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曼德尔布罗特在其代表作《大自然的分形几何学》中写道：为什么几何学常常被说成是“冷酷无情”和“枯燥乏味”的?原因之一在于它无力描写云彩、山岭、海岸线或树木的形状。云彩不是球体，山岭不是锥体，海岸线不是圆周，树皮不光滑，闪电不是沿着直线传播……他认为很多天然以及人造产物的形状都是不规则的，于是他据此创造了“分形”(hctal)一词，并创立了以非规则几何形态为研究对象的“分形几何学”。
分形几何学的创立基于一个巧合，颇似当年哥伦布意外发现美洲新大陆。曼德尔布罗特原本的研究目的是解决电话电路的噪声等实际问题，结果却开创了几何学的一个新领域。他于1967年在著名的《科学》杂志上发表了题为《英国的海岸线有多长?统计自相似性与分数维数》的经典论文，该文被认为是分形学科诞生的标志。
在回答“英国海岸线有多长”这个问题时，曼德尔布罗特指出，无论你做得多么认真细致，你都不可能得到准确答案，因为根本就不可能有准确答案一英国的海岸线长度是不确定的，它依赖于测量时所用的尺度。
作为曲线，海岸线的特征是极不规则、极不光滑的，呈现极其蜿蜒复杂的变化。我们不能从形状和结构上区分这部分海岸与那部分海岸有什么本质的不同，这种几乎同样程度的不规则性和复杂性说明海岸线在形貌上是自相似的，也就是局部形态和整体形态是相似的。在没有建筑物或其他东西作为参照物的情况下，在空中拍摄的100千米长的海岸线的照片与10千米长的海岸线的照片，看上去十分相似。
事实上，类似的情况广泛存在于自然界中，如闪电、云彩、花椰菜等。曼德尔布罗特把这些部分与整体以某种方式相似的形体称为“分形”。分形一般具有以下两大特征。
“自相似性”特征。这里，我们先举一些例子来通俗地说明什么是“自相似性”。例如一棵参天大树，它与它的树枝，以及树枝上的枝权，在形状上没有什么大的区别，大树与树枝的这种关系在几何形状上就被称为“自相似关系”。又如一片树叶，如果我们仔细观察树叶的叶脉，就会发现叶脉也具有这种性质。再如动物，一头牛身上的一个细胞中的基因，记录着这头牛的全部生长信息。还有高山的表面，你无论怎样放大其局部，它都是同样的粗糙不平。这些例子在我们的身边随处可见。
由此可知，所谓“自相似性”，是指局部是整体成比例缩小的性质。自相似性表征分形在通常的几何变换下具有不变陛。如像我们用照相机拍摄某个物体，无论我们如何改变照相机的放大倍数，我们看到的这个物体的照片都是相似的，而且从相片上我们根本无法判断所用的照相机倍数。在学术上，这又被称之为“标度不变性”或“全息性”。严格按照一定的数学方法迭代生成的分形具有严格的自相似性(例如许多经典分形)，被称之为“有规分形”；而一般情况下的分形则是“无规分形”。也就是说，自相似性并不是很严格的，只是统计意义上的自相似性。
“分维”特征。这是分形的另外一个特征。“分维”又被称为“分数维”。长期以来人们习惯于将点定义为“零维”，直线为“一维”，平面为“二维”，空间为“三维”；现代物理学的开创者和奠基人爱因斯坦在相对论中引入“时间维”，于是形成了“四维”时空。然而，这种传统的维数观受到了挑战。曼德尔布罗特曾描述过一个绳球的维数：从很远的距离观察这个绳球，它是一个点(零维)；从较近的距离观察，它是一个球形空间(三维)；再近一些，就看到了绳子(一维)；再靠近一点，绳子又变成了三维的柱，三维的柱又可再分解成一维的纤维。
那么，介于这些观察点之间的中间状态又如何呢?显然，我们找不到绳球从三维对象变成一维对象的确切界限。而分形的另外一个特征就是，可以用分数或小数来表示。德国知名数学家费利克斯·豪斯道夫在1919年提出了连续空间的概念，也就是空间维数是可以连续变化的，它可以是整数也可以是分数，被称为“豪斯道夫维数”。据此，曼德尔布罗特也把分形定义为豪斯道夫维数大于或等于拓扑维数的集合。英国的海岸线为什么测不准?就是因为欧氏一维测度与海岸线的维数不一致。根据曼德尔布罗特的计算，英国海岸线的维数为126。有了分维，海岸线的长度就可以确定了。
上世纪80年代初开始的“分形热”经久不息。分形作为一种新的概念和方法，正在许多领域开展应用探索。美国物理学大师约翰·惠勒说：“今后谁不熟悉分形，谁就不能被称为科学上的文化人。”由此可见分形的重要性。
我国知名学者周海中教授认为，分形几何不仅展示了数学之美，也揭示了世界的本质，从而改变了人们理解自然奥秘的方式。可以说分形几何是真正描述大自然的几何学，对它的研究也极大地拓展了人类的认知疆域。
分形几何学作为当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科，它的出现让人们重新审视这个世界：世界是非线性的，分形无处不在。分形几何学不仅让人们感悟到科学与艺术的融合，数学与艺术审美的统一，而且还具有其深刻的科学方法论意义。
分形几何学的创立基于一个巧合，颇似当年哥伦布意外发现美洲新大陆。曼德尔布罗特原本的研究目的是解决电话电路的噪声等实际问题，结果却开创了几何学的一个新领域。他于1967年在著名的《科学》杂志上发表了题为《英国的海岸线有多长?统计自相似性与分数维数》的经典论文，该文被认为是分形学科诞生的标志。
在回答“英国海岸线有多长”这个问题时，曼德尔布罗特指出，无论你做得多么认真细致，你都不可能得到准确答案，因为根本就不可能有准确答案一英国的海岸线长度是不确定的，它依赖于测量时所用的尺度。
作为曲线，海岸线的特征是极不规则、极不光滑的，呈现极其蜿蜒复杂的变化。我们不能从形状和结构上区分这部分海岸与那部分海岸有什么本质的不同，这种几乎同样程度的不规则性和复杂性说明海岸线在形貌上是自相似的，也就是局部形态和整体形态是相似的。在没有建筑物或其他东西作为参照物的情况下，在空中拍摄的100千米长的海岸线的照片与10千米长的海岸线的照片，看上去十分相似。
事实上，类似的情况广泛存在于自然界中，如闪电、云彩、花椰菜等。曼德尔布罗特把这些部分与整体以某种方式相似的形体称为“分形”。分形一般具有以下两大特征。
“自相似性”特征。这里，我们先举一些例子来通俗地说明什么是“自相似性”。例如一棵参天大树，它与它的树枝，以及树枝上的枝权，在形状上没有什么大的区别，大树与树枝的这种关系在几何形状上就被称为“自相似关系”。又如一片树叶，如果我们仔细观察树叶的叶脉，就会发现叶脉也具有这种性质。再如动物，一头牛身上的一个细胞中的基因，记录着这头牛的全部生长信息。还有高山的表面，你无论怎样放大其局部，它都是同样的粗糙不平。这些例子在我们的身边随处可见。
由此可知，所谓“自相似性”，是指局部是整体成比例缩小的性质。自相似性表征分形在通常的几何变换下具有不变陛。如像我们用照相机拍摄某个物体，无论我们如何改变照相机的放大倍数，我们看到的这个物体的照片都是相似的，而且从相片上我们根本无法判断所用的照相机倍数。在学术上，这又被称之为“标度不变性”或“全息性”。严格按照一定的数学方法迭代生成的分形具有严格的自相似性(例如许多经典分形)，被称之为“有规分形”；而一般情况下的分形则是“无规分形”。也就是说，自相似性并不是很严格的，只是统计意义上的自相似性。
“分维”特征。这是分形的另外一个特征。“分维”又被称为“分数维”。长期以来人们习惯于将点定义为“零维”，直线为“一维”，平面为“二维”，空间为“三维”；现代物理学的开创者和奠基人爱因斯坦在相对论中引入“时间维”，于是形成了“四维”时空。然而，这种传统的维数观受到了挑战。曼德尔布罗特曾描述过一个绳球的维数：从很远的距离观察这个绳球，它是一个点(零维)；从较近的距离观察，它是一个球形空间(三维)；再近一些，就看到了绳子(一维)；再靠近一点，绳子又变成了三维的柱，三维的柱又可再分解成一维的纤维。
那么，介于这些观察点之间的中间状态又如何呢?显然，我们找不到绳球从三维对象变成一维对象的确切界限。而分形的另外一个特征就是，可以用分数或小数来表示。德国知名数学家费利克斯·豪斯道夫在1919年提出了连续空间的概念，也就是空间维数是可以连续变化的，它可以是整数也可以是分数，被称为“豪斯道夫维数”。据此，曼德尔布罗特也把分形定义为豪斯道夫维数大于或等于拓扑维数的集合。英国的海岸线为什么测不准?就是因为欧氏一维测度与海岸线的维数不一致。根据曼德尔布罗特的计算，英国海岸线的维数为126。有了分维，海岸线的长度就可以确定了。
上世纪80年代初开始的“分形热”经久不息。分形作为一种新的概念和方法，正在许多领域开展应用探索。美国物理学大师约翰·惠勒说：“今后谁不熟悉分形，谁就不能被称为科学上的文化人。”由此可见分形的重要性。
我国知名学者周海中教授认为，分形几何不仅展示了数学之美，也揭示了世界的本质，从而改变了人们理解自然奥秘的方式。可以说分形几何是真正描述大自然的几何学，对它的研究也极大地拓展了人类的认知疆域。
分形几何学作为当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科，它的出现让人们重新审视这个世界：世界是非线性的，分形无处不在。分形几何学不仅让人们感悟到科学与艺术的融合，数学与艺术审美的统一，而且还具有其深刻的科学方法论意义。