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四边形是初中学习的重点知识，在2008年的各地中考试卷中四边形考题的分值大多占试卷总分的8％左右. 考查四边形知识的题型有选择题、填空题以及解答题. 选择题、填空题重点考查四边形内角和公式，平行四边形、特殊平行四边形和梯形的定义、性质和判定；解答题则重点考查同学们灵活运用知识的能力和逻辑推理能力. 随着新课程改革的发展，2008年的中考题出现了更多考查同学们动手操作能力和空间想象力的考题（如折纸、画图）.
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1. 对基础知识理解不到位
（1）不能灵活运用公式进行计算，包括多边形内角和公式、特殊四边形面积公式等；
（2）进行推理证明时，由于对定义、公理、定理的混淆不清而造成错误. 因为有关四边形的定义、公理、定理特别多，部分同学就死记硬背. 没有理解的记忆是最容易忘记和混淆的，所以，同学们应该在想象图形的基础上理解并记忆.
2. 不注意论证答案的完整性与可行性
（1）未理解题意就动笔，造成答非所问或论证错误；
（2）不注意题目自身条件的限制或某些图形的取值范围，把不符合条件的结论写出来.
3. 主观臆断，自创定理
证明时找不到正确的解题途径或没有对问题加以推理分析，为了得出结论就自己添加已知中没有的条件凑够论证所需的条件，或者在条件不足的情况下就得出结论.
4. 缺乏动手操作能力和空间想象力
对于需要动手操作或进行空间想象的考题（如折纸、画图），有些同学由于想象力不够，又没有动手操作，结果就造成了解题过程的不完整或答案错误.
[⇩] 范例剖析
例1（2008年四川凉山）一个多边形的内角和与它的一个外角的和为570°，那么这个多边形的边数为（）
A． 5 B． 6 C． 7 D． 8
典型错误：选B、C或D.
错因分析：对多边形内角和的公式理解不透彻，不能灵活运用公式进行计算. 很多同学代入多边形内角和公式得180°（n-2）=570°，发现算出的结果中（n-2）不是整数，无法找到答案，就任选一个碰运气.
正确答案：因为570°÷180°=3余30°，余出的30°就是多加的外角度数，多边形的内角和是570°-30°=540°，代入180°（n-2）=540°得n=5，所以这个多边形的边数为5. 答案选A.
方法点拨：根据多边形内角和公式的特点，不难发现，多边形的内角和都是180°的整数倍，而任何一个外角都小于180°，所以所给的度数除以180°后的余数就是内角和多出的度数. 很多公式都要求能够掌握要点、灵活运用，这就需要同学们在学习过程中多观察，多动脑，切忌死记硬背.
例2（2008年江苏泰州）如图1，把一张长方形纸片对折，折痕为AB，再以AB的中点O为顶点把平角∠AOB三等分，沿平角的三等分线折叠，将折叠后的图形剪出一个以O为顶点的等腰三角形，那么剪出的等腰三角形全部展开铺平后得到的平面图形一定是（）
A． 正三角形 B． 正方形
C． 正五边形D． 正六边形
典型错误：A或C.
错因分析：空间想象力不够，也不动手操作，只凭题目中现有的平面图形想象结论.
正确答案：D.
方法点拨：解决这类考题的方法很简单，当空间想象受到影响不能得到肯定的答案时，动手实践，直接折纸、剪纸，是最简单、准确的方法.
例3（2008年黑龙江牡丹江）有一底角为60°的直角梯形，上底长为10 cm，与底垂直的腰长为10 cm，以上底或垂直于底的腰为边作三角形，使三角形的另一边长为15 cm，第三个顶点落在下底上．请计算所作的三角形的面积．
典型错误：如图2，以AB为边分别作△ABF和△ABE，当AF=15 cm时，△ABF的面积是50 cm2，当BE=15 cm时，△ABE的面积是50 cm2；以BC为边作△CBE，当BE=15 cm时，△BCE的面积是25 cm2.
错因分析：上述解答有两处错误：①“当AF=15 cm时，△ABF的面积是50 cm2 ”，它忽略了线段AF的取值范围，因为AC=10 cm＜15 cm，AD= cm＜15 cm，所以AF=15 cm是不可能的；②答案不完整，丢掉了一种情况，因为CD=10 cm+ cm＞15 cm， 所以，所求三角形长为15 cm的边可以在线段CD上. 另外此题要求先画出图形，再根据图形解答，不画图形会丢掉一半的分数.
正确答案：以AB为边作△ABE，当BE=15 cm时，△ABE的面积是50 cm2；
以BC为边分别作△BCF和△BCE，当CF=15 cm时，△BCF的面积是75 cm2，当BE=15 cm时，△BCE的面积是25cm 2． （图略）
方法点拨：在解答这种分情况讨论的试题时，要注意答案的完整性和可行性. 既要考虑每种可能的结论，也要对每种可能的结论进行推理论证，看其是否符合题目的要求.
例4（2008年山东青岛）已知：如图3，在正方形ABCD中，G是CD上一点，延长BC到E，使CE=CG，连结BG并延长交DE于F．
（1）求证：△BCG≌△DCE；
（2）将△DCE绕点D顺时针旋转90°后得到△DAE′，判断四边形E′BGD是什么特殊四边形，并说明理由．
典型错误：（只针对第（2）小题）四边形E′BGD是平行四边形.
理由：因为BE′∥DG，E′D∥BG，所以四边形E′BGD是平行四边形.
错因分析：本题综合考查正方形的性质、全等三角形的判定、旋转的性质以及平行四边形的判定等知识，综合性较强. 由于缺乏耐心或基础不扎实，解答第（2）问时出错，错在没有对问题加以推理分析就直接利用已知中没有给出的条件拼凑成了“两组对边平行”，从而主观地得出了结论.
正确答案：（1）因为四边形ABCD为正方形，所以BC＝CD，∠BCG＝∠DCE＝90°，又因为CG＝CE，所以△BCG≌△DCE.
（2）四边形E′BGD是平行四边形.
理由：因为△DCE绕点D顺时针旋转90°后得到△DAE′，所以CE＝AE′.
因为CG＝CE，所以CG＝AE′.
因为AB＝CD，AB∥CD，
所以BE′＝DG，BE′∥DG，
所以四边形E′BGD是平行四边形.
方法点拨：在由已知到结论的论证过程中，每一步都要有理有据. 论证的依据只能是已知条件、定义和前面学过的公理、定理，不能凭主观臆断随意书写论证过程.
实战演练
1. （2008年北京）若一个多边形的内角和等于720°，则这个多边形的边数是（）
A． 5 B． 6
C． 7 D． 8
2． （2008年浙江义乌）下列命题中，真命题是（）
A．两条对角线互相垂直的四边形是菱形
B．对角线垂直且相等的四边形是正方形
C． 两条对角线相等的四边形是矩形
D．两条对角线相等的平行四边形是矩形
3． （2008年河北）一幅图案，某个顶点是由三个边长相等的正多边形镶嵌而成的，其中的两个分别是正方形和正六边形，则第三个正多边形的边数是____．
4. （2008年山东泰安）若等腰梯形ABCD的上、下底之和为4，并且两条对角线所夹锐角为60°，则该等腰梯形的面积为_______． （结果保留根号形式）
5. （2008年江苏南京）如图4，在▱ABCD中，E、F为BC上两点，且BE=CF，AF=DE．
求证：（1）△ABF≌△DCE；
（2）四边形ABCD是矩形．
参考答案见P59
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1. 对基础知识理解不到位
（1）不能灵活运用公式进行计算，包括多边形内角和公式、特殊四边形面积公式等；
（2）进行推理证明时，由于对定义、公理、定理的混淆不清而造成错误. 因为有关四边形的定义、公理、定理特别多，部分同学就死记硬背. 没有理解的记忆是最容易忘记和混淆的，所以，同学们应该在想象图形的基础上理解并记忆.
2. 不注意论证答案的完整性与可行性
（1）未理解题意就动笔，造成答非所问或论证错误；
（2）不注意题目自身条件的限制或某些图形的取值范围，把不符合条件的结论写出来.
3. 主观臆断，自创定理
证明时找不到正确的解题途径或没有对问题加以推理分析，为了得出结论就自己添加已知中没有的条件凑够论证所需的条件，或者在条件不足的情况下就得出结论.
4. 缺乏动手操作能力和空间想象力
对于需要动手操作或进行空间想象的考题（如折纸、画图），有些同学由于想象力不够，又没有动手操作，结果就造成了解题过程的不完整或答案错误.
[⇩] 范例剖析
例1（2008年四川凉山）一个多边形的内角和与它的一个外角的和为570°，那么这个多边形的边数为（）
A． 5 B． 6 C． 7 D． 8
典型错误：选B、C或D.
错因分析：对多边形内角和的公式理解不透彻，不能灵活运用公式进行计算. 很多同学代入多边形内角和公式得180°（n-2）=570°，发现算出的结果中（n-2）不是整数，无法找到答案，就任选一个碰运气.
正确答案：因为570°÷180°=3余30°，余出的30°就是多加的外角度数，多边形的内角和是570°-30°=540°，代入180°（n-2）=540°得n=5，所以这个多边形的边数为5. 答案选A.
方法点拨：根据多边形内角和公式的特点，不难发现，多边形的内角和都是180°的整数倍，而任何一个外角都小于180°，所以所给的度数除以180°后的余数就是内角和多出的度数. 很多公式都要求能够掌握要点、灵活运用，这就需要同学们在学习过程中多观察，多动脑，切忌死记硬背.
例2（2008年江苏泰州）如图1，把一张长方形纸片对折，折痕为AB，再以AB的中点O为顶点把平角∠AOB三等分，沿平角的三等分线折叠，将折叠后的图形剪出一个以O为顶点的等腰三角形，那么剪出的等腰三角形全部展开铺平后得到的平面图形一定是（）
A． 正三角形 B． 正方形
C． 正五边形D． 正六边形
典型错误：A或C.
错因分析：空间想象力不够，也不动手操作，只凭题目中现有的平面图形想象结论.
正确答案：D.
方法点拨：解决这类考题的方法很简单，当空间想象受到影响不能得到肯定的答案时，动手实践，直接折纸、剪纸，是最简单、准确的方法.
例3（2008年黑龙江牡丹江）有一底角为60°的直角梯形，上底长为10 cm，与底垂直的腰长为10 cm，以上底或垂直于底的腰为边作三角形，使三角形的另一边长为15 cm，第三个顶点落在下底上．请计算所作的三角形的面积．
典型错误：如图2，以AB为边分别作△ABF和△ABE，当AF=15 cm时，△ABF的面积是50 cm2，当BE=15 cm时，△ABE的面积是50 cm2；以BC为边作△CBE，当BE=15 cm时，△BCE的面积是25 cm2.
错因分析：上述解答有两处错误：①“当AF=15 cm时，△ABF的面积是50 cm2 ”，它忽略了线段AF的取值范围，因为AC=10 cm＜15 cm，AD= cm＜15 cm，所以AF=15 cm是不可能的；②答案不完整，丢掉了一种情况，因为CD=10 cm+ cm＞15 cm， 所以，所求三角形长为15 cm的边可以在线段CD上. 另外此题要求先画出图形，再根据图形解答，不画图形会丢掉一半的分数.
正确答案：以AB为边作△ABE，当BE=15 cm时，△ABE的面积是50 cm2；
以BC为边分别作△BCF和△BCE，当CF=15 cm时，△BCF的面积是75 cm2，当BE=15 cm时，△BCE的面积是25cm 2． （图略）
方法点拨：在解答这种分情况讨论的试题时，要注意答案的完整性和可行性. 既要考虑每种可能的结论，也要对每种可能的结论进行推理论证，看其是否符合题目的要求.
例4（2008年山东青岛）已知：如图3，在正方形ABCD中，G是CD上一点，延长BC到E，使CE=CG，连结BG并延长交DE于F．
（1）求证：△BCG≌△DCE；
（2）将△DCE绕点D顺时针旋转90°后得到△DAE′，判断四边形E′BGD是什么特殊四边形，并说明理由．
典型错误：（只针对第（2）小题）四边形E′BGD是平行四边形.
理由：因为BE′∥DG，E′D∥BG，所以四边形E′BGD是平行四边形.
错因分析：本题综合考查正方形的性质、全等三角形的判定、旋转的性质以及平行四边形的判定等知识，综合性较强. 由于缺乏耐心或基础不扎实，解答第（2）问时出错，错在没有对问题加以推理分析就直接利用已知中没有给出的条件拼凑成了“两组对边平行”，从而主观地得出了结论.
正确答案：（1）因为四边形ABCD为正方形，所以BC＝CD，∠BCG＝∠DCE＝90°，又因为CG＝CE，所以△BCG≌△DCE.
（2）四边形E′BGD是平行四边形.
理由：因为△DCE绕点D顺时针旋转90°后得到△DAE′，所以CE＝AE′.
因为CG＝CE，所以CG＝AE′.
因为AB＝CD，AB∥CD，
所以BE′＝DG，BE′∥DG，
所以四边形E′BGD是平行四边形.
方法点拨：在由已知到结论的论证过程中，每一步都要有理有据. 论证的依据只能是已知条件、定义和前面学过的公理、定理，不能凭主观臆断随意书写论证过程.
实战演练
1. （2008年北京）若一个多边形的内角和等于720°，则这个多边形的边数是（）
A． 5 B． 6
C． 7 D． 8
2． （2008年浙江义乌）下列命题中，真命题是（）
A．两条对角线互相垂直的四边形是菱形
B．对角线垂直且相等的四边形是正方形
C． 两条对角线相等的四边形是矩形
D．两条对角线相等的平行四边形是矩形
3． （2008年河北）一幅图案，某个顶点是由三个边长相等的正多边形镶嵌而成的，其中的两个分别是正方形和正六边形，则第三个正多边形的边数是____．
4. （2008年山东泰安）若等腰梯形ABCD的上、下底之和为4，并且两条对角线所夹锐角为60°，则该等腰梯形的面积为_______． （结果保留根号形式）
5. （2008年江苏南京）如图4，在▱ABCD中，E、F为BC上两点，且BE=CF，AF=DE．
求证：（1）△ABF≌△DCE；
（2）四边形ABCD是矩形．
参考答案见P59