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【目标预设】
1.经过自主整理，形成整理方法，自我反思查漏补缺；借助数形结合进一步理解运算律；在应用运算律过程中总结简便方法；掌握运算律结果相等而运算顺序不同的本质。
2.经历整理与练习的过程，培养观察、比较、分析、抽象、概括等逻辑思维能力，体会化归思想，形成简单的数学模型。
3.在自主探究、小组合作学习中感受成功的乐趣，增强协作意识，促生数学亲昵感。
【教学重点、难点】
深刻理解运算律并能灵活应用形成方法。
【教学过程】
一、 自主先学
课前尝试整理《运算律》。
要求：
1.回顾本单元的运算律，你能举例说明并用字母表示吗？能用喜欢的方法整理一下吗？
2.通过整理，想一想哪些地方还存在困难或问题。
提示：课前完成，可以查资料，也可参照优秀的整理方案。
二、小组讨论
师要求：先在组内展示作业，交流并讨论整理方法。并推选出代表做好交流汇报的准备。
学生小组交流讨论。
三、交流展示
1.分享成果
生1汇报：本单元学习五个运算律，我按运算分为加法和乘法两类整理，分别是……我整理得怎么样？
生总评：整理得很好。
师追问：好在哪里？
生评价：用分类和列表的方法整理，看起来更清晰。
生2汇报：我把运算律分为交换律、结合律和分配律三类整理，用画图方法。
生质疑：你是怎样想到这个方法的呢？
生2释疑：对比这些运算律，就能发现加法、乘法交换律都是交换了两个数的位置；结合律就是只改变运算顺序。
师生共同体会运算律之间的关系。
师引导：对学过的知识进行整理有什么好处？整理有哪些方法？
学生补充得出：先分类，再用列表或画图方法，教师板书并介绍其他整理方法。
2.查漏补缺
师提问：通过对本单元的回顾整理，还有哪些地方存在困难或问题？
生1、生2、生……：对XXXXX运算律的理解不太清楚。
生1、生2、生……：用运算律做简便运算不熟练，容易出错。
师总结：问题集中在两个方面。一是对个别运算律的理解不透彻；二是应用运算律不够熟练。
【评析：对课前整理展开交流讨论和全班展示，让个体智慧在群体中产生碰撞，形成整理知识的方法，对研究问题达成共识；通过自我回顾和反馈发现问题，为进一步探究做准备。】
四、理解感悟
1.数形结合，加深理解
（1）直观感受加法和乘法的交换律
师：猜一猜，除了用字母或数字表示运算律，还可以怎样表示运算律？
生：图形。
师呈现图1。
师提问：这两幅图形里隐藏着哪个运算律？你是怎样想的？
学生独立观察并思考。
生答：第一幅图中交换a、b两根线段的位置，长度不变。表示a+b=b+a，是加法交换律；第二幅图用长上a个乘宽上b个或者用宽上b个乘长上a个，都能求出◇的个数。表示a×b=b×a，是乘法交换律。
师：闭上眼睛回想一下用怎样的图形表示了什么运算律，再和同桌说一说。
（2）借助直观猜想加法结合律
师：猜想一下，加法结合律可以用图形怎样表示？想好后和同桌交流。
生汇报：从加法交换律受到启发，可以用三根线段分别表示a、b、c，可以先将前两根线段合起来，也可以先把后两根线段合并……
师呈现直观图2。全班学生认可。
（3）小组讨论乘法结合律和分配律
师呈现动图3，学生仔细观看。
师：确定看明白了就想一想对应的运算律，再在小组内展开讨论。
生1汇报：第一组图形都是要求正方体个数。可以先算a×b求出横着一层个数，再和c相乘；也可以先算b×c求出截面个数再乘a，也就是（a×b）×c=a×（b×c），表示乘法结合律。
生2汇报：第二组图形都是求两个长方形面积。可以先算a+b求出大长方形的长，再和宽c相乘；也可以分别求出a×c和b×c，再相加，也就是（a+b）×c=a×c+b×c，表示乘法分配律。
学生评价交流。
（4）独立寻找乘法对减法的分配律和减法性质
师：拿出作业纸，尝试找一找这两幅图形中的运算律。（呈现图4）
学生独立尝试后自觉组内交流。
生1汇报：第一幅图是求粉色面积。可以用a-b的差和c相乘，也可以用大长方形面积a×c减去小长方形面积b×c。这就得出（a-b）×c=a×c-b×c，像乘法分配律。
师：乘法分配律包括乘法对加法的分配和乘法对减法的分配。
生2汇报：第二幅图是求最后一段长度。可以从a中先去掉b再去掉c，也可以先去掉c再去掉b，或者去掉b和c的和。得出a-b-c=a-c-b=a-（b+c），这个是减法性质。
2.沟通联系，加深体会
呈现图5，师生共同观察。
師：用直观图表示运算律，感觉如何？
生：理解起来更简单。
师：要想结合图形理解运算律，是否有更快的联想方法？你能和大家分享经验吗？
学生独立思考后组内交流。
生分享：加法运算律和减法性质只要用线段图就可以表示乘法运算律必须借助长方形或长方体表示。
3.抽象概括，把握本质
师：结合图形，观察对应的运算律。这些运算律左右两边什么变了，什么没变？ 学生组内讨论得出：运算顺序不同而结果相等。
教师板书并指出：这是运算律的特点。
【评析：利用直观图，通过独立思考、空间想象、小组讨论及自主尝试等多种学习形式，将数形结合，理解运算律的同时加强彼此之间的联系，提升建模质量。】
五、提升策略
1.体会运算律和运算的一致性
师：学习运算律有什么作用？
生：为了简便运算。
师：只有简便运算中存在运算律吗？
学生思考片刻纷纷回答：不是，加法和乘法计算的验算方法就是运用交换律……
师生共同观察加法、乘法笔算过程，体会运算中的运算律。呈现动图6
生1答：加法笔算用到了交换律，相同数位的数相加运用加法结合律；乘法计算中先分步计算，再将两次的结果相加，这个过程运用乘法分配律。
师生共同评价。
师：原来，运算律一直存在运算中。随着年龄的增长，我们可以将运算律熟练地运用，就能使得计算变得简单快捷，这就是简便运算。
2.应用类比形成策略
（1）应用类比
师提问：任意一道计算题都能直接简便计算吗？
生回答：不能。得先观察，看看能不能凑成整十、整百、整千……
师总结并板书（可凑整）。
呈现习题：64×37+37×36= 98+202= 44×25=
师：观察这组习题是否具备简便计算的特点？
生1答：它们都可以凑整。
生2答：第一题直接应用乘法分配律把64和36相加凑成整百，再和37相乘。（师板书符合运算律形式）
生3答：后两道题目不符合运算律形式，需要变变形。
教师鼓励学生独立完成后两题再在小组内交流。
生1答：把202拆分成200+2再和98相加。
生2答：用100-2代替98，用202分成200+2，再相加。
生3答：计算44×25，可以将44拆分乘40+5再分别和25相乘，这样就能运用乘法分配律简便计算。
生4答：计算44×25，也可以将44拆成4×11再乘25，这样就能运用乘法交换律和乘法结合律简便计算。
生5答……
师小结：变形的目的就是为了把原式变成符合运算律的形式，方便应用简算。
师呈现学生所有方法图7，并板书“可拆分”。
师提问：对比原式，想一想在变形时应注意什么？
学生独立思考后小组内展开讨论。
生1汇报：无论把98+202怎么变，都仍然表示把98和202合起来；无论把25×44怎么变，都仍然表示求25和44的乘积。
生2汇报：無论如何变形，数字大小不变，原式的意义不改变。
师小结并板书（与原式一致），并指出无论多么复杂的变式都必须遵循这个原则，才能保证变形前后的结果相等。
（2）应用提升
294-36-64 48×101-48 87+46+13+54 102×45
呈现一组习题，学生独立完成并说一说应用什么运算律简便计算的。
3.自我反思找原因
师谈话：大家回顾本单元知识时，反映简便计算容易出错，通过刚才的整理与练习，反思一下原来易错的原因。
学生反思并回答：考虑不周全……
【评析：从学生熟知的运算中体会运算律与运算的一致性，再次感受运算律的价值。在具体应用中经过不断反思与总结，逐步抽象概括出应用运算律简便计算的注意点，形成策略，为后继进一步拓展奠定基础。】
六、回顾梳理
师：回过头去看一看，我们本节课走过了哪些路，收获了哪些风景？
学生思考后汇报，教师一一呈现图8
【评析：以板块式回顾、呈现本节课教学流程，帮助学生固化知识结构，有效梳理和反思，凸显整理练习课的优势。】
七、布置作业
师：本节课整理出加法和乘法的运算律以及减法性质，猜猜看可能还会存在什么运算定律或性质呢？
生：除法的……
师：课后完成整理与练习的第6题，并将自己发现的规律尝试用字母表示。
【评析：通过猜想和实践，鼓励学生自主抽象概括，使学习活动从课内延伸到课外，给学生提供更为广阔和开放的学习空间，达到学习质量的个体化和最优化。】
【总评】
作为整理与练习课，本节课设计很有特色，教学效果也很好。具体来说体现在以下三个方面：
第一，巧用自主整理，激发学习兴趣。本节课第一个环节是回顾与整理。课前老师就把这个学习任务交给学生，此类前置性安排让每一个学生都拥了自主整理的时间，更拥有了挑战困难的空间，如遇到困难时可以查资料，甚至可以参考别人的整理方案等。课堂上基于自主整理的分享与讨论，不仅让运算律之间的多重联系得以构建，而且让灵动的、多样的整理方法得以显现，如分类、列表、画图等，多样化表征也激发了学生的学习兴趣。
第二，妙用数形结合，突破学习难点。教学实践中不难发现，单独学习某个运算律的时候，学生并不会感到很困难，然而到了综合应用的时候，各种错误就会出现，有些错误甚至是顽固地、反复地出现。究其原因，正是本节课上学生自主整理、自主反思后得到的：对个别运算律的理解不透彻。该难点如何突破？在本节课上，老师通过设问：“猜一猜，除了用字母或数字表示运算律，还可以怎样表示运算律？”巧妙将学生的思维方式由抽象转换为形象，引导学生借助线段图、面积图、体积图等几何直观表示运算律，不仅丰富了运算律的表征形式，更有利于运算律的直觉理解和把握。
第三，丰富应用形态，提升学习能力。在已有的运算律学习中，学生对运算律的应用一般仅仅定位于验算、简便计算等方面。本节课上，老师十分注重打破此类固有的、狭隘的认识，通过对已有竖式计算的回望、简便计算的拓展，丰富学生对运算律的价值认识，完善认知结构，提升学习能力。
【作者简介】
李晓飞，睢宁县古邳镇中心小学教师，徐州市学科带头人，获江苏省第十四届“蓝天杯”小学数学会课一等奖。
朱洁芬，江苏省如东县掘港小学党支部书记、副校长。教育硕士，高级教师，江苏省小学数学特级教师，江苏省师德先进个人，南通市“226高层次人才培养工程”中青年科学技术带头人，如东县专业技术拔尖人才，如东县“园丁奖”获得者。曾当选南通市党代表、如东县人大代表等。
1.经过自主整理，形成整理方法，自我反思查漏补缺；借助数形结合进一步理解运算律；在应用运算律过程中总结简便方法；掌握运算律结果相等而运算顺序不同的本质。
2.经历整理与练习的过程，培养观察、比较、分析、抽象、概括等逻辑思维能力，体会化归思想，形成简单的数学模型。
3.在自主探究、小组合作学习中感受成功的乐趣，增强协作意识，促生数学亲昵感。
【教学重点、难点】
深刻理解运算律并能灵活应用形成方法。
【教学过程】
一、 自主先学
课前尝试整理《运算律》。
要求：
1.回顾本单元的运算律，你能举例说明并用字母表示吗？能用喜欢的方法整理一下吗？
2.通过整理，想一想哪些地方还存在困难或问题。
提示：课前完成，可以查资料，也可参照优秀的整理方案。
二、小组讨论
师要求：先在组内展示作业，交流并讨论整理方法。并推选出代表做好交流汇报的准备。
学生小组交流讨论。
三、交流展示
1.分享成果
生1汇报：本单元学习五个运算律，我按运算分为加法和乘法两类整理，分别是……我整理得怎么样？
生总评：整理得很好。
师追问：好在哪里？
生评价：用分类和列表的方法整理，看起来更清晰。
生2汇报：我把运算律分为交换律、结合律和分配律三类整理，用画图方法。
生质疑：你是怎样想到这个方法的呢？
生2释疑：对比这些运算律，就能发现加法、乘法交换律都是交换了两个数的位置；结合律就是只改变运算顺序。
师生共同体会运算律之间的关系。
师引导：对学过的知识进行整理有什么好处？整理有哪些方法？
学生补充得出：先分类，再用列表或画图方法，教师板书并介绍其他整理方法。
2.查漏补缺
师提问：通过对本单元的回顾整理，还有哪些地方存在困难或问题？
生1、生2、生……：对XXXXX运算律的理解不太清楚。
生1、生2、生……：用运算律做简便运算不熟练，容易出错。
师总结：问题集中在两个方面。一是对个别运算律的理解不透彻；二是应用运算律不够熟练。
【评析：对课前整理展开交流讨论和全班展示，让个体智慧在群体中产生碰撞，形成整理知识的方法，对研究问题达成共识；通过自我回顾和反馈发现问题，为进一步探究做准备。】
四、理解感悟
1.数形结合，加深理解
（1）直观感受加法和乘法的交换律
师：猜一猜，除了用字母或数字表示运算律，还可以怎样表示运算律？
生：图形。
师呈现图1。
师提问：这两幅图形里隐藏着哪个运算律？你是怎样想的？
学生独立观察并思考。
生答：第一幅图中交换a、b两根线段的位置，长度不变。表示a+b=b+a，是加法交换律；第二幅图用长上a个乘宽上b个或者用宽上b个乘长上a个，都能求出◇的个数。表示a×b=b×a，是乘法交换律。
师：闭上眼睛回想一下用怎样的图形表示了什么运算律，再和同桌说一说。
（2）借助直观猜想加法结合律
师：猜想一下，加法结合律可以用图形怎样表示？想好后和同桌交流。
生汇报：从加法交换律受到启发，可以用三根线段分别表示a、b、c，可以先将前两根线段合起来，也可以先把后两根线段合并……
师呈现直观图2。全班学生认可。
（3）小组讨论乘法结合律和分配律
师呈现动图3，学生仔细观看。
师：确定看明白了就想一想对应的运算律，再在小组内展开讨论。
生1汇报：第一组图形都是要求正方体个数。可以先算a×b求出横着一层个数，再和c相乘；也可以先算b×c求出截面个数再乘a，也就是（a×b）×c=a×（b×c），表示乘法结合律。
生2汇报：第二组图形都是求两个长方形面积。可以先算a+b求出大长方形的长，再和宽c相乘；也可以分别求出a×c和b×c，再相加，也就是（a+b）×c=a×c+b×c，表示乘法分配律。
学生评价交流。
（4）独立寻找乘法对减法的分配律和减法性质
师：拿出作业纸，尝试找一找这两幅图形中的运算律。（呈现图4）
学生独立尝试后自觉组内交流。
生1汇报：第一幅图是求粉色面积。可以用a-b的差和c相乘，也可以用大长方形面积a×c减去小长方形面积b×c。这就得出（a-b）×c=a×c-b×c，像乘法分配律。
师：乘法分配律包括乘法对加法的分配和乘法对减法的分配。
生2汇报：第二幅图是求最后一段长度。可以从a中先去掉b再去掉c，也可以先去掉c再去掉b，或者去掉b和c的和。得出a-b-c=a-c-b=a-（b+c），这个是减法性质。
2.沟通联系，加深体会
呈现图5，师生共同观察。
師：用直观图表示运算律，感觉如何？
生：理解起来更简单。
师：要想结合图形理解运算律，是否有更快的联想方法？你能和大家分享经验吗？
学生独立思考后组内交流。
生分享：加法运算律和减法性质只要用线段图就可以表示乘法运算律必须借助长方形或长方体表示。
3.抽象概括，把握本质
师：结合图形，观察对应的运算律。这些运算律左右两边什么变了，什么没变？ 学生组内讨论得出：运算顺序不同而结果相等。
教师板书并指出：这是运算律的特点。
【评析：利用直观图，通过独立思考、空间想象、小组讨论及自主尝试等多种学习形式，将数形结合，理解运算律的同时加强彼此之间的联系，提升建模质量。】
五、提升策略
1.体会运算律和运算的一致性
师：学习运算律有什么作用？
生：为了简便运算。
师：只有简便运算中存在运算律吗？
学生思考片刻纷纷回答：不是，加法和乘法计算的验算方法就是运用交换律……
师生共同观察加法、乘法笔算过程，体会运算中的运算律。呈现动图6
生1答：加法笔算用到了交换律，相同数位的数相加运用加法结合律；乘法计算中先分步计算，再将两次的结果相加，这个过程运用乘法分配律。
师生共同评价。
师：原来，运算律一直存在运算中。随着年龄的增长，我们可以将运算律熟练地运用，就能使得计算变得简单快捷，这就是简便运算。
2.应用类比形成策略
（1）应用类比
师提问：任意一道计算题都能直接简便计算吗？
生回答：不能。得先观察，看看能不能凑成整十、整百、整千……
师总结并板书（可凑整）。
呈现习题：64×37+37×36= 98+202= 44×25=
师：观察这组习题是否具备简便计算的特点？
生1答：它们都可以凑整。
生2答：第一题直接应用乘法分配律把64和36相加凑成整百，再和37相乘。（师板书符合运算律形式）
生3答：后两道题目不符合运算律形式，需要变变形。
教师鼓励学生独立完成后两题再在小组内交流。
生1答：把202拆分成200+2再和98相加。
生2答：用100-2代替98，用202分成200+2，再相加。
生3答：计算44×25，可以将44拆分乘40+5再分别和25相乘，这样就能运用乘法分配律简便计算。
生4答：计算44×25，也可以将44拆成4×11再乘25，这样就能运用乘法交换律和乘法结合律简便计算。
生5答……
师小结：变形的目的就是为了把原式变成符合运算律的形式，方便应用简算。
师呈现学生所有方法图7，并板书“可拆分”。
师提问：对比原式，想一想在变形时应注意什么？
学生独立思考后小组内展开讨论。
生1汇报：无论把98+202怎么变，都仍然表示把98和202合起来；无论把25×44怎么变，都仍然表示求25和44的乘积。
生2汇报：無论如何变形，数字大小不变，原式的意义不改变。
师小结并板书（与原式一致），并指出无论多么复杂的变式都必须遵循这个原则，才能保证变形前后的结果相等。
（2）应用提升
294-36-64 48×101-48 87+46+13+54 102×45
呈现一组习题，学生独立完成并说一说应用什么运算律简便计算的。
3.自我反思找原因
师谈话：大家回顾本单元知识时，反映简便计算容易出错，通过刚才的整理与练习，反思一下原来易错的原因。
学生反思并回答：考虑不周全……
【评析：从学生熟知的运算中体会运算律与运算的一致性，再次感受运算律的价值。在具体应用中经过不断反思与总结，逐步抽象概括出应用运算律简便计算的注意点，形成策略，为后继进一步拓展奠定基础。】
六、回顾梳理
师：回过头去看一看，我们本节课走过了哪些路，收获了哪些风景？
学生思考后汇报，教师一一呈现图8
【评析：以板块式回顾、呈现本节课教学流程，帮助学生固化知识结构，有效梳理和反思，凸显整理练习课的优势。】
七、布置作业
师：本节课整理出加法和乘法的运算律以及减法性质，猜猜看可能还会存在什么运算定律或性质呢？
生：除法的……
师：课后完成整理与练习的第6题，并将自己发现的规律尝试用字母表示。
【评析：通过猜想和实践，鼓励学生自主抽象概括，使学习活动从课内延伸到课外，给学生提供更为广阔和开放的学习空间，达到学习质量的个体化和最优化。】
【总评】
作为整理与练习课，本节课设计很有特色，教学效果也很好。具体来说体现在以下三个方面：
第一，巧用自主整理，激发学习兴趣。本节课第一个环节是回顾与整理。课前老师就把这个学习任务交给学生，此类前置性安排让每一个学生都拥了自主整理的时间，更拥有了挑战困难的空间，如遇到困难时可以查资料，甚至可以参考别人的整理方案等。课堂上基于自主整理的分享与讨论，不仅让运算律之间的多重联系得以构建，而且让灵动的、多样的整理方法得以显现，如分类、列表、画图等，多样化表征也激发了学生的学习兴趣。
第二，妙用数形结合，突破学习难点。教学实践中不难发现，单独学习某个运算律的时候，学生并不会感到很困难，然而到了综合应用的时候，各种错误就会出现，有些错误甚至是顽固地、反复地出现。究其原因，正是本节课上学生自主整理、自主反思后得到的：对个别运算律的理解不透彻。该难点如何突破？在本节课上，老师通过设问：“猜一猜，除了用字母或数字表示运算律，还可以怎样表示运算律？”巧妙将学生的思维方式由抽象转换为形象，引导学生借助线段图、面积图、体积图等几何直观表示运算律，不仅丰富了运算律的表征形式，更有利于运算律的直觉理解和把握。
第三，丰富应用形态，提升学习能力。在已有的运算律学习中，学生对运算律的应用一般仅仅定位于验算、简便计算等方面。本节课上，老师十分注重打破此类固有的、狭隘的认识，通过对已有竖式计算的回望、简便计算的拓展，丰富学生对运算律的价值认识，完善认知结构，提升学习能力。
【作者简介】
李晓飞，睢宁县古邳镇中心小学教师，徐州市学科带头人，获江苏省第十四届“蓝天杯”小学数学会课一等奖。
朱洁芬，江苏省如东县掘港小学党支部书记、副校长。教育硕士，高级教师，江苏省小学数学特级教师，江苏省师德先进个人，南通市“226高层次人才培养工程”中青年科学技术带头人，如东县专业技术拔尖人才，如东县“园丁奖”获得者。曾当选南通市党代表、如东县人大代表等。