.神经网络的学习方法.周志华，曹存根主编.神经网络及其应用. 北京，2004.
关键词 诱导覆盖 粗糙模糊集 模糊精度
中图分类号：TP18 文献标识码：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdkz.2015.04.024
A New Type of Covering-based Rough Fuzzy Set Model
YE Ping
（School of Humanities and Adult Education， Zhejiang Hengdian College of Film & Television， Jinhua， Zhejiang 322118）
Abstract There are three kinds of problems in the study of covering-based rough sets combined with the fuzzy sets. First， the existing covering-based rough fuzzy set models did not consider the upper and lower approximation of fuzzy sets from the knowledge of covering family; Second， the similarity of the objects reference to the element was not high;Third， the difference between the upper and lower approximation of fuzzy sets was too large， so the approximation accuracy was low. Thus， by the covering family of several properties， a new model is proposed by inducing coverage which is the highest similarity set about the element.Then， some relative properties are discussed.
Key words inducing coverage; rough fuzzy set; fuzzy accuracy
0 引言
如何将覆盖近似空间[1，3]与模糊集[2]理论结合起来进行模糊分类是当今模糊集与粗糙集结合的一个重要研究的课题。已有的四种覆盖粗糙模糊集模型都是基于一个覆盖的知识求一个元素隶属度的上、下界，参考的对象来自元素的最小描述，而不是元素属性最相似的集合，能提供的参考价值有限，且隶属函数的上、下界差距过大，对决策没有任何实际的意义。为此，本文从基于多个属性的覆盖族出发，利用元素的诱导覆盖建立了一种新的覆盖粗糙模糊集，体现出多个属性对模糊决策的影响，参考的对象都是来自元素最相似的集合。又以模糊精度作为参考标准， 将新模型与已有模型进行理论、实验对比。
1 基本概念
设为非空有限论域，为上的一个覆盖，则称有序对（，）为覆盖近似空间（covering approximation space，简称CAS）[3]。
定义2.4[3，24] 设（，）为覆盖近似空间， 为中的一个对象，则在该近似空间中的全描述为（） = {∣}，简记为（）。
定义2.5[3，24] 设为覆盖近似空间， 为中的一个对象，则在该近似空间中的最小描述为：
（） = {∣∧（∧ = ）}，
简记为：（），∪（） = ∪， （）。
定义2.6[3，24] 设（，）为覆盖近似空间，，任意，如果（），则称为的一个邻域。∪{∣（）}称为的全邻域，记为（）。∩{∣（）}称为的近邻域，记为（）。
定义2.7[2] 若对于非空论域中的任何元素，都有闭区间[0，1]的一个实数（）与之对应，则称在上定义了一个模糊集合： = {（）∣}
式中（）称为的隶属函数，（）称为的隶属度。
2 四种已有的覆盖粗糙模糊集模型及其缺陷
为了论述方便，论文将文献[5，6，7，8]所提出的模型分别称为I型覆盖粗糙模糊集模型，II型覆盖粗糙模糊集模型，Ⅲ型覆盖粗糙模糊集模型和Ⅳ型覆盖粗糙模糊集模型。
2.1 四种模型的定义及其缺陷
定义3.1[5] 设（，）为覆盖近似空间，，则在（）上的I型覆盖粗糙模糊集是一对模糊集，其隶属函数定义如下：
由定义3.1，对象隶属度的最大值为，对象隶属度的最小值为，但是这样考虑的对象太多。
定义3.2[6] 设（，）为覆盖近似空间，，则在（）上的II型覆盖粗糙模糊集是一对模糊集，其隶属函数定义如下：
与I型覆盖粗糙模糊集模型相比，II型覆盖粗糙模糊集模型将考虑的范围缩小了，只考虑了的近邻域中的元素。显然，任何对象的全邻域包含它的近邻域。
定义3.3[7] 设（，）为覆盖近似空间，，则在（，）上的Ⅲ型覆盖粗糙模糊集是一对模糊集，其隶属函数定义如下：
并证明在全描述和最小描述下两者是没有区别的，即 是先求出最小描述的各集合中元素的最小隶属度，然后取其中的最大值得到的;是先求出最小描述的各集合中元素的最大隶属度，然后取其中的最小值得到的。
定义3.4[8] 设是一个论域，是论域上的一个覆盖，，。定义关于的模糊覆盖粗糙隶属度为
定义3.5[8，26] 设是一个论域，是论域上的一个覆盖，，则在（，）上的Ⅲ型覆盖粗糙模糊集是一对模糊集，其隶属函数定义如下：
汤提出的模型利用最小描述并集中元素隶属函数的综合取平均值，得到元素的模糊覆盖粗糙隶属度，再与元素的隶属函数比较，大的值为上近似隶属函数，小的值为下近似隶属函数。汤的模型即重新定义了一个元素的隶属函数，这与我们利用覆盖交叉的知识，摆脱隶属函数主观性影响，进行模糊决策的思想本质不同。
对于个体，上述四种模型在计算在模糊集下隶属度的上、下近似时都基于一个属性形成的覆盖，依据的元素都来自于∪或者∩。这些并不是与最相似的集合，对和的计算没有很大的参考意义，只会使决策更加模糊。实际问题中，影响一个模糊决策的因素很多，不同因素的权值是不同的。在多个属性下，根据覆盖的知识来对在下隶属度的上、下近似进行计算，从属性值最相似的集合出发才具有参考意义。如病人的症状有很多，如果单独地考虑“发烧”或“头痛”来进行模糊决策显然是不对的，应该从病人所有的症状出发，样本库中与病人各症状最相似的样本集合才会对决策提供依据，所以有必要提出一种新的模型。
3 基于诱导覆盖的粗糙模糊集模型
3.1 关于新模型的相关定义
定义4.1[16] 设 = {，，…，}是论域上的覆盖，对于 ，我们定义 = ∩{：，}，则（） = {：}也是上的覆盖。我们称（）是的诱导覆盖。
定义4.2[16] 设 = {： = 1，…，}是的一个覆盖族，对于每一个，设 = ∩{：（），}，则（ ） = {：}也是的一个覆盖。我们称（ ）是 的诱导覆盖。
基于诱导覆盖的粗糙模糊集模型的构造思想：
在多个属性下，是与最相似的集合。在中，选择对象隶属度最大或者最小的值作为属于模糊集上、下近似集的隶属度。由此，我们得出如下定义：
定义4.3 设（，）为多元覆盖近似空间， = {，，…，}为论域的一个覆盖族，，则在（，）上的Ⅴ型覆盖粗糙模糊集是一对模糊集，其隶属函数定义如下：
，
。
定理 4.1 设（，）为覆盖近似空间，，， 为的补集，则Ⅴ模型具有以下性质：
（1）余正规性：;
（2）正规性：;
（3）上近似集的扩张性与下近似集的收缩性：
;
（4）对偶性：，;
（5）单调性：，
;
（6），
。
，
。
3.2 V型覆盖粗糙模糊集的模糊粗糙度
定义4.4 设（，）为多元覆盖近似空间，，关于（，）的模糊精度为，模糊粗糙度为，
其中，。显然，0≤（）≤1，0≤（）≤1。
定义4.5 设（，）为覆盖近似空间，，，
若，则记为;
若，则记为;
若且，则记为≈。
定理4.2 设（，）为覆盖近似空间，，，
（1）若≈，则（） = （）;
（2）若 ，则（∪） = （），（∩） = （）;
（3）若，则（∪）≤{（），（）};
（4）若，则（∩）≤{（），（）}。
证明：（1）（2）显然。（3）若，有。
由定理4.1可知，，
，
所以，。
由，
可得（∪）≥（），因此（∪）≤（），
即（∪）≤（），同理可得（∪）≤（）。
所以，（∪）≤{（）， （）}。证毕。
（4）若，有。
由定理4.1可知，，
，
所以，。
由，
可得（∩）≥（），因此（∩）≤（），即（∩）≤（），同理可得（∩）≤（）。
所以，（∩）≤{（），（）}。
4 结论
本文通过分析四种已有的覆盖粗糙模糊集模型缺陷，基于多个属性形成的覆盖族，从诱导覆盖出发提出了一种新的模型。该模型充分利用元素最相似的集合对于元素模糊隶属函数的参考价值，并讨论了相关的性质。
参考文献
[1] Pawlak Z.Rough sets.Int’l Journal ofComputer and Information Sciences，1982.1 I（5）：341-356.
[2] Zadeh LA.Fuzzy sets.Information and Control，1965.8（3）：338-353.
[3] Z Bonikowski.E Bryniarski.U Wybraniec Extension and intentions in the rough set theory，1998（1）.
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[5] 魏莱，苗夺谦，徐菲菲等.基于覆盖的粗糙模糊集模型研究.计算机研究与发展，2006.43（10）：1719-1723.
[6] 徐忠印，廖家奇.基于覆盖的模糊粗糙集模型.模糊系统与数学，2006.20（3）：141-144.
[7] 胡军，王国胤，张清华.一种覆盖粗糙模糊集模型.软件学报，2010（5）.
[8] 汤建国，余堃，祝峰.一种新的覆盖粗糙模糊集模型.控制与决策，2012.27（11）：1653-1661.
[9] 徐伟华，张文修.覆盖广义粗糙集的模糊性[J].模糊系统与数学，2006.20（6）：115-121.
[10] Feng T.Mi JS.Wu WZ Covering-Based generalized rough fuzzy sets，2006.
[11] 张植明，白云超，田景峰.基于覆盖的直觉粗糙模糊集[J].控制与决策，2010. 25（9）：1369-1373.
[12] 祝峰.何华灿粗集的公理化.计算机学报，2000（3）.
[13] 吴涛，张铃，张燕平.机器学习中的核覆盖算法.计算机学报，2005.28（8）：1295-1301.
[14] 陶品，张钹，叶榛.构造型神经网络双空夏覆盖增量学习算法.软件学报，2003. 14（2）：194-201.
[15] 张铃，张钹，殷海风.多层前向网络的交叉覆盖设计算法.软件学报，1999.10（7）：737-742.
[16] 张铃，张钹.神经网络的学习方法.周志华，曹存根主编.神经网络及其应用. 北京，2004.