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摘 要：本文从一道高考解析几何题出发，探讨了圆锥曲线过定点的问题，并得出圆锥曲线的又一统一性质．
关键词：圆锥曲线性质；交点坐标；椭圆；双曲线
众所周知，圆锥曲线中有一类常见题型就是所谓过定点或定值问题，并且此类问题通常通过方程有无数解或点满足某方程转化求解，其转化途径主要以一元二次方程，或利用点在曲线上构造方程，即通常所说的“点差法”与“判别式法”，尤其是与直线与曲线位置相关问题，很少要直接解方程组求交点再转化，但问题的情形有时又是必须解交点才能够转化求解．
下面看如下一道高考题：
例（2010江苏） 在平面直角坐标系xOy中，如图1，已知椭圆+=1的左、右顶点为A，B，右焦点为F． 设过点T（t，m）的直线TA，TB与椭圆分别交于点M（x1，y1），N（x2，y2），其中m>0，y1>0，y2<0．
（1）设动点P满足PF2－PB2=4，求点P的轨迹；
（2）设x1=2，x2=，求点T的坐标；
（3）设t=9，求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）．
图1
分析 本题主要考查求简单曲线的方程，考查直线与椭圆的方程等基础知识，考查运算求解能力和探究问题的能力．（1）（2）从略，下面主要看（3），由于本题中M，N两点在椭圆上，很容易联想到，从利用点的坐标满足椭圆方程构造关系式进而转化寻找，因此设M（x1，y1），N（x2，y2），则过这两点的直线方程为（y2－y1）（x－x1）－（x2－x1）（y－y1）=0，从而直线MN与x轴的交点的横坐标满足x=+y1=． 由于M（x1，y1），N（x2，y2）两点分别是两条直线与椭圆的交点，同时表达式为一次形式，因此一般意义上的“点差法”与“判别式法”就难奏效，要考虑利用直线与曲线相交解方程组求交点坐标，进而转化，给本题求解带来一定的难度，
下面先看一般解法：
（3）由点T的坐标为（9，m），得直线MTA方程为=，即y=（x+3），
直线NTB的方程为=，即y=（x－3）． 分别与椭圆+=1联立方程组，同时考虑到x1≠－3，x2≠3，解得
M，，
N，-．
当x1≠x2时，直线MN的方程为
=，
令y=0，解得x=1．
此时必过点D（1，0）；当x1=x2时，直线MN方程为x=1，与x轴交点为D（1，0）．所以直线MN必过x轴上的一定点D（1，0）．
另一方面，从上面求解可以看到直线AM，BN的斜率满足2kMA=kBN，因此本题可以利用斜率作参数．由点T的坐标为（9，m），得kMA=，kBN=，所以可设直线MA，BN的方程分别为y=k（x+3），y=2k（x－3），联立直线与椭圆方程得： y=k（x+3），+=1， y=2k（x－3），+=1， 解得
M，，
N，，
代入x=+y1=，可得x=1，下略；
分析一下（3）可以得到实质为两条直线满足斜率2倍关系时直线过定点，因此本题（3）可以变为：过A，B两点作两条直线MA，NB，当斜率满足2kMA=kBN时，直线MN与x轴交点为定点．
?摇其次考虑点的特殊性是否可以把上述问题推广到一般情形呢？即有：
问题1：已知椭圆+=1的左、右顶点为A，B，设过A，B两点分别作直线TA，TB与椭圆分别交于点M（x1，y1），N（x2，y2），当kTB=2kTA时，求证：直线MN必过x轴上的一定点．
分析：同上，可设直线MA，BN的方程分别为：y=k（x+a），y=2k（x－a），联立直线与椭圆方程得
y=k（x+a），+=1， y=2k（x－a），+=1， 解得
M，，
N，；
代入x=+y1=，
可得x=，从而结论成立.
另一方面，过两顶点可以作无数条直线，是否只要当两条直线斜率满足2倍关系时才有上述结论呢？事实不是．
问题2：已知椭圆+=1的左、右顶点为A，B，设过A，B两点分别作直线TA，TB与椭圆分别交于点M（x1，y1），N（x2，y2），当kTB=mkTA时，求证：直线MN必过x轴上的一定点．
简析：同上，可设直线MA，BN的方程分别为y=k（x+a），y=2k（x－a），联立直线与椭圆方程得
y=k（x+a），+=1， y=mk（x－a），+=1， 解得
M，，
N，；
代入x=+y1=，
可得x=，从而结论成立.
通过上面的变式讨论，我们可以得到关于椭圆过长轴端点的一组直线性质，由于椭圆与双曲线在性质上有许多可比性，那么上面的问题对于双曲线是否也成立呢？于是我们还可以有：
问题3：已知双曲线-=1的左、右顶点为A，B，设过A，B两点分别作直线TA，TB与椭圆分别交于点M（x1，y1），N（x2，y2），当kTB=2kTA时，求证：直线MN必过x轴上的一定点．
简析：同上，可设直线MA，BN的方程分别为y=k（x+a），y=2k（x－a），联立直线与椭圆方程得
y=k（x+a），-=1， y=2k（x－a），-=1， 解得
M，，
N，；
代入x=+y1=，
可得x=，从而结论成立.
可以证明类似问题2的类比结论也成立，因此可以得到关于椭圆与双曲线的又一共同性质． 同时告诉我们解题后应反思，不论对于解题方法的提高，还是对于一般方法的总结与提升都是很有帮助的．
关键词：圆锥曲线性质；交点坐标；椭圆；双曲线
众所周知，圆锥曲线中有一类常见题型就是所谓过定点或定值问题，并且此类问题通常通过方程有无数解或点满足某方程转化求解，其转化途径主要以一元二次方程，或利用点在曲线上构造方程，即通常所说的“点差法”与“判别式法”，尤其是与直线与曲线位置相关问题，很少要直接解方程组求交点再转化，但问题的情形有时又是必须解交点才能够转化求解．
下面看如下一道高考题：
例（2010江苏） 在平面直角坐标系xOy中，如图1，已知椭圆+=1的左、右顶点为A，B，右焦点为F． 设过点T（t，m）的直线TA，TB与椭圆分别交于点M（x1，y1），N（x2，y2），其中m>0，y1>0，y2<0．
（1）设动点P满足PF2－PB2=4，求点P的轨迹；
（2）设x1=2，x2=，求点T的坐标；
（3）设t=9，求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）．
图1
分析 本题主要考查求简单曲线的方程，考查直线与椭圆的方程等基础知识，考查运算求解能力和探究问题的能力．（1）（2）从略，下面主要看（3），由于本题中M，N两点在椭圆上，很容易联想到，从利用点的坐标满足椭圆方程构造关系式进而转化寻找，因此设M（x1，y1），N（x2，y2），则过这两点的直线方程为（y2－y1）（x－x1）－（x2－x1）（y－y1）=0，从而直线MN与x轴的交点的横坐标满足x=+y1=． 由于M（x1，y1），N（x2，y2）两点分别是两条直线与椭圆的交点，同时表达式为一次形式，因此一般意义上的“点差法”与“判别式法”就难奏效，要考虑利用直线与曲线相交解方程组求交点坐标，进而转化，给本题求解带来一定的难度，
下面先看一般解法：
（3）由点T的坐标为（9，m），得直线MTA方程为=，即y=（x+3），
直线NTB的方程为=，即y=（x－3）． 分别与椭圆+=1联立方程组，同时考虑到x1≠－3，x2≠3，解得
M，，
N，-．
当x1≠x2时，直线MN的方程为
=，
令y=0，解得x=1．
此时必过点D（1，0）；当x1=x2时，直线MN方程为x=1，与x轴交点为D（1，0）．所以直线MN必过x轴上的一定点D（1，0）．
另一方面，从上面求解可以看到直线AM，BN的斜率满足2kMA=kBN，因此本题可以利用斜率作参数．由点T的坐标为（9，m），得kMA=，kBN=，所以可设直线MA，BN的方程分别为y=k（x+3），y=2k（x－3），联立直线与椭圆方程得： y=k（x+3），+=1， y=2k（x－3），+=1， 解得
M，，
N，，
代入x=+y1=，可得x=1，下略；
分析一下（3）可以得到实质为两条直线满足斜率2倍关系时直线过定点，因此本题（3）可以变为：过A，B两点作两条直线MA，NB，当斜率满足2kMA=kBN时，直线MN与x轴交点为定点．
?摇其次考虑点的特殊性是否可以把上述问题推广到一般情形呢？即有：
问题1：已知椭圆+=1的左、右顶点为A，B，设过A，B两点分别作直线TA，TB与椭圆分别交于点M（x1，y1），N（x2，y2），当kTB=2kTA时，求证：直线MN必过x轴上的一定点．
分析：同上，可设直线MA，BN的方程分别为：y=k（x+a），y=2k（x－a），联立直线与椭圆方程得
y=k（x+a），+=1， y=2k（x－a），+=1， 解得
M，，
N，；
代入x=+y1=，
可得x=，从而结论成立.
另一方面，过两顶点可以作无数条直线，是否只要当两条直线斜率满足2倍关系时才有上述结论呢？事实不是．
问题2：已知椭圆+=1的左、右顶点为A，B，设过A，B两点分别作直线TA，TB与椭圆分别交于点M（x1，y1），N（x2，y2），当kTB=mkTA时，求证：直线MN必过x轴上的一定点．
简析：同上，可设直线MA，BN的方程分别为y=k（x+a），y=2k（x－a），联立直线与椭圆方程得
y=k（x+a），+=1， y=mk（x－a），+=1， 解得
M，，
N，；
代入x=+y1=，
可得x=，从而结论成立.
通过上面的变式讨论，我们可以得到关于椭圆过长轴端点的一组直线性质，由于椭圆与双曲线在性质上有许多可比性，那么上面的问题对于双曲线是否也成立呢？于是我们还可以有：
问题3：已知双曲线-=1的左、右顶点为A，B，设过A，B两点分别作直线TA，TB与椭圆分别交于点M（x1，y1），N（x2，y2），当kTB=2kTA时，求证：直线MN必过x轴上的一定点．
简析：同上，可设直线MA，BN的方程分别为y=k（x+a），y=2k（x－a），联立直线与椭圆方程得
y=k（x+a），-=1， y=2k（x－a），-=1， 解得
M，，
N，；
代入x=+y1=，
可得x=，从而结论成立.
可以证明类似问题2的类比结论也成立，因此可以得到关于椭圆与双曲线的又一共同性质． 同时告诉我们解题后应反思，不论对于解题方法的提高，还是对于一般方法的总结与提升都是很有帮助的．