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数学模型一般是实际事物的一种数学简化。建立数学模型的过程是把错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构的过程。如何有效的构建数学模型呢?前段时间,笔者有幸在“温州市小学特级教师大讲台” 活动中聆听了特级教师谢作长教学“植树问题”一课。谢老师引领学生利用一一对应思想理解棵数与间隔数之间的关系,并经历将实际问题抽象成植树问题模型的过程。现与大家浅谈自己的所思所悟。
一、以“树”造“型”——精选学习素材
数学模型的建构就是引导学生给生活中的数学卸下情境的“外妆”,以最本真、最简单的方式纳入原有知识结构,并应用于生活中再解决问题的过程。哪些素材能够调动学生的积极经验,又能成为植树问题模型的生活原型呢?谢老师在建模的不同阶段,为学生提供了不同层次服务于目标的学习素材。
1.身边的“树”
课前谈话:(1)不数,有什么办法知道我们班男同学多还是女同学多?(2)不数,有什么办法知道这些纸够不够你们每人一张?这两个问题蕴藏着一一对应的关系,同样也是植树问题中“树”和“间隔”的关系。
2.手中的“树”
课堂开始,当谢老师让学生举起左手,张开各指,那么手指也变成了“树”,两指间的空隙就成了“间隔”。当学生发现手指数和空隙数的关系,也正是获得初步感知间隔数和棵树之间关系的体验,为抽象植树问题模型提供生动的事实依据。
3.路上的“树”
本课探究的例题是:“在一条6米长的绿化带一边栽树 (两端要栽) 。如果让你来设计,你想每隔几米栽一棵?一共要栽几棵树?”这是典型植树问题,学生可以通过最真实的树,抽象出基本的植树问题模型。
4.心中的“树”
在拓展应用中,谢老师借助公交站点、锯木头、放鞭炮等不同的素材,通过“把什么想象成树,把什么想象成间隔”转换成植树问题来解决,不仅丰富了模型,同时在应用中促进模型的理解和内化。
二、植“树”构“型”——立体建构模型
建立数学模型的过程包括对实际问题进行提炼、抽象、简化,以及确立、求解、验证、解释、应用和拓展,可见成功建模不是容易的事情。谢老师却以他大气的设计、灵动的教学、生动的演绎,立体建构了植树问题模型。
1.在开放中自主探究
谢老师创造性地使用教材,在例题教学时把数据简单化、问题开放化,用简单的数据探究例题(把“200米”改成“6米”),大大降低了学生解决问题的难度,节省了探究时间,提高了课堂效率。同时,谢老师把开放问题抛给学生(把“每隔5米栽1棵”改成“你想每隔几米栽一棵”),不仅为发现全长、每个间隔长度、间隔数、棵数间关系和探索规律提供丰富的素材,同时也很好地处理了学生间的差异问题。通过设计多种不同的方案,方便学生从生活现象中提炼出一个比较清晰的数学问题,并在观察比较中发现规律,有效服务于建模。
2.在递进中立体建模
建构数学模型就是引领学生对生活中实际问题进行抽丝剥茧,抓住问题实质,进而联想、探索、猜测、验证,最后抽象出简单模型的过程。谢老师在课堂上就是如此立体建构植树问题模型:
(1)6米植树问题反馈汇报不同方案时,让学生初步感知各数量间的联系和规律;(2)200米植树应用时让学生先产生质疑,丰富了植树问题原型,并通过用一一对应的思想来验证,从而抽象出简单植树问题模型;(3)引导想象“如果不是两端都种,又会怎样”,发散学生思维,引出两端都不种和只种一端的情况,建立一个完整的植树问题模型;(4)“在我们的头脑里想象……”,通过课件演示把植树问题模型储存并内化。
3.在变化中迁移思想
教材例1是仅仅研究两端都种的情况,例2才是两端都不种,而且把非“植树”却可以看成植树问题的一般都是在拓展练习中呈现。教材的这种编排方式告诉我们,对学生来说植树问题数学建模一次完成几乎不可能。谢老师则提问“如果不是两端都种,情况又会是怎样”,让学生借助图文,运用一一对应的思想,理解实际植树问题中的三种不同情况:两端都种是一一对应后多1棵树;两端都不种,一一对应后多1个间隔;只种一端,刚好一一对应。在理解的基础上,使植树模型的建构逐渐清晰饱满。
4.在直观中抽象模型
数学模型的一个重要特点就在于其所具有的抽象性。谢老师在教学中运用“数形结合”的教学手段和“巧用声效”的多媒体手段,通过直观、生动的演示,帮助学生抽象出植树问题模型。
(1)数形结合。“把路的一边看作线,用点来表示树。”谢老师巧妙的引导,使抽象的植树问题转移到直观的线段图上操作。在探究与观察的过程中,用图的直观诠释数的抽象,借图的精炼抽象植树问题的模型。(2)巧用声效。 课件制作中运用了大量声效,特别在验证“间隔数 1=棵数”的环节,一组组不同的色彩和“叮当叮当……”的栽树拟声效果牢牢抓住了学生的视觉与听觉,突显一树一间隔的对应思想,声情并茂地破解了建模植树问题的密码。
三、想“树”整“型”——拓展应用模型
数学建模过程不仅仅是将现实问题抽象成数学模型,还应该包括模型的拓展。谢老师通过设问“把什么想象成树,把什么想象成间隔”,将锯木头、摆凳子、公交站、放鞭炮等转化成植树问题来解决,应用植树问题模型,丰富了模型的内涵。
1.看得见的“假”的树
如:这排礼炮共有29个间隔,合()门礼炮。
A.28门B.29门C.30门
2.不容易看见却能“想象”的树
如:公交车从西站到东站全长10千米,相邻两站的距离是2千米。一共有多少个站点?
3.看不见却能“听得见”的树
如:一盒8响鞭炮,当听到第一个爆炸声开始计时,到第二声响起时,经过3秒钟。当听到最后一声响起时共经过几秒钟?
树不仅仅是“树”,不是树却也是“树”。 最后谢老师还让学生列举生活中的植树问题,通过寻找生活中的相似问题,继续纳入学生原有的知识结构中,与“植树问题”的模型联系起来,形成知识网络。把“树”植进了学生的脑海,赋予“树”独特生命和数学内涵。“树”不仅仅是学生心中的树,也是我们追寻的数学中的“树”。
(责编杜华)
一、以“树”造“型”——精选学习素材
数学模型的建构就是引导学生给生活中的数学卸下情境的“外妆”,以最本真、最简单的方式纳入原有知识结构,并应用于生活中再解决问题的过程。哪些素材能够调动学生的积极经验,又能成为植树问题模型的生活原型呢?谢老师在建模的不同阶段,为学生提供了不同层次服务于目标的学习素材。
1.身边的“树”
课前谈话:(1)不数,有什么办法知道我们班男同学多还是女同学多?(2)不数,有什么办法知道这些纸够不够你们每人一张?这两个问题蕴藏着一一对应的关系,同样也是植树问题中“树”和“间隔”的关系。
2.手中的“树”
课堂开始,当谢老师让学生举起左手,张开各指,那么手指也变成了“树”,两指间的空隙就成了“间隔”。当学生发现手指数和空隙数的关系,也正是获得初步感知间隔数和棵树之间关系的体验,为抽象植树问题模型提供生动的事实依据。
3.路上的“树”
本课探究的例题是:“在一条6米长的绿化带一边栽树 (两端要栽) 。如果让你来设计,你想每隔几米栽一棵?一共要栽几棵树?”这是典型植树问题,学生可以通过最真实的树,抽象出基本的植树问题模型。
4.心中的“树”
在拓展应用中,谢老师借助公交站点、锯木头、放鞭炮等不同的素材,通过“把什么想象成树,把什么想象成间隔”转换成植树问题来解决,不仅丰富了模型,同时在应用中促进模型的理解和内化。
二、植“树”构“型”——立体建构模型
建立数学模型的过程包括对实际问题进行提炼、抽象、简化,以及确立、求解、验证、解释、应用和拓展,可见成功建模不是容易的事情。谢老师却以他大气的设计、灵动的教学、生动的演绎,立体建构了植树问题模型。
1.在开放中自主探究
谢老师创造性地使用教材,在例题教学时把数据简单化、问题开放化,用简单的数据探究例题(把“200米”改成“6米”),大大降低了学生解决问题的难度,节省了探究时间,提高了课堂效率。同时,谢老师把开放问题抛给学生(把“每隔5米栽1棵”改成“你想每隔几米栽一棵”),不仅为发现全长、每个间隔长度、间隔数、棵数间关系和探索规律提供丰富的素材,同时也很好地处理了学生间的差异问题。通过设计多种不同的方案,方便学生从生活现象中提炼出一个比较清晰的数学问题,并在观察比较中发现规律,有效服务于建模。
2.在递进中立体建模
建构数学模型就是引领学生对生活中实际问题进行抽丝剥茧,抓住问题实质,进而联想、探索、猜测、验证,最后抽象出简单模型的过程。谢老师在课堂上就是如此立体建构植树问题模型:
(1)6米植树问题反馈汇报不同方案时,让学生初步感知各数量间的联系和规律;(2)200米植树应用时让学生先产生质疑,丰富了植树问题原型,并通过用一一对应的思想来验证,从而抽象出简单植树问题模型;(3)引导想象“如果不是两端都种,又会怎样”,发散学生思维,引出两端都不种和只种一端的情况,建立一个完整的植树问题模型;(4)“在我们的头脑里想象……”,通过课件演示把植树问题模型储存并内化。
3.在变化中迁移思想
教材例1是仅仅研究两端都种的情况,例2才是两端都不种,而且把非“植树”却可以看成植树问题的一般都是在拓展练习中呈现。教材的这种编排方式告诉我们,对学生来说植树问题数学建模一次完成几乎不可能。谢老师则提问“如果不是两端都种,情况又会是怎样”,让学生借助图文,运用一一对应的思想,理解实际植树问题中的三种不同情况:两端都种是一一对应后多1棵树;两端都不种,一一对应后多1个间隔;只种一端,刚好一一对应。在理解的基础上,使植树模型的建构逐渐清晰饱满。
4.在直观中抽象模型
数学模型的一个重要特点就在于其所具有的抽象性。谢老师在教学中运用“数形结合”的教学手段和“巧用声效”的多媒体手段,通过直观、生动的演示,帮助学生抽象出植树问题模型。
(1)数形结合。“把路的一边看作线,用点来表示树。”谢老师巧妙的引导,使抽象的植树问题转移到直观的线段图上操作。在探究与观察的过程中,用图的直观诠释数的抽象,借图的精炼抽象植树问题的模型。(2)巧用声效。 课件制作中运用了大量声效,特别在验证“间隔数 1=棵数”的环节,一组组不同的色彩和“叮当叮当……”的栽树拟声效果牢牢抓住了学生的视觉与听觉,突显一树一间隔的对应思想,声情并茂地破解了建模植树问题的密码。
三、想“树”整“型”——拓展应用模型
数学建模过程不仅仅是将现实问题抽象成数学模型,还应该包括模型的拓展。谢老师通过设问“把什么想象成树,把什么想象成间隔”,将锯木头、摆凳子、公交站、放鞭炮等转化成植树问题来解决,应用植树问题模型,丰富了模型的内涵。
1.看得见的“假”的树
如:这排礼炮共有29个间隔,合()门礼炮。
A.28门B.29门C.30门
2.不容易看见却能“想象”的树
如:公交车从西站到东站全长10千米,相邻两站的距离是2千米。一共有多少个站点?
3.看不见却能“听得见”的树
如:一盒8响鞭炮,当听到第一个爆炸声开始计时,到第二声响起时,经过3秒钟。当听到最后一声响起时共经过几秒钟?
树不仅仅是“树”,不是树却也是“树”。 最后谢老师还让学生列举生活中的植树问题,通过寻找生活中的相似问题,继续纳入学生原有的知识结构中,与“植树问题”的模型联系起来,形成知识网络。把“树”植进了学生的脑海,赋予“树”独特生命和数学内涵。“树”不仅仅是学生心中的树,也是我们追寻的数学中的“树”。
(责编杜华)