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“方法比知识更重要”“错误是很好的教学资源”，这是数学专家对我上完《图形中的规律》这节课后最好的肯定，我感到莫大的欣慰，这两句话点明了我上课的用意。我对此节课曾作了几番修改，为了教学价值的有效体现，凸显学生的主体意识，促进学生的生成，把错误当做教学的资源，收到良好的学习效果。下面是我对《图形中的规律》整个磨课过程的回顾与反思，把它作为一个案例与同仁共同讨论，以作抛砖引玉之用。
一、初构“庐山”轮廓
（一）自己的设想
《图形中的规律》是新课程探索规律中的内容，对于此类知识，学生往往缺少的是思考问题的方法，哪怕一时学会了也很容易遗忘，这题会了，换个图形和数据又不会，到底是什么原因导致这样的现象呢？教师又该怎么来处理这个知识回生反复的现象呢？
在解读了教材与目标后，我着力思考着这么几个方面的问题。
1.这是一节探索规律的思维训练性质的课，知识的难度很难提起全体学生的兴趣，是不是可以加入点生活化的信息作为激活点，我收集了一些信息。经过筛选后，决定用2008奥运场馆为载体切入课题。
2.这节课结束后要留给学生的是什么？应该留给学生的不仅仅是知识，更重要的是数学思想方法。
3.教材中练习部分安排了20个正方形排列至少需要多少根小棒，拓展部分是自己设计一个其他图形，同样的规律再次体验。这样知识宽度不是很够，能不能设计一个更丰富的拓展部分。于是搜寻了很多材料，找到了初中教材中的“雪花曲线”作为延伸。
（二）设计方案初成
1.创设情境——感受图形美
（1）出示鸟巢图片。
观察远景与内景，你发现了什么？
（2）出示水立方图片。
观察远景与内景，你发现了什么？
（3）猜一猜我们今天研究的内容和什么有关?今天我们就来探索一下图形中的规律。
2.自主探究——规律
（1）摆3个三角形至少需要几根小棒？
（2）如果像这样接着摆，摆20个三角形至少需要几根小棒？小组合作研究。
（3）反馈。
（4）小结：当我们碰到类似于这样比较复杂的问题时，我们可以从小的数量、简单的问题开始，寻找出变化的规律性，从而顺利地解决问题。这是一种数学学习甚至于科学研究的很好的方法。
3.尝试练习——图形的共性
（1）如果摆的是正方形，那么正方形个数与小棒根数之间有什么样的关系？
假设我们要摆20个正方形，至少需要多少根小棒？
学生独立完成，可以简单列表格，也可以动手摆、画等。
交流汇报你是怎么发现规律的。
（2）小结。
今天我们研究了什么？
4.拓展延伸——学美
虽然是在春天，但让我想起了美丽的雪花。在我们的数学史上，有一个以雪花命名的问题叫做：雪花曲线。简单介绍科学家研究雪花曲线各方面性质的过程。
（三）专家建议
指导老师看了设计后并与我交流，并提出了建议。
1.要使设计浑然一体，就要学会取舍。雪花曲线与上述的规律不太一致。
2.既然提到思想方法，那么从设计上就要凸显，可以打破教材的编排程序，先呈现200个甚至更多的三角形至少要多少根小棒这么难的问题，再从1个、2个等开始研究，发现规律，再去解决200个三角形这个问题。
3.生活与数学的衔接应更密切。可先出示水立方，再出示鸟巢内景，从环形的支架中抽象出数学问题，让学生感觉解决的是实在的数学问题、有价值的数学问题。
听了专家的意见，我调整出了第二套方案。
二、只缘身在此山中
（一）设计方案调整
1.创设情境——感受图形规律与美
（1）出示水立方图片。
提问：这是什么？让我们再来看看它里面的构造。你有什么想说的？你发现了什么？
（2）出示鸟巢图片。
提问：这个是什么？你发现了什么？
（3）拉近镜头仔细观察由无数的等边三角形连接的环形带。
提问：体育馆很大，如果要连续这样焊接200个三角形，请问需要多少根钢棒？同学们有什么想法？
提问：你有什么办法可以知道拼200个三角形需要多少根小棒？
（4）小结：刚才同学们说得这么起劲，有的猜，有的说有规律的，有的还用到计算，有的说摆一摆，很不错，我相信三角形的个数与小棒的根数之间一定有什么规律。
2.操作探究——图形中的规律
（1）（快速回答）1～4个三角形的小棒根数。
提问：三角形个数和小棒根数之间到底有什么规律呢，我们可以怎么思考？
先从最简单的开始摆一摆，这是一个很有效的策略。我们借助下面这个表格来完成。
课件出示：
（2）猜5个三角形的小棒根数。
你是怎样得出5个三角形需要多少根小棒的？对其中的规律进行猜想。（板书演示学生的猜想）
（3）如果是20个呢？（板书思路）
（4）现在200个三角形你能算了吗？说说是怎么算的。
（5）更多的三角形能算吗？如果是2000个呢？10000个呢？
3.自主探究——描述图形中的规律
（1）出示：摆200个连续正方形至少需要多少根小棒？
（2）这个题目变了没有？为什么有的同学说没变？说一说你是怎么解决的？
4.总结反思——引出学习方法
今天我们是怎么一步步解决问题的？（把复杂的问题，从简单的开始思考，在思考中发现规律，再用规律来解决复杂的问题）
（二）专家提示与自己的反思
调整方案后，沾沾自喜，自己试了两次，以为学生能顺利地回答出问题，问题解决了便是成功，却不知其中隐含的“危险动作”。
专家提示一：任何一种处理方式在课堂上不要重复出现，那是很“讨厌”的事情。
我理解“讨厌”二字背后的深刻含义，对已从教近10年的我来说是非常惭愧的。主要体现在，如当出现5个三角形时，让学生说思路，用算式表达规律，再大家一起理解与解释规律。出现20个三角形时，还让学生说思路，用算式表达规律，再大家一起理解与解释规律。当出现200个三角形时，也还是让学生说思路，用算式表达规律，再大家一起理解与解释规律。2000个、1万个时也是如此，学生解决问题的热情就这样一步一步被耗尽……试教时，学生为做而做，为说而说，从知识与技能角度上看是将知识“程序”化了，从情感上看学生失去了探索知识的兴趣。因而，当我再次问“如果是200个正方形的话，同学们能知道至少要用几根小棒？”学生只告诉我答案，懒得与我说过程了，此时场景确实尴尬。当时我心里“咯噔”一下，“是不是自己太啰唆了？”于是简单地收了场，结束了课堂，学生在最后小结阶段所总结出来的解决问题的方法也显得那么勉强。
专家提示二：丰富知识方法的内涵。
化难为简，在简单中发现规律，并运用规律解决原先复杂的问题，这是一个解决问题的思想方法，整节课都是在图形中探究运用，是否可以拓展到其他领域，如数与代数等。专家一席话，胜读十年书，在此处变通知识显得那么顺水推舟，不露痕迹。因而拓展部分可安排难度较大的思考题，如
基于专家提示与自己的反思，重新调整出了第三套方案。
三、灯火阑珊处的邂逅
第三稿设计方案
1.创设情境——感受图形规律与美（同方案二）
2.操作探究——图形中的规律
（1）（快速回答）1～4个三角形的小棒根数。（同方案二）
（2）猜5个三角形。
提问：我们在这里稍微停一下，你有什么发现？你是怎样得出5个三角形需要多少根小棒的？对其中的规律进行猜想。（板书演示学生的猜想和思路）
3 2×4 1 2×5 3×5-4
（3）如果是20个呢？
a.板书思路和规律。
b.总结思路：同学们发现了这么多种规律，真厉害，我发现同学们的方法中主要有两种思路：
一种是从上往下看，每多一个三角形就多2根，另一种是从左往右看，假设每个三角形有两条边，再加上少的或者多的。
c.优化规律：规律太多了，我们来看看哪种规律比较方便又快捷？
三角形个数×2 1=小棒根数
（4）我们现在用这个规律来推算一下，200个三角形至少需要多少根小棒？把算式报出来。说说你是利用哪个规律来算的。
现在是200个，如果是1000个、2000个呢？你们能很快知道吗？
任何个数的三角形，我们都能马上知道最少需要几根小棒，看来是规律的作用，这就是数学的魅力！
（5）尝试探究其他图形中的规律。
现在老师把题目变一变，考考大家。
这个题目变了没有？为什么有的同学说没变？
方法没变，思考的方法也没变。它的规律是什么？正方形的个数×3 1=小棒根数。
你是怎么发现这个规律的？
（6）回顾。
提问：同学们，今天我们在学什么？（图形中的规律）你们都说对了，但你们又都没说对，我们在学习一种思考方法，不知大家体会到没有？
我们一起来回顾一下刚才的学习过程，先是欣赏图形，在鸟巢中碰到了200个三角形需要多少根钢棒的问题，刚才是怎么一步步来解决的，我们是怎么思考的？
把复杂的问题，从简单的开始思考，在思考中发现规律，再用规律来解决复杂的问题。
其实，我们刚才真正研究的是一种思维方法。
3.方法运用
（1）呈现问题，适度引导。
师：老师现在要给你们一个机会，去运用一下这种方法。
出示：
这个题目与前面的摆图形一样不一样啊？这个题目能不能看懂？这样复杂的数字乘法我们不可能排竖式，那怎么办？
那一定要去找规律，怎么找？它最简单的是什么样的？根据学生的水平加以指导。
（2）小组合作研究。
（3）交流汇报。
把你刚才研究的过程和结果与大家分享一下。
（4）总结提升。
提问：看来，这种思维方法不仅在图形中得到解决，也可以在数字中得到运用，还可以在什么地方得到运用呢？
二、反思
（一）目标定位——方法比知识更重要
正确的目标定位是教学设计的前提，北师大版数学四年级下册出现的《图形中的规律》是探索规律板块的知识内容，它要求学生经历操作、探索的过程，体验发现摆图形规律的方法。从目标的阐述看，操作、探索是学生学习过程中的重点策略与途径，方法的体验则是提到了更高的位置，因此我把本课的目标重点定位在体验数学思想方法上，难点是能够理解并初步运用方法，感受方法的价值。
本教材首版中首个问题曾经出现为“n个三角形需要多少根小棒？”它所蕴涵的函数与方程思想更浓一些，而本设计将教材从难到易呈现，深刻地体现了化归的数学思想。虽然探索的是图形中的规律，实际上这种化复杂为简单的策略在数学其他领域中也得到了广泛的运用，在解决生活实际问题时也经常得到应用。因此，本课目标定位的方法比知识更为重要。
（二）课堂生成——错误是一种很好的教学资源
动态的课堂时时刻刻生成着一些资源，原因可能是由于师生之间的思维落差造成的。许多年轻教师往往在课堂中规避学生的一些错误，一带而过，包括我自己。“正确，有可能是一种模仿；错误，却大凡是一种经历。课堂中的错误是非常好的资源”。本课实施中，确实也将错误实在呈现，但充分利用错误的资源需要良好的教育机智。如，这个环节中一个学生在推算20个三角形用几根小棒时出现用倍数关系来解决，认为是5个三角形的4倍，答案应该是44根小棒。我先是让其他学生发表意见，然后让大家半抽象地想象如果是分离的4组5个三角形，组合在一起之后，多出几条边。学习起点高的学生也许马上就能意会，但学习起点低的学生就不一定能理解。如果教师能在这个环节给这部分学生一个知识模型的具体化操作，让其再加摆到20个三角形，也许这些学生就不会再次出现类似的问题了。
（三）教师知识素养——决定了课堂知识实施的角度、深度
本设计的第三稿与第一稿比较，留下原设计的影子确实不多了。可以这么说，教师的专业知识素养决定了课堂知识实施的角度、深度。我，一个普通的一线教师，所能想到的仅是方法上的提炼，而且局限于总结的环节，专家们却能从思想方法的深刻内涵出发，整体设计教学环节，数据从难到易地给出，数据之间的转换，方法的延伸等，总是那么行云流水、融会贯通，这就是专业知识积淀的结果。因而通过此次磨课，对教师个人专业发展方面有了更深的认识，特别是知识背景的累积。俗话说“腹有诗书气自华”，教师的知识背景越丰厚，对课堂知识的把握就会有更高的角度，学生学的知识才会更具深度。
（浙江省永康市解放小学321300）
一、初构“庐山”轮廓
（一）自己的设想
《图形中的规律》是新课程探索规律中的内容，对于此类知识，学生往往缺少的是思考问题的方法，哪怕一时学会了也很容易遗忘，这题会了，换个图形和数据又不会，到底是什么原因导致这样的现象呢？教师又该怎么来处理这个知识回生反复的现象呢？
在解读了教材与目标后，我着力思考着这么几个方面的问题。
1.这是一节探索规律的思维训练性质的课，知识的难度很难提起全体学生的兴趣，是不是可以加入点生活化的信息作为激活点，我收集了一些信息。经过筛选后，决定用2008奥运场馆为载体切入课题。
2.这节课结束后要留给学生的是什么？应该留给学生的不仅仅是知识，更重要的是数学思想方法。
3.教材中练习部分安排了20个正方形排列至少需要多少根小棒，拓展部分是自己设计一个其他图形，同样的规律再次体验。这样知识宽度不是很够，能不能设计一个更丰富的拓展部分。于是搜寻了很多材料，找到了初中教材中的“雪花曲线”作为延伸。
（二）设计方案初成
1.创设情境——感受图形美
（1）出示鸟巢图片。
观察远景与内景，你发现了什么？
（2）出示水立方图片。
观察远景与内景，你发现了什么？
（3）猜一猜我们今天研究的内容和什么有关?今天我们就来探索一下图形中的规律。
2.自主探究——规律
（1）摆3个三角形至少需要几根小棒？
（2）如果像这样接着摆，摆20个三角形至少需要几根小棒？小组合作研究。
（3）反馈。
（4）小结：当我们碰到类似于这样比较复杂的问题时，我们可以从小的数量、简单的问题开始，寻找出变化的规律性，从而顺利地解决问题。这是一种数学学习甚至于科学研究的很好的方法。
3.尝试练习——图形的共性
（1）如果摆的是正方形，那么正方形个数与小棒根数之间有什么样的关系？
假设我们要摆20个正方形，至少需要多少根小棒？
学生独立完成，可以简单列表格，也可以动手摆、画等。
交流汇报你是怎么发现规律的。
（2）小结。
今天我们研究了什么？
4.拓展延伸——学美
虽然是在春天，但让我想起了美丽的雪花。在我们的数学史上，有一个以雪花命名的问题叫做：雪花曲线。简单介绍科学家研究雪花曲线各方面性质的过程。
（三）专家建议
指导老师看了设计后并与我交流，并提出了建议。
1.要使设计浑然一体，就要学会取舍。雪花曲线与上述的规律不太一致。
2.既然提到思想方法，那么从设计上就要凸显，可以打破教材的编排程序，先呈现200个甚至更多的三角形至少要多少根小棒这么难的问题，再从1个、2个等开始研究，发现规律，再去解决200个三角形这个问题。
3.生活与数学的衔接应更密切。可先出示水立方，再出示鸟巢内景，从环形的支架中抽象出数学问题，让学生感觉解决的是实在的数学问题、有价值的数学问题。
听了专家的意见，我调整出了第二套方案。
二、只缘身在此山中
（一）设计方案调整
1.创设情境——感受图形规律与美
（1）出示水立方图片。
提问：这是什么？让我们再来看看它里面的构造。你有什么想说的？你发现了什么？
（2）出示鸟巢图片。
提问：这个是什么？你发现了什么？
（3）拉近镜头仔细观察由无数的等边三角形连接的环形带。
提问：体育馆很大，如果要连续这样焊接200个三角形，请问需要多少根钢棒？同学们有什么想法？
提问：你有什么办法可以知道拼200个三角形需要多少根小棒？
（4）小结：刚才同学们说得这么起劲，有的猜，有的说有规律的，有的还用到计算，有的说摆一摆，很不错，我相信三角形的个数与小棒的根数之间一定有什么规律。
2.操作探究——图形中的规律
（1）（快速回答）1～4个三角形的小棒根数。
提问：三角形个数和小棒根数之间到底有什么规律呢，我们可以怎么思考？
先从最简单的开始摆一摆，这是一个很有效的策略。我们借助下面这个表格来完成。
课件出示：
（2）猜5个三角形的小棒根数。
你是怎样得出5个三角形需要多少根小棒的？对其中的规律进行猜想。（板书演示学生的猜想）
（3）如果是20个呢？（板书思路）
（4）现在200个三角形你能算了吗？说说是怎么算的。
（5）更多的三角形能算吗？如果是2000个呢？10000个呢？
3.自主探究——描述图形中的规律
（1）出示：摆200个连续正方形至少需要多少根小棒？
（2）这个题目变了没有？为什么有的同学说没变？说一说你是怎么解决的？
4.总结反思——引出学习方法
今天我们是怎么一步步解决问题的？（把复杂的问题，从简单的开始思考，在思考中发现规律，再用规律来解决复杂的问题）
（二）专家提示与自己的反思
调整方案后，沾沾自喜，自己试了两次，以为学生能顺利地回答出问题，问题解决了便是成功，却不知其中隐含的“危险动作”。
专家提示一：任何一种处理方式在课堂上不要重复出现，那是很“讨厌”的事情。
我理解“讨厌”二字背后的深刻含义，对已从教近10年的我来说是非常惭愧的。主要体现在，如当出现5个三角形时，让学生说思路，用算式表达规律，再大家一起理解与解释规律。出现20个三角形时，还让学生说思路，用算式表达规律，再大家一起理解与解释规律。当出现200个三角形时，也还是让学生说思路，用算式表达规律，再大家一起理解与解释规律。2000个、1万个时也是如此，学生解决问题的热情就这样一步一步被耗尽……试教时，学生为做而做，为说而说，从知识与技能角度上看是将知识“程序”化了，从情感上看学生失去了探索知识的兴趣。因而，当我再次问“如果是200个正方形的话，同学们能知道至少要用几根小棒？”学生只告诉我答案，懒得与我说过程了，此时场景确实尴尬。当时我心里“咯噔”一下，“是不是自己太啰唆了？”于是简单地收了场，结束了课堂，学生在最后小结阶段所总结出来的解决问题的方法也显得那么勉强。
专家提示二：丰富知识方法的内涵。
化难为简，在简单中发现规律，并运用规律解决原先复杂的问题，这是一个解决问题的思想方法，整节课都是在图形中探究运用，是否可以拓展到其他领域，如数与代数等。专家一席话，胜读十年书，在此处变通知识显得那么顺水推舟，不露痕迹。因而拓展部分可安排难度较大的思考题，如
基于专家提示与自己的反思，重新调整出了第三套方案。
三、灯火阑珊处的邂逅
第三稿设计方案
1.创设情境——感受图形规律与美（同方案二）
2.操作探究——图形中的规律
（1）（快速回答）1～4个三角形的小棒根数。（同方案二）
（2）猜5个三角形。
提问：我们在这里稍微停一下，你有什么发现？你是怎样得出5个三角形需要多少根小棒的？对其中的规律进行猜想。（板书演示学生的猜想和思路）
3 2×4 1 2×5 3×5-4
（3）如果是20个呢？
a.板书思路和规律。
b.总结思路：同学们发现了这么多种规律，真厉害，我发现同学们的方法中主要有两种思路：
一种是从上往下看，每多一个三角形就多2根，另一种是从左往右看，假设每个三角形有两条边，再加上少的或者多的。
c.优化规律：规律太多了，我们来看看哪种规律比较方便又快捷？
三角形个数×2 1=小棒根数
（4）我们现在用这个规律来推算一下，200个三角形至少需要多少根小棒？把算式报出来。说说你是利用哪个规律来算的。
现在是200个，如果是1000个、2000个呢？你们能很快知道吗？
任何个数的三角形，我们都能马上知道最少需要几根小棒，看来是规律的作用，这就是数学的魅力！
（5）尝试探究其他图形中的规律。
现在老师把题目变一变，考考大家。
这个题目变了没有？为什么有的同学说没变？
方法没变，思考的方法也没变。它的规律是什么？正方形的个数×3 1=小棒根数。
你是怎么发现这个规律的？
（6）回顾。
提问：同学们，今天我们在学什么？（图形中的规律）你们都说对了，但你们又都没说对，我们在学习一种思考方法，不知大家体会到没有？
我们一起来回顾一下刚才的学习过程，先是欣赏图形，在鸟巢中碰到了200个三角形需要多少根钢棒的问题，刚才是怎么一步步来解决的，我们是怎么思考的？
把复杂的问题，从简单的开始思考，在思考中发现规律，再用规律来解决复杂的问题。
其实，我们刚才真正研究的是一种思维方法。
3.方法运用
（1）呈现问题，适度引导。
师：老师现在要给你们一个机会，去运用一下这种方法。
出示：
这个题目与前面的摆图形一样不一样啊？这个题目能不能看懂？这样复杂的数字乘法我们不可能排竖式，那怎么办？
那一定要去找规律，怎么找？它最简单的是什么样的？根据学生的水平加以指导。
（2）小组合作研究。
（3）交流汇报。
把你刚才研究的过程和结果与大家分享一下。
（4）总结提升。
提问：看来，这种思维方法不仅在图形中得到解决，也可以在数字中得到运用，还可以在什么地方得到运用呢？
二、反思
（一）目标定位——方法比知识更重要
正确的目标定位是教学设计的前提，北师大版数学四年级下册出现的《图形中的规律》是探索规律板块的知识内容，它要求学生经历操作、探索的过程，体验发现摆图形规律的方法。从目标的阐述看，操作、探索是学生学习过程中的重点策略与途径，方法的体验则是提到了更高的位置，因此我把本课的目标重点定位在体验数学思想方法上，难点是能够理解并初步运用方法，感受方法的价值。
本教材首版中首个问题曾经出现为“n个三角形需要多少根小棒？”它所蕴涵的函数与方程思想更浓一些，而本设计将教材从难到易呈现，深刻地体现了化归的数学思想。虽然探索的是图形中的规律，实际上这种化复杂为简单的策略在数学其他领域中也得到了广泛的运用，在解决生活实际问题时也经常得到应用。因此，本课目标定位的方法比知识更为重要。
（二）课堂生成——错误是一种很好的教学资源
动态的课堂时时刻刻生成着一些资源，原因可能是由于师生之间的思维落差造成的。许多年轻教师往往在课堂中规避学生的一些错误，一带而过，包括我自己。“正确，有可能是一种模仿；错误，却大凡是一种经历。课堂中的错误是非常好的资源”。本课实施中，确实也将错误实在呈现，但充分利用错误的资源需要良好的教育机智。如，这个环节中一个学生在推算20个三角形用几根小棒时出现用倍数关系来解决，认为是5个三角形的4倍，答案应该是44根小棒。我先是让其他学生发表意见，然后让大家半抽象地想象如果是分离的4组5个三角形，组合在一起之后，多出几条边。学习起点高的学生也许马上就能意会，但学习起点低的学生就不一定能理解。如果教师能在这个环节给这部分学生一个知识模型的具体化操作，让其再加摆到20个三角形，也许这些学生就不会再次出现类似的问题了。
（三）教师知识素养——决定了课堂知识实施的角度、深度
本设计的第三稿与第一稿比较，留下原设计的影子确实不多了。可以这么说，教师的专业知识素养决定了课堂知识实施的角度、深度。我，一个普通的一线教师，所能想到的仅是方法上的提炼，而且局限于总结的环节，专家们却能从思想方法的深刻内涵出发，整体设计教学环节，数据从难到易地给出，数据之间的转换，方法的延伸等，总是那么行云流水、融会贯通，这就是专业知识积淀的结果。因而通过此次磨课，对教师个人专业发展方面有了更深的认识，特别是知识背景的累积。俗话说“腹有诗书气自华”，教师的知识背景越丰厚，对课堂知识的把握就会有更高的角度，学生学的知识才会更具深度。
（浙江省永康市解放小学321300）