一道北约试题推广

• 作 者: 汤恒锦 何长林
• 出 处: 数学教学通讯·中等教育
• 发表日期: 2013年5期
• 关键词: 幂平均值 正弦定理 联考 当且仅当 充分必要条件 三校 卷第

　　摘 要：本文对一道涉及三角形的幂平均值不等式试题进行了推广，得出一个全新的结论。
　　关键词：三角形；幂平均值；不等式；推广
　　题目：△ABC中，如果a+b≥2c，证明：C≤60°。
　　（2011年北大等十三校联考（北约）自主招生数学试卷第4题）
　　证明：因为cosC=≥=≥-=， 所以C≤60°，故得证。
　　笔者经过研究，发现本题结论可以推广为：
　　定理：△ABC中，如果an+cn≥2bn（n∈Z），则B≤60°，其中a，b，c表示△ABC中角A，B，C的对边。
　　先证明定理1：△ABC中，如果an+cn=2bn（n∈Z），则B≤60°，其中a，b，c表示△ABC中角A，B，C的对边。
　　下面我们证明：当n≠0时，△ABC中，如果an+cn=2bn，则B≤60°，其中a，b，c表示△ABC中角A，B，C的对边。
　　在证明此命题之前，我们先引进三个引理。
　　引理1：若a>0，b>0，r1≠0，r2≠0，则有和幂平均不等式
　　（参见 周金峰 谷焕春 《关于幂平均值的两个不等式》 数学通讯 2004。7）
　　引理2：用a，b，c表示中△ABC角A，B，C的对边，则2b≤a+c的充分必要条件是2sinB≤sinA+sinC。
　　证明：①必要性。
　　由正弦定理知
　　故有a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC。
　　将上式代入2b≤a+c，
　　得2sinB≤sinA+sinC。
　　②充分性由上述过程知也成立。
　　由正弦定理知
　　故有sinA=，sinB=，sinC=。
　　将上式代入2sinB≤sinA+sinC，得
　　即2b≤a+c。
　　综合①②故得证。
　　引理3：△ABC中，若2sinB≤sinA+sinC，则B≤60°。
　　证明：由引理2知2sinB≤sinA+sinC的充分必要条件是2b≤a+c（其中a，b，c表示△ABC中角A，B，C的对边），
　　又因为B为三角形的内角，所以B∈（0°，60°]，所以得证。
　　现在我们来证明当（n∈Z）时，△ABC中，如果an+cn=2bn，则B≤60°，其中a，b，c表示△ABC中角A，B，C的对边。
　　证明：因为2bn=an+cn，
　　由引理3可以知B≤60°，故得证。
　　下面我们来证明定理
　　定理：△ABC中，如果an+cn≥2bn（n∈Z），则B≤60°，其中a，b，c表示△ABC中角A，B，C的对边。
　　证明：因为an+cn≥2bn，
　　所以sinB≤（由引理2）。
　　由引理3可以知B≤60°，故得证。
　　应用：在△ABC中a，b，c表示△ABC中角A，B，C的对边，若an，bn，cn（n∈Z）成等差数列，求sin（A+C）的取值范围。
　　解：因为an，bn，cn成等差数列，
　　所以B≤60°，
　　所以120°≤A+C<180°，
　　所以0