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摘 要：从设计课堂情境式问题；问题纠错；一题多解；解题过程反思等方面阐述了如何培养学生的数学思维能力.
关键词：数学思维；思维训练；思维过程；思维空间
在新课改背景下，教师应把如何培养学生的数学思维能力作为课堂教学的主线.数学思维是指“我们在日常活动中逐步积累的对数学关系和空间形式的认识.数学思维包括：形象思维、直觉思维、抽象思维、逻辑思维和函数思维等.培养学生数学思维能力，要重视知识教学，重视思想形成，重视观念培养.那么，如何才能在课堂教学中更好地培养学生的数学思维呢？
1 通过设计课堂情境式问题，培养学生数学思维
大家都知道，每堂数学课前后内容是相互关联的，在上新课前，先复习一下与本节有关系的旧知识，设计一些相互联系的，具有启发性的问题，而后引出新课题，就可以激发学生求知欲望，从而不由自主地启动自己的思维，在这一基础上逐步推进，讲授新课内容，就能使学生充分的用自己的思维去发现、理解新知识.如此，就可以让学生掌握知识的同时发展思维，提高思维的积极性.
例如：在上“相互独立事件同时发生的概率”这一课时，先设问“三个臭皮匠，顶个诸葛亮，是真的吗？”针对这个问题学生会议论纷纷，有不同见解.这时我们抛出一道数学题：假设诸葛亮能解答问题的概率为0.85，臭皮匠小王能解答的概率为 0.55，小张为0.4，小李为0.35，假设他们都能独立解答问题，那么三个臭皮匠与诸葛亮相比，谁解答问题概率大？这样很快让学生进入思考，激发他们学习兴趣，提高学习效率.又如：上“二分法求方程的近似解”这一课时，上课我们可以先猜个数字游戏，讲台桌上保温杯价格标签是20-50元中的某个整数，大家来猜猜这个杯子准确价格，如果我对你们的答案做“正确” 或“偏低”“偏高”三种提示，那么谁能准确说出这个杯子的价格？这样不仅能激发学生的学习热情，而且能让学生主动去学习，在愉快、轻松的教学环境中，发展学生数学思维.
2 通过问题纠错，培养学生数学思维.
思维训练是数学教学的关键，在例题教学或讲评练习时，不能简单地将解答过程展示给学生，而要尽可能揭示解题的思维过程.在学生解题出错时，应帮助学生分析解题失误的原因，从而引导学生进行正确思维.
例：已知x、y∈R ，x y=1，求Z=xy 的最小值.
错解：因为xy>0，>0，且它们的积为定值，所以可根据基本不等式求最值.由x>0，y>0得，xy>0，>0.所以Z= xy ≥2=2.即的最小值为2.
分析：（1）条件x y=1用了吗？（2）如果Z的最小值为2，那么x，y应取何值？
通过这两个问题，学生的思维很快被激发，不由自主地去寻找错误根源.学生很容易发现自己犯了两个错误，一是没认真审题；二是运用均值不等式求最值必须具备“一正，二定，三相等”的第三个条件不满足，即xy与不可能相等，那在前两个条件下，如何使第三个条件也成立呢？观察条件，不难发现x、y是有对称性，所以不难猜想，当x=y=时，可能取最值，这时xy与的关系是xy=或16xy=.这样通过拆项很快就可以得到正确解法.
3 通过一题多解，培养学生数学思维
在教学中，我们要脱离传统习惯的束缚，引导学生用不同方法从不同角度去分析、解决问题，引导学生进行开放性习题训练，培养学生发散思维，扩展他的思维空间.这样，通过长时间训练，不仅能让学生会解题，而且也能选择简单可行的求解方法，也只有这样才能有效激活学生思维的灵活性、创造性.
例：已知圆M的方程：（x-2）2 y2=4，OP是过原点O的任意一条弦，求弦OP中点Q的轨迹方程.
解法1（直接法）：连接QM，由圆的知识可得MQ⊥OP，由向量相关知识得·=0，设Q（x，y），由M（2，0）和·=0得（x-2）x y2=0，即（x-1）2 y2=1（x>0）.
解法2（定义法）：连接QM，由圆的知识可得MQ⊥OP，设OM的中点N，连接PM，QN，在△OPM中根据三角形中位线定理可得QN=MP=1，由圆的定义知点Q的轨迹是以N（1，0）为圆心，1为半径的圆，且在圆M内部，故圆的方程为（x-1）2 y2=1（x>0）.
解法3（相关点法）：设Q（x，y），P（x0，y0），依题意得x=
x0
y=
y0，即x0=2x
y0=2y .
将上式代入圆M的方程（x-2）2 y2=4，得（x-1）2 y2=1（x>0）
当然除以上三种方法外，还可以用参数法、交轨法.上述各种方法是学生对已有知识的加工、整合得到的.因此，教师在教学过程中引导学生一题多解就是培养学生数学思维的有效方法.这样既可以激发学生思维，开阔学生视野，调动学生学习积极性，又能培养学生思维灵活性.
4 通过解题过程反思，培养学生数学思维
费赖登塔尔指出：“反思是重要的数学活动，这是数学活动的核心和动力.”反思是对思维结果进一步认识和检验，通过反思能加强知识间的内在联系，灵活地将知识互化、迁移，加深对知识的理解和掌握.
例：已知m2 n2=1，m≥0，n≥0，求m n的最小值.
分析：这种题型学生较熟悉，用三角换元法和圆与直线的有关知识即可以完成.
解法一：设m=cosα，n=sinα，α∈0
，，
则m n=cosα sinα=2sin（α ），
因为≤α ≤，
所以当α =即α=0时，m n取得最小值，最小值为1.
上述解法学生很容易想到，思路比较清晰，只要用辅助角公式及三角的有关知识即可，但很容易因忽略角α的条件而出错.如果此题用直线与圆的知识，并结合数形结合思想，问题就会简单的多.解法如下：
解法二：令Z=m n则n=-m Z，要使Z取得最小值，只要使直线n=-m Z与四分之一圆m2 n2=1，m≥0，n≥0有公共点，且在y轴上的截距最小.而直线n=-m Z是由直线n=-m通过平移得到的，不难发现当直线n=-m过点（1，0）时截距最小，故只要将点（1，0）代入Z=m n，就可得Zmin=1，即m n的最小值为1.
如果再把此题做下变式：已知x2 2y2=4（x≥0，y≥0），求Z=3x y的最大值.这样又与椭圆的知识联系在一起，学生很容易想到用上题解法二解决这类问题.因此，通过解题过程反思，学生不仅能将知识融会贯通，巩固所学知识，而且能在培养思维变通的同时，使思维变得更深刻流畅，提高总结、归纳、概括、分析问题解决问题的能力.这样有意识训练，有利开阔视野，拓宽思路，防止思维定势，逐步培养良好思维品质.
总之，教师在教学过程中要多启发、引导，促进学生反思，逐步深化学生对知识和方法的认识，使学生真正感悟到其中数学的思想和知识的结构，从而使学生思维能力得到进一步发展.在教学中，教会学生解题后对自己思维过程再思考、再认识，不仅能培养学生多思善想的习惯，而且能加深对问题的理解程度，从而进一步优化学生的数学认识结构，培养学生的数学思维能力.
关键词：数学思维；思维训练；思维过程；思维空间
在新课改背景下，教师应把如何培养学生的数学思维能力作为课堂教学的主线.数学思维是指“我们在日常活动中逐步积累的对数学关系和空间形式的认识.数学思维包括：形象思维、直觉思维、抽象思维、逻辑思维和函数思维等.培养学生数学思维能力，要重视知识教学，重视思想形成，重视观念培养.那么，如何才能在课堂教学中更好地培养学生的数学思维呢？
1 通过设计课堂情境式问题，培养学生数学思维
大家都知道，每堂数学课前后内容是相互关联的，在上新课前，先复习一下与本节有关系的旧知识，设计一些相互联系的，具有启发性的问题，而后引出新课题，就可以激发学生求知欲望，从而不由自主地启动自己的思维，在这一基础上逐步推进，讲授新课内容，就能使学生充分的用自己的思维去发现、理解新知识.如此，就可以让学生掌握知识的同时发展思维，提高思维的积极性.
例如：在上“相互独立事件同时发生的概率”这一课时，先设问“三个臭皮匠，顶个诸葛亮，是真的吗？”针对这个问题学生会议论纷纷，有不同见解.这时我们抛出一道数学题：假设诸葛亮能解答问题的概率为0.85，臭皮匠小王能解答的概率为 0.55，小张为0.4，小李为0.35，假设他们都能独立解答问题，那么三个臭皮匠与诸葛亮相比，谁解答问题概率大？这样很快让学生进入思考，激发他们学习兴趣，提高学习效率.又如：上“二分法求方程的近似解”这一课时，上课我们可以先猜个数字游戏，讲台桌上保温杯价格标签是20-50元中的某个整数，大家来猜猜这个杯子准确价格，如果我对你们的答案做“正确” 或“偏低”“偏高”三种提示，那么谁能准确说出这个杯子的价格？这样不仅能激发学生的学习热情，而且能让学生主动去学习，在愉快、轻松的教学环境中，发展学生数学思维.
2 通过问题纠错，培养学生数学思维.
思维训练是数学教学的关键，在例题教学或讲评练习时，不能简单地将解答过程展示给学生，而要尽可能揭示解题的思维过程.在学生解题出错时，应帮助学生分析解题失误的原因，从而引导学生进行正确思维.
例：已知x、y∈R ，x y=1，求Z=xy 的最小值.
错解：因为xy>0，>0，且它们的积为定值，所以可根据基本不等式求最值.由x>0，y>0得，xy>0，>0.所以Z= xy ≥2=2.即的最小值为2.
分析：（1）条件x y=1用了吗？（2）如果Z的最小值为2，那么x，y应取何值？
通过这两个问题，学生的思维很快被激发，不由自主地去寻找错误根源.学生很容易发现自己犯了两个错误，一是没认真审题；二是运用均值不等式求最值必须具备“一正，二定，三相等”的第三个条件不满足，即xy与不可能相等，那在前两个条件下，如何使第三个条件也成立呢？观察条件，不难发现x、y是有对称性，所以不难猜想，当x=y=时，可能取最值，这时xy与的关系是xy=或16xy=.这样通过拆项很快就可以得到正确解法.
3 通过一题多解，培养学生数学思维
在教学中，我们要脱离传统习惯的束缚，引导学生用不同方法从不同角度去分析、解决问题，引导学生进行开放性习题训练，培养学生发散思维，扩展他的思维空间.这样，通过长时间训练，不仅能让学生会解题，而且也能选择简单可行的求解方法，也只有这样才能有效激活学生思维的灵活性、创造性.
例：已知圆M的方程：（x-2）2 y2=4，OP是过原点O的任意一条弦，求弦OP中点Q的轨迹方程.
解法1（直接法）：连接QM，由圆的知识可得MQ⊥OP，由向量相关知识得·=0，设Q（x，y），由M（2，0）和·=0得（x-2）x y2=0，即（x-1）2 y2=1（x>0）.
解法2（定义法）：连接QM，由圆的知识可得MQ⊥OP，设OM的中点N，连接PM，QN，在△OPM中根据三角形中位线定理可得QN=MP=1，由圆的定义知点Q的轨迹是以N（1，0）为圆心，1为半径的圆，且在圆M内部，故圆的方程为（x-1）2 y2=1（x>0）.
解法3（相关点法）：设Q（x，y），P（x0，y0），依题意得x=
x0
y=
y0，即x0=2x
y0=2y .
将上式代入圆M的方程（x-2）2 y2=4，得（x-1）2 y2=1（x>0）
当然除以上三种方法外，还可以用参数法、交轨法.上述各种方法是学生对已有知识的加工、整合得到的.因此，教师在教学过程中引导学生一题多解就是培养学生数学思维的有效方法.这样既可以激发学生思维，开阔学生视野，调动学生学习积极性，又能培养学生思维灵活性.
4 通过解题过程反思，培养学生数学思维
费赖登塔尔指出：“反思是重要的数学活动，这是数学活动的核心和动力.”反思是对思维结果进一步认识和检验，通过反思能加强知识间的内在联系，灵活地将知识互化、迁移，加深对知识的理解和掌握.
例：已知m2 n2=1，m≥0，n≥0，求m n的最小值.
分析：这种题型学生较熟悉，用三角换元法和圆与直线的有关知识即可以完成.
解法一：设m=cosα，n=sinα，α∈0
，，
则m n=cosα sinα=2sin（α ），
因为≤α ≤，
所以当α =即α=0时，m n取得最小值，最小值为1.
上述解法学生很容易想到，思路比较清晰，只要用辅助角公式及三角的有关知识即可，但很容易因忽略角α的条件而出错.如果此题用直线与圆的知识，并结合数形结合思想，问题就会简单的多.解法如下：
解法二：令Z=m n则n=-m Z，要使Z取得最小值，只要使直线n=-m Z与四分之一圆m2 n2=1，m≥0，n≥0有公共点，且在y轴上的截距最小.而直线n=-m Z是由直线n=-m通过平移得到的，不难发现当直线n=-m过点（1，0）时截距最小，故只要将点（1，0）代入Z=m n，就可得Zmin=1，即m n的最小值为1.
如果再把此题做下变式：已知x2 2y2=4（x≥0，y≥0），求Z=3x y的最大值.这样又与椭圆的知识联系在一起，学生很容易想到用上题解法二解决这类问题.因此，通过解题过程反思，学生不仅能将知识融会贯通，巩固所学知识，而且能在培养思维变通的同时，使思维变得更深刻流畅，提高总结、归纳、概括、分析问题解决问题的能力.这样有意识训练，有利开阔视野，拓宽思路，防止思维定势，逐步培养良好思维品质.
总之，教师在教学过程中要多启发、引导，促进学生反思，逐步深化学生对知识和方法的认识，使学生真正感悟到其中数学的思想和知识的结构，从而使学生思维能力得到进一步发展.在教学中，教会学生解题后对自己思维过程再思考、再认识，不仅能培养学生多思善想的习惯，而且能加深对问题的理解程度，从而进一步优化学生的数学认识结构，培养学生的数学思维能力.