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摘 要：以生活素材为依托，以构建模型为手段，以解决问题为目标，以提高实践能力为归宿，本文按“生活场景——数学思考——呈现问题——解决问题——拓展引伸——反思提升”顺序再现了一个教学素材的提取、打磨、升华及转化的内化过程。
关键词：生活场景；建立模型；教学反思
曾经在一个集市上，一个真实的数学案例吸引了我，现就此情况分析下他们之间的微妙的数学关系。
1.争执起因
由于农村受生活条件所限，“以物换物”想象十分普遍。这次起因就是源于“以物换物”的交易行为所致。集市上商贩欲用自家。产的苹果换农民的白薯（有地方也称地瓜），双方商定的交易规则是“一斤苹果换三斤白薯”。在交易过程中，商贩提议为了交易的方便，换算重量时，双方都不计皮重（即不扣除盛苹果和白薯的柳筐的重量）。两次交易结束后，农民提出交涉，认为自己吃亏了，商贩认为换算时双方的货物重量都包括了皮重，因此双方各执一词，争执不下。
2.数学思考
上述交易规则确实公平吗？恰逢笔者正酝酿七年级期末测试卷，遂加工成一个数学问题呈现出来。
第1稿：农村经常见到以物换物的现象。商贩拿着自家产的大米去换果农结的苹果，交易规则是“一斤大米换三斤苹果”，交易时为了倒腾方便，带桶称重换算。
（1）这种计重方式，公平吗？如果不公平，谁合算？
（2）假设桶重1斤，商贩用10斤大米换回30斤苹果的交易结束后，谁吃亏了？吃亏多少？
由于学生生活经验有限，笔者担心学生不能很好地理解“带桶称重”涵义，故在第2稿时，加了括号说明。同时考虑到作为一个试卷压轴题，欲增加试题难度，故又编制了第（3）小题。
第2稿：农村经常见到以物换物的现象。商贩拿着自家产的大米去换果农结的苹果，交易规则是“一斤大米换三斤苹果”，交易时为了倒腾方便，带桶称重换算（即双方称重完毕时，不去掉桶的重量）。
（1）这种计重方式，公平吗？如果不公平，谁合算？
（2）假设桶重1斤，商贩用1 0斤大米换回30斤苹果（带桶称重）的交易结束后，谁吃亏了？吃亏多少？
（3）小明妈妈只记得上次交易后换回家的大米比拿出的苹果少了30斤，请你算一下，商贩应再补给小明家多少斤大米？
考虑到学生对题意理解可能有误，故对第（3）小题的大米和苹果的重量又做了明确说明（指出是实际重量）。
终稿：农村经常见到以物换物的现象。商贩拿着自家产的大米去换果农结的苹果，交易规则是“一斤大米换三斤苹果”，交易时为了倒腾方便，带桶称重换算（即双方称重完毕时，不去掉桶的重量）。
（1）这种计重方式，公平吗？如果不公平，谁合算？
（2）假设桶重1斤，商贩用1 0斤大米换回30斤苹果（带桶称重）的交易结束后，谁吃亏了？吃亏多少？
（3）小明妈妈只记得上次交易后换回家的大米实际重量比拿出的苹果实际重量少了30斤，请你算一下，商贩应再补给小明家多少斤大米？
3.阅卷反馈
（1）试题简解
（1）、（2）（略）；
（3）设小明妈妈上次交易后换回家的大米是x斤，则她拿出的苹果是（x+30）斤根据题意得：3（x+1）=（x+30）+1，解得：x=14，所以小明妈妈拿出的苹果是：14+30=44（斤），■-14=■（斤），所有商贩应再补给小明家■（斤）大米。
（2）新颖解法及典型错误
新颖解法1，学生间接设从家拿出的苹果重量为x斤
解：设苹果实际重量为X斤，
X+1=3（X-30+1） X=44 44-30=14（斤） 14*3=42（斤） 44-42=2（斤）
因为 大米质量比苹果质量少30斤，所以 大米15斤，苹果45斤，
15-1=14 45-1=44 3*14=42（斤） 44-42=2（斤）
2/3=2/3 答：商販应该再补偿给小明家2/3斤大米...................解2
新颖解法2，利用数值差是30，且两数具有3倍关系，直接分析得到苹果和大米的重量（见解2）
典型错误1，误认为“交易后换回家的大米实际重量比拿出的苹果实际重量少了30斤”是小明妈妈多拿出了30斤苹果
解一：解：设补给小明家X斤大米。
3*X=30 X=10 答：补给小明家10斤大米。
解二：30/3=10（斤）答：补给小明家10斤大米。
解三：解：设应补给小明X斤大米。
30+X=3X X=15 答：应补给小明家15斤大米
典型错误2，错误原因同错误1，但采用直接求值法（见解二）：
典型错误3，认识混乱，胡乱建模（解三）：
（3）成绩分析
本题预设难度系数是0.70，但从抽样统计来看，各小题的平均分值分别是：（1）小题1.8分，（2）小题2.5分，（3）小题是1.5分，总分5.8分没有达到预设目标。以第（3）小题为例，剖析原因可能有三个方面：
①学生思维混乱，不能准确理解题目信息
约有62%的考生不能准确理解“换回家的大米实际重量比拿出的苹果少30斤”的涵义，以致无从下手。
②学生不能构造模型求解
七年级学生在思维层面仍停留在直觉分析阶段，不能较好地通过引入未知数构建方程求解，且一部分学生虽知道构建方程模型，但未知数设法不妥，导致所列方程错误。从抽样来看，约有33.4%的考生虽然能够理解题意中的数量关系，但是不能准确建模。
③学生不能娴熟地求解方程
有的学生列出了正确的方程■=x+1 （x代表小明妈妈换回家的大米重量），但求解过程出现知识性错误；
4.反思与建议
（1）考后反思：
从阅卷看，本题没达到理想分值的原因有三个：一是学生发现问题解决问题能力差。《义务教育阶段数学课程标准（2011版）》要求“初步学会从数学的角度发现问题和提出问题，综合运用数学知识解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力”。在第（3）小题的解答过程中，很多学生还停留在小学所学——竖式求解的方法，没有引入参数（未知数），构建方程的思想意识；二是解决问题方法不够丰富，实践能力差。从抽样试卷来看，部分学生不能通过间接设未知数的方法间接求解（大部分采取直接设未知数法），一味拘泥于对已知信息的挖掘；三是部分学生认为第（3）小题因为没有告知桶的重量，所以条件不全，无法操作。
（2）教学建议
①教学时力求把问题做好引伸拓展
本题至少可以按以下四个步骤做引伸拓展：
第一步，变换题中的数据，例如把“换回家的大米实际重量比拿出的苹果少30斤”换为“40斤”或“50斤”；
第二步，教师提问：“上述几例的解答结果为何总是‘商贩应补偿■斤大米’？”，让学生体会皮重与补偿数额的定值关系；
第三步，教师接着追问“假设桶的重量时2斤（或n斤）时，补偿大米的重量有何变化？”
第四步，教师追问，若保留“不扣皮重”的交易规则，如何补充（或完善）规定使得交易公平？
②教学时力求联系生活创设情境，做好基本功和思维拓展。
总之，我们的教学要与生活联系起来，就一定能够产生微妙的效果，使得我们的数学实际应用效果增强。
关键词：生活场景；建立模型；教学反思
曾经在一个集市上，一个真实的数学案例吸引了我，现就此情况分析下他们之间的微妙的数学关系。
1.争执起因
由于农村受生活条件所限，“以物换物”想象十分普遍。这次起因就是源于“以物换物”的交易行为所致。集市上商贩欲用自家。产的苹果换农民的白薯（有地方也称地瓜），双方商定的交易规则是“一斤苹果换三斤白薯”。在交易过程中，商贩提议为了交易的方便，换算重量时，双方都不计皮重（即不扣除盛苹果和白薯的柳筐的重量）。两次交易结束后，农民提出交涉，认为自己吃亏了，商贩认为换算时双方的货物重量都包括了皮重，因此双方各执一词，争执不下。
2.数学思考
上述交易规则确实公平吗？恰逢笔者正酝酿七年级期末测试卷，遂加工成一个数学问题呈现出来。
第1稿：农村经常见到以物换物的现象。商贩拿着自家产的大米去换果农结的苹果，交易规则是“一斤大米换三斤苹果”，交易时为了倒腾方便，带桶称重换算。
（1）这种计重方式，公平吗？如果不公平，谁合算？
（2）假设桶重1斤，商贩用10斤大米换回30斤苹果的交易结束后，谁吃亏了？吃亏多少？
由于学生生活经验有限，笔者担心学生不能很好地理解“带桶称重”涵义，故在第2稿时，加了括号说明。同时考虑到作为一个试卷压轴题，欲增加试题难度，故又编制了第（3）小题。
第2稿：农村经常见到以物换物的现象。商贩拿着自家产的大米去换果农结的苹果，交易规则是“一斤大米换三斤苹果”，交易时为了倒腾方便，带桶称重换算（即双方称重完毕时，不去掉桶的重量）。
（1）这种计重方式，公平吗？如果不公平，谁合算？
（2）假设桶重1斤，商贩用1 0斤大米换回30斤苹果（带桶称重）的交易结束后，谁吃亏了？吃亏多少？
（3）小明妈妈只记得上次交易后换回家的大米比拿出的苹果少了30斤，请你算一下，商贩应再补给小明家多少斤大米？
考虑到学生对题意理解可能有误，故对第（3）小题的大米和苹果的重量又做了明确说明（指出是实际重量）。
终稿：农村经常见到以物换物的现象。商贩拿着自家产的大米去换果农结的苹果，交易规则是“一斤大米换三斤苹果”，交易时为了倒腾方便，带桶称重换算（即双方称重完毕时，不去掉桶的重量）。
（1）这种计重方式，公平吗？如果不公平，谁合算？
（2）假设桶重1斤，商贩用1 0斤大米换回30斤苹果（带桶称重）的交易结束后，谁吃亏了？吃亏多少？
（3）小明妈妈只记得上次交易后换回家的大米实际重量比拿出的苹果实际重量少了30斤，请你算一下，商贩应再补给小明家多少斤大米？
3.阅卷反馈
（1）试题简解
（1）、（2）（略）；
（3）设小明妈妈上次交易后换回家的大米是x斤，则她拿出的苹果是（x+30）斤根据题意得：3（x+1）=（x+30）+1，解得：x=14，所以小明妈妈拿出的苹果是：14+30=44（斤），■-14=■（斤），所有商贩应再补给小明家■（斤）大米。
（2）新颖解法及典型错误
新颖解法1，学生间接设从家拿出的苹果重量为x斤
解：设苹果实际重量为X斤，
X+1=3（X-30+1） X=44 44-30=14（斤） 14*3=42（斤） 44-42=2（斤）
因为 大米质量比苹果质量少30斤，所以 大米15斤，苹果45斤，
15-1=14 45-1=44 3*14=42（斤） 44-42=2（斤）
2/3=2/3 答：商販应该再补偿给小明家2/3斤大米...................解2
新颖解法2，利用数值差是30，且两数具有3倍关系，直接分析得到苹果和大米的重量（见解2）
典型错误1，误认为“交易后换回家的大米实际重量比拿出的苹果实际重量少了30斤”是小明妈妈多拿出了30斤苹果
解一：解：设补给小明家X斤大米。
3*X=30 X=10 答：补给小明家10斤大米。
解二：30/3=10（斤）答：补给小明家10斤大米。
解三：解：设应补给小明X斤大米。
30+X=3X X=15 答：应补给小明家15斤大米
典型错误2，错误原因同错误1，但采用直接求值法（见解二）：
典型错误3，认识混乱，胡乱建模（解三）：
（3）成绩分析
本题预设难度系数是0.70，但从抽样统计来看，各小题的平均分值分别是：（1）小题1.8分，（2）小题2.5分，（3）小题是1.5分，总分5.8分没有达到预设目标。以第（3）小题为例，剖析原因可能有三个方面：
①学生思维混乱，不能准确理解题目信息
约有62%的考生不能准确理解“换回家的大米实际重量比拿出的苹果少30斤”的涵义，以致无从下手。
②学生不能构造模型求解
七年级学生在思维层面仍停留在直觉分析阶段，不能较好地通过引入未知数构建方程求解，且一部分学生虽知道构建方程模型，但未知数设法不妥，导致所列方程错误。从抽样来看，约有33.4%的考生虽然能够理解题意中的数量关系，但是不能准确建模。
③学生不能娴熟地求解方程
有的学生列出了正确的方程■=x+1 （x代表小明妈妈换回家的大米重量），但求解过程出现知识性错误；
4.反思与建议
（1）考后反思：
从阅卷看，本题没达到理想分值的原因有三个：一是学生发现问题解决问题能力差。《义务教育阶段数学课程标准（2011版）》要求“初步学会从数学的角度发现问题和提出问题，综合运用数学知识解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力”。在第（3）小题的解答过程中，很多学生还停留在小学所学——竖式求解的方法，没有引入参数（未知数），构建方程的思想意识；二是解决问题方法不够丰富，实践能力差。从抽样试卷来看，部分学生不能通过间接设未知数的方法间接求解（大部分采取直接设未知数法），一味拘泥于对已知信息的挖掘；三是部分学生认为第（3）小题因为没有告知桶的重量，所以条件不全，无法操作。
（2）教学建议
①教学时力求把问题做好引伸拓展
本题至少可以按以下四个步骤做引伸拓展：
第一步，变换题中的数据，例如把“换回家的大米实际重量比拿出的苹果少30斤”换为“40斤”或“50斤”；
第二步，教师提问：“上述几例的解答结果为何总是‘商贩应补偿■斤大米’？”，让学生体会皮重与补偿数额的定值关系；
第三步，教师接着追问“假设桶的重量时2斤（或n斤）时，补偿大米的重量有何变化？”
第四步，教师追问，若保留“不扣皮重”的交易规则，如何补充（或完善）规定使得交易公平？
②教学时力求联系生活创设情境，做好基本功和思维拓展。
总之，我们的教学要与生活联系起来，就一定能够产生微妙的效果，使得我们的数学实际应用效果增强。