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数学题浩如烟海，我们不可能把所有题都做到，与其做很多题，不如把一道题做透，用不同的方法解决同一道题，对解题者的思维锻炼效果极佳.下面这道高考题我就找到了这么几种解法，拿出来和大家一起分享，也请大家不吝赐教.
例 (2009年广东卷21题)已知曲线Cn：x2-2nx+y2=0(n=1,2,…)，从点P（-1，0）向曲线Cn引斜率为Kn(Kn>0)的切线ln，切点为Pn(xn，yn).求数列{xn}与{yn}的通项公式.
分析 以数列的形式出现，实质是从曲线外一点向曲线引切线，求切点坐标问题.
思路一 方程思想，建立关于未知量xn，yn的方程组.
因为点(xn,yn)在曲线Cn上，满足Cn的方程，可得
x2n-2nxn+y2n=0.①
由x2-2nx+y2=0求导，可得y′x=n-xy.
有Kn=n-xnyn，由切线ln过点P（-1，0）和Pn(xn,yn)，有Kn=yn1+xn，得方程
n-xnyn=yn1+xn.②
联立①②，解得xn=nn+1，yn=nn+12n+1，n∈N+.
思路二 求交点、切点，即直线与曲线的交点.
设ln：y=Kn(x+1)，联立x2-2nx+y2=0，消y，得
(1+K2n)x2+(2Kn-2n)x+k2n=0.
因为直线与曲线相切，则
Δ=（2Kn-2n)2-4K2n(1+K2n)=0，解得Kn=n2n+1.
这时，xn=n-K2n1+K2n=nn+1，yn=Kn(xn+1)=nn+12n+1.
思路三 数形结合，挖掘曲线的几何特征.曲线Cn配方，得(x-n)2+y2=n2是以C(n,0)为圆心，n为半径的圆，从点P（-1，0）向上半圆引切线（斜率Kn>0），求切点坐标.
由PPn⊥CPn知Kn•KCPn=1，得方程
ynxn+1•ynxn-n=-1.①
由点Pn(xn,yn)在曲线Cn上，得方程
x2n-2nxn+y2n=0.②
联立①②，解得xn=nn+1，yn=nn+12n+1.
思路四 公式法.套用切线方程公式，过切点(xy,yn)的切线方程为xnx-n(xn+x)+yny=0.
将P（-1，0）代入，得-xn-n(xn-1)=0，解得xn=nn+1.
将xn=nn+1代入曲线Cn的方程，解得yn=nn+12n+1.
一题多解乐趣多，每找到一种不同的解法就会让解题者思维豁然开朗一次，成功所带来的喜悦更是美妙无比，让人流连忘返.一道题用不同的方法解，每得到一种解法，所带来的成功感是成几何级数成长的.一题找到十种解法，和解决十道不同的题，快乐不可同日而语.
一题多解锻炼人.为了找不同的解法，我们需要做很大的努力，查找很多资料，在这个过程中，对自己的知识体系也是一个梳理的过程，各种相关知识被分门别类、脉络清晰地在大脑中二次加工，知识在不知不觉中得到自然的升华.
数学学习就应该这样，不应该为了解题而解题，每道题目就是一个小小的数字游戏，只有我们全盘掌握了规则，才能从游戏中体会到乐趣.
这道题我想到了这么多种解法，相信还有其他更多的解法没有被我发掘到，聪明的读者，您能否再找到其他的解法呢？
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
例 (2009年广东卷21题)已知曲线Cn：x2-2nx+y2=0(n=1,2,…)，从点P（-1，0）向曲线Cn引斜率为Kn(Kn>0)的切线ln，切点为Pn(xn，yn).求数列{xn}与{yn}的通项公式.
分析 以数列的形式出现，实质是从曲线外一点向曲线引切线，求切点坐标问题.
思路一 方程思想，建立关于未知量xn，yn的方程组.
因为点(xn,yn)在曲线Cn上，满足Cn的方程，可得
x2n-2nxn+y2n=0.①
由x2-2nx+y2=0求导，可得y′x=n-xy.
有Kn=n-xnyn，由切线ln过点P（-1，0）和Pn(xn,yn)，有Kn=yn1+xn，得方程
n-xnyn=yn1+xn.②
联立①②，解得xn=nn+1，yn=nn+12n+1，n∈N+.
思路二 求交点、切点，即直线与曲线的交点.
设ln：y=Kn(x+1)，联立x2-2nx+y2=0，消y，得
(1+K2n)x2+(2Kn-2n)x+k2n=0.
因为直线与曲线相切，则
Δ=（2Kn-2n)2-4K2n(1+K2n)=0，解得Kn=n2n+1.
这时，xn=n-K2n1+K2n=nn+1，yn=Kn(xn+1)=nn+12n+1.
思路三 数形结合，挖掘曲线的几何特征.曲线Cn配方，得(x-n)2+y2=n2是以C(n,0)为圆心，n为半径的圆，从点P（-1，0）向上半圆引切线（斜率Kn>0），求切点坐标.
由PPn⊥CPn知Kn•KCPn=1，得方程
ynxn+1•ynxn-n=-1.①
由点Pn(xn,yn)在曲线Cn上，得方程
x2n-2nxn+y2n=0.②
联立①②，解得xn=nn+1，yn=nn+12n+1.
思路四 公式法.套用切线方程公式，过切点(xy,yn)的切线方程为xnx-n(xn+x)+yny=0.
将P（-1，0）代入，得-xn-n(xn-1)=0，解得xn=nn+1.
将xn=nn+1代入曲线Cn的方程，解得yn=nn+12n+1.
一题多解乐趣多，每找到一种不同的解法就会让解题者思维豁然开朗一次，成功所带来的喜悦更是美妙无比，让人流连忘返.一道题用不同的方法解，每得到一种解法，所带来的成功感是成几何级数成长的.一题找到十种解法，和解决十道不同的题，快乐不可同日而语.
一题多解锻炼人.为了找不同的解法，我们需要做很大的努力，查找很多资料，在这个过程中，对自己的知识体系也是一个梳理的过程，各种相关知识被分门别类、脉络清晰地在大脑中二次加工，知识在不知不觉中得到自然的升华.
数学学习就应该这样，不应该为了解题而解题，每道题目就是一个小小的数字游戏，只有我们全盘掌握了规则，才能从游戏中体会到乐趣.
这道题我想到了这么多种解法，相信还有其他更多的解法没有被我发掘到，聪明的读者，您能否再找到其他的解法呢？
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文