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[摘 要]面积的概念是抽象的，是学生建立空间观念的重要内容，具有承上启下的建构意义。因此，教师应合理利用学生已有的知识和经验，注重教学内容的选择和教学过程的安排，将面积概念的教学最优化。
[关键词]面积 学情 教材 有效建构
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2015）35-022
[课前思考]
追问一：什么是角？
基于学生的认知水平，苏教版小学数学教材二年级下册采用举例描述的方法指出什么是角，并介绍了角的各部分名称。从对教材内容静态呈现的理解来看，很多教师把角看成是自一点朝两个不同方向延伸的两条射线的框架结构，把“一个顶点，两条直直的边”看作角的概念的本质特征，认为学生只要认识了角的构成要素（顶点、边），就等同于正确感知角的概念了。于是，在找角、指角的活动中，学生只需指出角的顶点及边即可。
如此教学，如何理解《几何原本》中对角的定义“平面角是在一平面内但不在一条直线上的两条相交线相互的倾斜度”？如何解释角是有度数可测量的？究竟什么是角的概念的内涵？
作为一个数学概念，角的定义主要有以下两个方面：（1）角的静态定义，即有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边;（2）角的动态定义，即由一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角。射线的端点叫做角的顶点，起始位置的射线叫做角的始边，终止位置的射线叫做角的终边。从上述定义中可以清楚地知道角的各部分名称，但有以下几点模糊不清：第一，角是“……组成的图形”“……旋转形成的图形”，那角是指图形中的什么？角在哪儿？第二，角的两条边既然是射线，那么仅凭所画角的边的长短是不能决定角的外在形态的，因为角的边长并非角的本质属性，那么角的本质属性是什么？我们知道角是有大小的，角的概念的本质内涵应体现在角的大小上，即角的大小是由具有公共端点的两条射线所夹的部分决定的。
追问二：小弧线仅是角的标记吗？
苏教版小学数学教材二年级下册（2001版）由具体实物的面上抽象出的角没有标上小弧线，而修订后的教材抽象出的角标上了小弧线。同时，修订后的《教师教学用书》中指出“抽象出角的图形后，可以在角的图形里画‘弧线’表示出角，以后我们可以用这样的方法表示角”，这细节的变化意味着什么？
课堂教学中，教师对角中的小弧线是如何处理的呢？有的教师只是在表示角的时候随手标上，并没有向学生说明;有的教师则是这样向学生介绍的“在数学中，为了更清晰地表示一个角，还会给角加上一条弯弯的线来表示这是一个角”。于是，小弧线成为角的一个形式化标志，但它仅仅只是角的标志吗？
上文中提到，角的概念的本质内涵体现在角的大小上，而決定角的大小是角的张口的大小。如图1，∠2包含∠1，也就是∠2的张口大于∠1，所以∠2大于∠1。《基本概念与运算法则》（史宁中著）一书中指出：“可以利用图2来定义角的大小，即角的大小是由角所对应的单位圆的弦长决定的，或者说是由这个角所对应的单位圆的弧长决定的，而单位圆半径的大小是人为确定的。”据此，我们画角时所标记的小弧线，可以理解为具有单位圆的弧长的特质，它旨在揭示角是由具有公共端点的两条射线所夹的部分决定的。也就是说，角的本质内涵体现在角的张口的大小上，而“一个顶点，两条直直的边”仅是构成角的基本要素。
图1
[关键词]面积 学情 教材 有效建构
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2015）35-022
[课前思考]
追问一：什么是角？
基于学生的认知水平，苏教版小学数学教材二年级下册采用举例描述的方法指出什么是角，并介绍了角的各部分名称。从对教材内容静态呈现的理解来看，很多教师把角看成是自一点朝两个不同方向延伸的两条射线的框架结构，把“一个顶点，两条直直的边”看作角的概念的本质特征，认为学生只要认识了角的构成要素（顶点、边），就等同于正确感知角的概念了。于是，在找角、指角的活动中，学生只需指出角的顶点及边即可。
如此教学，如何理解《几何原本》中对角的定义“平面角是在一平面内但不在一条直线上的两条相交线相互的倾斜度”？如何解释角是有度数可测量的？究竟什么是角的概念的内涵？
作为一个数学概念，角的定义主要有以下两个方面：（1）角的静态定义，即有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边;（2）角的动态定义，即由一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角。射线的端点叫做角的顶点，起始位置的射线叫做角的始边，终止位置的射线叫做角的终边。从上述定义中可以清楚地知道角的各部分名称，但有以下几点模糊不清：第一，角是“……组成的图形”“……旋转形成的图形”，那角是指图形中的什么？角在哪儿？第二，角的两条边既然是射线，那么仅凭所画角的边的长短是不能决定角的外在形态的，因为角的边长并非角的本质属性，那么角的本质属性是什么？我们知道角是有大小的，角的概念的本质内涵应体现在角的大小上，即角的大小是由具有公共端点的两条射线所夹的部分决定的。
追问二：小弧线仅是角的标记吗？
苏教版小学数学教材二年级下册（2001版）由具体实物的面上抽象出的角没有标上小弧线，而修订后的教材抽象出的角标上了小弧线。同时，修订后的《教师教学用书》中指出“抽象出角的图形后，可以在角的图形里画‘弧线’表示出角，以后我们可以用这样的方法表示角”，这细节的变化意味着什么？
课堂教学中，教师对角中的小弧线是如何处理的呢？有的教师只是在表示角的时候随手标上，并没有向学生说明;有的教师则是这样向学生介绍的“在数学中，为了更清晰地表示一个角，还会给角加上一条弯弯的线来表示这是一个角”。于是，小弧线成为角的一个形式化标志，但它仅仅只是角的标志吗？
上文中提到，角的概念的本质内涵体现在角的大小上，而決定角的大小是角的张口的大小。如图1，∠2包含∠1，也就是∠2的张口大于∠1，所以∠2大于∠1。《基本概念与运算法则》（史宁中著）一书中指出：“可以利用图2来定义角的大小，即角的大小是由角所对应的单位圆的弦长决定的，或者说是由这个角所对应的单位圆的弧长决定的，而单位圆半径的大小是人为确定的。”据此，我们画角时所标记的小弧线，可以理解为具有单位圆的弧长的特质，它旨在揭示角是由具有公共端点的两条射线所夹的部分决定的。也就是说，角的本质内涵体现在角的张口的大小上，而“一个顶点，两条直直的边”仅是构成角的基本要素。
图1