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摘要：中考数学综合性问题是学生在中考中拉开分数差距的关键。同时对培养学生的创新意识，全面提高数学素质有着极其重要的作用和价值，近年来全国各地中考命题更加注重对创新性综合问题的研究和设计，其中综合性试题无论从素材的选择、情景的设置、文字的表达，都出现了某些新的特点。本文初探这类试题的若干常见类型及解题对策。
关键词：综合题；解题；策略；分析
【中图分类号】G633
中考数学综合性问题是开放性问题的一种，指那些题目条件不完整或结论不明确的问题。综合性问题既能达到考查学生能力的目的，又不至于让学生因过于开放而无从下手。它的解题思路对学生来说若隐若现，解题方法若有若无，需要学生通过对问题的观察、分析、尝试、猜想、判断、归纳、总结等活动，逐步分析出正确的条件与结论。综合性问题的解答过程本身就是一个分析、发现的过程，这一类问题对培养学生的创造性思维能力、想象力和探究力有很大的帮助，对培养学生的创新意识有着及其重要的作用，对全面提高学生的数学素质具有重要的价值。近年来全国各地中考命题更加注重对创新问题的研究和设计，其中综合性试题无论从素材的选择、情景的设置、文字的表达，都出现了某些新的特点。为此，这类颇具创新的综合性试题便逐渐在中考中脱颖而出。
李忠俊：大胆归纳猜想，寻找规律。
数学猜想是指求解过程中，依据某些数学知识和已知事实，运用自己已有的经验和方法，对其作总体的观察、分析后产生顿悟，从而作出猜想判断的一种思想方法。
例1.如图所示的运算程序中，若开始输入的值为48，我们发现第1次输出的结果为24，第2次输出的结果为12，第2011次输出的结果为___________.
解析：这是一道分类考虑的程序流程题，解题的关键是确定输入的数据是奇数还是偶数，再按要求选择相应的代数式将傎代入求解，通过计算，会发现从第3次开始，这个程序输出的将以6、3、6、3循环，每两次一循环，由此20011-2=2009=1004×2+1，从而判断出第2011次输出的结果为6.
点评：这是一道以數字转换循环计算为背景的代入求傎的程序题，解题的关键是弄清流程图所表示的含义，要注意确定代入的数根据奇、偶性选择相应的代数式徨计算.
王文鼎：预设存在，于理分析
对于"是否存在"问题，无论用什么方法，只要找出一个满足条件的事物，就说明存在。有时可先假设满足条件的事物存在，如果经过严格的逻辑推理没有发生矛盾，即可肯定所作的假设成立。
例2.若关于x的一元二次方程x2-3（m+1）x+m2-9m+20=0有两个实数根，又已知a、b、c分别是ΔABC的∠A、∠B、∠C的对边，∠C=90°，且cosB=，
b-a=3，是否存在整数m，使上述一元二次方程两个实数根的平方和等于RtΔABC的斜边c的平方？若存在，求出满足条件的m值，若不存在，请说明理由。
分析：这个题目题设较长，分析时要抓住关键，假设存在这样的m，满足的条件有m是整数，一元二次方程两个实数根的平方和等于RtΔABC斜边c的平方，隐含条件判别式Δ≥0等，这时会发现先抓住RtΔABC的斜边为c这个突破口，利用题设条件，运用勾股定理并不难解决。
解：在RtΔABC中，∠C=90°，∵cos B=
∴设a=3k，c=5k，则由勾股定理有b=4k，
∵b-a=3，∴4k-3k=3，∴k=3
∴a=9，b=12，c=15
设一元二次方程x2-3（m+1）x+m2-9m+20=0的两个实数根为x1，x2
则有：x1+x2=3（m+1）， x1，x2=m2-9m+20
∴x12+x22=（ x1+x2）2-2x1x2=[3（m+1）]2-2（m2-9m+20）
=7m2+36m-31
由x12+x22=c2，c=15
有7m2+36m-31=225，即7m2+36m-256=0
∴
∵不是整数，应舍去，
当m=4时，Δ>0
∴存在整数m=4，使方程两个实数根的平方和等于RtΔABC的斜边c的平方。
说明：本题是一个含有字母系数的一元二次方程与直角三角形三边综合的问题，方法涉及判别式Δ≥0，勾股定理，因此在做此类综合题时一定要用好条件间的联系。
李忠俊：转化条件，化繁为简
有时对于满足题设的数学对象是否存在，很难作出正确的判断，这时，可设法将该条件转化为另一个表达形式较为通俗的新条件，再去解答。
例3.解方程组
分析：从表面上看此题属于二元三次方程组的求解问题，超过我们所掌握的知识范围，但仔细分析可将方程组变形为
，再利用换元法，问题就迎刃而解了。
解：设
原方程组可化为
解之，得即
解之，得
王文鼎：代数与图形相互转化、相互结合法
某些题目需要把数量关系与图形特征结合起来进行分析、研究而解决问题的思想，称之为数形结合思想.这一思想在解答函数与图象等题目中，非常必要而且非常有效。
例4.若关于x的方程x2+2kx+3k=0的两根都在-1和3之间，求k的取值范围。
解：令f（x）=x2+2kx+3k，其图象与x轴交点的横坐标就是方程f（x）=0的解，由y=f（x）的图象可知，要使二根都在-1，3之间，只需f（-1）>0，f（3）>0，f（3）>0同时成立，解得-1 说明：解这类题的关键是数形结合，做好数与形的相互转化。如本例中二次函数的常数项是其图象与y轴交点的纵坐标，图象与x轴的交点的横坐标是与二次函数相对应的一元二次方程的两实数根等等，这些都是解题的重要信息。
中考数学综合性问题很好地体现了新课程标准的理念中提出的"逐步培养学生：会观察、比较、分析、综合、抽象和概括；会用归纳演绎和类比进行推理；会准确地阐述自己的思想和观点；形成良好的思维品质。"的精神。中考数学命题："坚持体现素质教育的要求，加强与社会实际和学生生活实际的联系，重视对学生运用所学基础知识和基本技能，分析问题和解决问题的能力的考查。"在中考中出现综合性问题，不仅能反映学生的思维能力，而且使中考试卷具有较好的区分度，具有一定的选拔人才的功能，并有益于学生的持续发展。
参考文献
[1]《课程教材教学研究》2003年总第129、132期
[2]《中学数学教学参考》2003年7期
[3]《数学思想方法与中学数学》（钱佩玲 邵光华编著）北京师范大学出版社1999年7月第一版
[4]《中小学数学》（教师版）（2004年1-2月）总第242期、（2004年5月）总第248期
[5]《中学数学教育》（2004年4月）总第16期、（2004年12月）总第24期
关键词：综合题；解题；策略；分析
【中图分类号】G633
中考数学综合性问题是开放性问题的一种，指那些题目条件不完整或结论不明确的问题。综合性问题既能达到考查学生能力的目的，又不至于让学生因过于开放而无从下手。它的解题思路对学生来说若隐若现，解题方法若有若无，需要学生通过对问题的观察、分析、尝试、猜想、判断、归纳、总结等活动，逐步分析出正确的条件与结论。综合性问题的解答过程本身就是一个分析、发现的过程，这一类问题对培养学生的创造性思维能力、想象力和探究力有很大的帮助，对培养学生的创新意识有着及其重要的作用，对全面提高学生的数学素质具有重要的价值。近年来全国各地中考命题更加注重对创新问题的研究和设计，其中综合性试题无论从素材的选择、情景的设置、文字的表达，都出现了某些新的特点。为此，这类颇具创新的综合性试题便逐渐在中考中脱颖而出。
李忠俊：大胆归纳猜想，寻找规律。
数学猜想是指求解过程中，依据某些数学知识和已知事实，运用自己已有的经验和方法，对其作总体的观察、分析后产生顿悟，从而作出猜想判断的一种思想方法。
例1.如图所示的运算程序中，若开始输入的值为48，我们发现第1次输出的结果为24，第2次输出的结果为12，第2011次输出的结果为___________.
解析：这是一道分类考虑的程序流程题，解题的关键是确定输入的数据是奇数还是偶数，再按要求选择相应的代数式将傎代入求解，通过计算，会发现从第3次开始，这个程序输出的将以6、3、6、3循环，每两次一循环，由此20011-2=2009=1004×2+1，从而判断出第2011次输出的结果为6.
点评：这是一道以數字转换循环计算为背景的代入求傎的程序题，解题的关键是弄清流程图所表示的含义，要注意确定代入的数根据奇、偶性选择相应的代数式徨计算.
王文鼎：预设存在，于理分析
对于"是否存在"问题，无论用什么方法，只要找出一个满足条件的事物，就说明存在。有时可先假设满足条件的事物存在，如果经过严格的逻辑推理没有发生矛盾，即可肯定所作的假设成立。
例2.若关于x的一元二次方程x2-3（m+1）x+m2-9m+20=0有两个实数根，又已知a、b、c分别是ΔABC的∠A、∠B、∠C的对边，∠C=90°，且cosB=，
b-a=3，是否存在整数m，使上述一元二次方程两个实数根的平方和等于RtΔABC的斜边c的平方？若存在，求出满足条件的m值，若不存在，请说明理由。
分析：这个题目题设较长，分析时要抓住关键，假设存在这样的m，满足的条件有m是整数，一元二次方程两个实数根的平方和等于RtΔABC斜边c的平方，隐含条件判别式Δ≥0等，这时会发现先抓住RtΔABC的斜边为c这个突破口，利用题设条件，运用勾股定理并不难解决。
解：在RtΔABC中，∠C=90°，∵cos B=
∴设a=3k，c=5k，则由勾股定理有b=4k，
∵b-a=3，∴4k-3k=3，∴k=3
∴a=9，b=12，c=15
设一元二次方程x2-3（m+1）x+m2-9m+20=0的两个实数根为x1，x2
则有：x1+x2=3（m+1）， x1，x2=m2-9m+20
∴x12+x22=（ x1+x2）2-2x1x2=[3（m+1）]2-2（m2-9m+20）
=7m2+36m-31
由x12+x22=c2，c=15
有7m2+36m-31=225，即7m2+36m-256=0
∴
∵不是整数，应舍去，
当m=4时，Δ>0
∴存在整数m=4，使方程两个实数根的平方和等于RtΔABC的斜边c的平方。
说明：本题是一个含有字母系数的一元二次方程与直角三角形三边综合的问题，方法涉及判别式Δ≥0，勾股定理，因此在做此类综合题时一定要用好条件间的联系。
李忠俊：转化条件，化繁为简
有时对于满足题设的数学对象是否存在，很难作出正确的判断，这时，可设法将该条件转化为另一个表达形式较为通俗的新条件，再去解答。
例3.解方程组
分析：从表面上看此题属于二元三次方程组的求解问题，超过我们所掌握的知识范围，但仔细分析可将方程组变形为
，再利用换元法，问题就迎刃而解了。
解：设
原方程组可化为
解之，得即
解之，得
王文鼎：代数与图形相互转化、相互结合法
某些题目需要把数量关系与图形特征结合起来进行分析、研究而解决问题的思想，称之为数形结合思想.这一思想在解答函数与图象等题目中，非常必要而且非常有效。
例4.若关于x的方程x2+2kx+3k=0的两根都在-1和3之间，求k的取值范围。
解：令f（x）=x2+2kx+3k，其图象与x轴交点的横坐标就是方程f（x）=0的解，由y=f（x）的图象可知，要使二根都在-1，3之间，只需f（-1）>0，f（3）>0，f（3）>0同时成立，解得-1
中考数学综合性问题很好地体现了新课程标准的理念中提出的"逐步培养学生：会观察、比较、分析、综合、抽象和概括；会用归纳演绎和类比进行推理；会准确地阐述自己的思想和观点；形成良好的思维品质。"的精神。中考数学命题："坚持体现素质教育的要求，加强与社会实际和学生生活实际的联系，重视对学生运用所学基础知识和基本技能，分析问题和解决问题的能力的考查。"在中考中出现综合性问题，不仅能反映学生的思维能力，而且使中考试卷具有较好的区分度，具有一定的选拔人才的功能，并有益于学生的持续发展。
参考文献
[1]《课程教材教学研究》2003年总第129、132期
[2]《中学数学教学参考》2003年7期
[3]《数学思想方法与中学数学》（钱佩玲 邵光华编著）北京师范大学出版社1999年7月第一版
[4]《中小学数学》（教师版）（2004年1-2月）总第242期、（2004年5月）总第248期
[5]《中学数学教育》（2004年4月）总第16期、（2004年12月）总第24期