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孙琪斌，中学数学特级教师，上海市嘉定区数学教研员.曾先后在三十余种报刊上发表文章一百余篇.出版有专著《在学中教?摇异步达标》.
1. 半圆形的周长与半圆的弧长不是同一个概念
先从一个常见的题目说起.
例1 半径是R的半圆的周长为（）.
A. πR B. πR2
C. πR+2R D. πR2
讲解：最后的答案，可能聚焦在A，C两个选项上.有些学生（或老师）可能将答案确定为C.理由是选项A忽视了半圆的直径2R.
事实上，正确答案应该是A.因为圆心为O、半径为r的圆，可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点组成的图形；圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆.由此可见，半圆的周长，其实就是半圆的弧长.
半圆与直径所围成的半圆形的周长，是半圆的弧长加上一个直径的长.
2. 圆心O在不在圆上
例2 仔细阅读下面两位同学的对话，然后再翻阅课本，给出你自己的解答.
小明：圆心O在不在圆上？圆心O当然在圆上，不然为什么叫圆心而不称为圆的中心！
小亮：圆心O不在圆上.因为“在一个平面内，线段OA绕它的一个固定的端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆”.圆心O不属于另一个端点A所形成的图形，所以圆心O不在圆上.
3. 灵活掌握垂径定理以及相关命题
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.
图1中的直径CD，有这样几个特点：① 弦过圆心O（即直径）；② 垂直于弦AB；③ 平分弦AB；④ 平分弦AB所对的劣弧；⑤ 平分弦AB所对的优弧.事实上，在这五点之中，任取两点作为命题的题设，其余三点作为命题的结论，都可以组成一个命题，这样，共可以组成10个命题.
垂径定理所描述的命题，其实可以理解为：①②?圯③④⑤.
类似地，依据①②?圯③④⑤，我们可以构造出一个命题：平分弦的直径，垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
需要引起注意的是，这个命题是一个假命题.同一个圆中的任意两条直径所组成的图形，皆可以成为说明这个命题为假命题的事例.
由此，这个命题可以改造为：平分弦（不是直径）的直径，垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
我们还可以构造出另一个命题：弦的垂直平分线过圆心，且平分弦所对的两条弧.这是一个真命题，可以用来确定一条弧所在圆的圆心位置.
其他命题以及真假，请同学们自主完成.
4. 学会使用圆的对称性研究问题
例3 如图2，已知⊙P与x轴相切于坐标原点O，点A（0，2）是⊙P与y轴的交点，点B（2 ，0），连接BP交⊙P于点C，连接AC并延长交x轴于点D．
（1） 求线段BC的长.
（2） 求直线AC的函数解析式.
（3） 当点B在x轴上移动时，是否存在点B，使△BOP相似于△AOD？若存在，求出符合条件的点B的坐标；若不存在，请说明理由．
讲解：（1） 由题意，得OP=1，OB=2 ，CP=1.在Rt△BOP中，由BP 2=OB 2+OP 2，可得（BC+1）2=（2 ）2+12.解得BC=2.（负值已舍）
（2） 过点C作CE⊥x轴于E，利用相似三角形的性质可求得CE= ，OE= ，C ， .从而可求得直线AC的解析式：y=- x+2.
（3） 在x轴上存在点B，使△BOP与△AOD相似.
因∠OPB>∠OAD，若△BOP与△AOD相似，则∠OBP=∠OAD，∠OPB=2∠OAD.可得∠OBP=30°.
由OB=OP·cot30°= ，可得B1（ ，0）.
根据对称性，可得B2（- ，0）.
故符合条件的点B有两个，其坐标分别为B1（ ，0），B2（- ，0）.
5. 体会分类讨论的数学思想方法
学习本章，一定要结合具体问题，领会分类讨论的数学思想.
例4 一个点到圆的最大距离为11 cm，最小距离为5 cm，则圆的半径为（）.
A. 16 cm或6 cmB. 3 cm或8 cmC. 3 cmD. 8 cm（答案：B）
例5 如果直线上一点与圆心O的距离大于⊙O的半径，那么这条直线与⊙O的位置关系是（）．
A. 相交 B. 相切
C. 相离Ｄ. 相交、相切、相离都有可能 （答案：D）
例6 ⊙O1与⊙O2的圆心距为5，⊙O1的半径为3，若两圆相切，则⊙O2的半径为 ．（答案：2或8）
例7 AB是⊙O的弦，∠AOB＝80°，则弦AB所对的圆周角是（）.
A. 40°B. 140°或40°C. 20°Ｄ. 20°或160° （答案：B）
例8 在半径为5 cm的圆内有两条平行弦，一条长6 cm，另一条长8 cm，则两条平行弦之间的距离为 .?摇（答案：1 cm或7 cm）
以上几道题并不难，请同学们自己做做看，并总结出有关圆问题的多解规律.
1. 半圆形的周长与半圆的弧长不是同一个概念
先从一个常见的题目说起.
例1 半径是R的半圆的周长为（）.
A. πR B. πR2
C. πR+2R D. πR2
讲解：最后的答案，可能聚焦在A，C两个选项上.有些学生（或老师）可能将答案确定为C.理由是选项A忽视了半圆的直径2R.
事实上，正确答案应该是A.因为圆心为O、半径为r的圆，可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点组成的图形；圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆.由此可见，半圆的周长，其实就是半圆的弧长.
半圆与直径所围成的半圆形的周长，是半圆的弧长加上一个直径的长.
2. 圆心O在不在圆上
例2 仔细阅读下面两位同学的对话，然后再翻阅课本，给出你自己的解答.
小明：圆心O在不在圆上？圆心O当然在圆上，不然为什么叫圆心而不称为圆的中心！
小亮：圆心O不在圆上.因为“在一个平面内，线段OA绕它的一个固定的端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆”.圆心O不属于另一个端点A所形成的图形，所以圆心O不在圆上.
3. 灵活掌握垂径定理以及相关命题
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.
图1中的直径CD，有这样几个特点：① 弦过圆心O（即直径）；② 垂直于弦AB；③ 平分弦AB；④ 平分弦AB所对的劣弧；⑤ 平分弦AB所对的优弧.事实上，在这五点之中，任取两点作为命题的题设，其余三点作为命题的结论，都可以组成一个命题，这样，共可以组成10个命题.
垂径定理所描述的命题，其实可以理解为：①②?圯③④⑤.
类似地，依据①②?圯③④⑤，我们可以构造出一个命题：平分弦的直径，垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
需要引起注意的是，这个命题是一个假命题.同一个圆中的任意两条直径所组成的图形，皆可以成为说明这个命题为假命题的事例.
由此，这个命题可以改造为：平分弦（不是直径）的直径，垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
我们还可以构造出另一个命题：弦的垂直平分线过圆心，且平分弦所对的两条弧.这是一个真命题，可以用来确定一条弧所在圆的圆心位置.
其他命题以及真假，请同学们自主完成.
4. 学会使用圆的对称性研究问题
例3 如图2，已知⊙P与x轴相切于坐标原点O，点A（0，2）是⊙P与y轴的交点，点B（2 ，0），连接BP交⊙P于点C，连接AC并延长交x轴于点D．
（1） 求线段BC的长.
（2） 求直线AC的函数解析式.
（3） 当点B在x轴上移动时，是否存在点B，使△BOP相似于△AOD？若存在，求出符合条件的点B的坐标；若不存在，请说明理由．
讲解：（1） 由题意，得OP=1，OB=2 ，CP=1.在Rt△BOP中，由BP 2=OB 2+OP 2，可得（BC+1）2=（2 ）2+12.解得BC=2.（负值已舍）
（2） 过点C作CE⊥x轴于E，利用相似三角形的性质可求得CE= ，OE= ，C ， .从而可求得直线AC的解析式：y=- x+2.
（3） 在x轴上存在点B，使△BOP与△AOD相似.
因∠OPB>∠OAD，若△BOP与△AOD相似，则∠OBP=∠OAD，∠OPB=2∠OAD.可得∠OBP=30°.
由OB=OP·cot30°= ，可得B1（ ，0）.
根据对称性，可得B2（- ，0）.
故符合条件的点B有两个，其坐标分别为B1（ ，0），B2（- ，0）.
5. 体会分类讨论的数学思想方法
学习本章，一定要结合具体问题，领会分类讨论的数学思想.
例4 一个点到圆的最大距离为11 cm，最小距离为5 cm，则圆的半径为（）.
A. 16 cm或6 cmB. 3 cm或8 cmC. 3 cmD. 8 cm（答案：B）
例5 如果直线上一点与圆心O的距离大于⊙O的半径，那么这条直线与⊙O的位置关系是（）．
A. 相交 B. 相切
C. 相离Ｄ. 相交、相切、相离都有可能 （答案：D）
例6 ⊙O1与⊙O2的圆心距为5，⊙O1的半径为3，若两圆相切，则⊙O2的半径为 ．（答案：2或8）
例7 AB是⊙O的弦，∠AOB＝80°，则弦AB所对的圆周角是（）.
A. 40°B. 140°或40°C. 20°Ｄ. 20°或160° （答案：B）
例8 在半径为5 cm的圆内有两条平行弦，一条长6 cm，另一条长8 cm，则两条平行弦之间的距离为 .?摇（答案：1 cm或7 cm）
以上几道题并不难，请同学们自己做做看，并总结出有关圆问题的多解规律.