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二次函数是初中数学中十分重要的知识，其内容极为丰富.在近年全国各地各类初中数学竞赛中，与二次函数相关的竞赛题频频出现，为了帮助读者学习起见，本文举例介绍一些常见的题型，供参考.
一、确定二次函数中系数的取值范围
例1 （2007年（《数学周报》杯）全国初中数学竞赛题）已知点A（1，0）、B（2，0）.若二次函数 y=x2+（a-3）x+3的图像与线段AB只有一个交点，则 a 的取值范围是.
解析：分两种情况：
（1）因为二次函数 y=x2+（a-3）x+3的图像与线段AB只有一个交点，且A（1，0）、B（2，0），则
［12+（a-3）×1+3］×［22+（a-3）×2+3］＜0.
解得-1＜a＜-12.
由12+（a-3）×1+3=0，得 a=-1，此时，x1=1，x2=3，符合题意；
由22+（a-3）×2+3=0，得 a=-12，此时 x1=2，x2=32，不符合题意.
（2）令 x2+（a-3）x+3=0，由判别式Δ=0，得 a=3±23.
当 a=3+23时，x1=x2=-3，不符合题意；
当 a=3-23时，x1=x2=3，符合题意.
综上所述，a 的取值范围是-1≤a＜-12或者 a=3-23.
二、求二次函数的顶点坐标
例2 （2007年全国初中数学联赛浙江赛区初赛题）抛物线 y=x2+x+p（p≠0）的图像与 x 轴一个交点的横坐标是 p，那么，该抛物线的顶点坐标是（ ）
（A） （0，-2）
（B） （12，-94）
（C） （-12，94）（D） （-12，-94）
解析：由题意得 p2+p+p=0，
解得 p1=-2，p2=0（舍去）.
当 p=-2时，抛物线是
y=x2+x-2.
因为-b2a=-12×1=-12，
4ac-b24a=4×1×（-2）-124×1=-94，
所以，该抛物线的顶点坐标是（-12，-94）.
答案选（D）.
三、求二次函数中系数的值及二次函数的解析式
例3 （2006年全国初中数学竞赛浙江赛区初赛题）已知二次函数 y=x2+2（m+1）x-m+1.
（1）随着 m 的变化，该二次函数图像的顶点P是否都在某条抛物线上？如果是，请求出抛物线的函数表达式；如果不是，请说明理由.
（2）如果直线 y=x+1经过二次函数 y=x2+2（m+1）x-m+1图像的顶点P，求此时 m 的值.
解析：（1）该二次函数图像的顶点P是在某条抛物线上.
求该抛物线的函数表达式如下：
利用配方得 y=（x+m+1）2-m2-3m.
顶点坐标P（-m-1，-m2-3m）.
令-m-1=x.将 m=-x-1代入
y=-m2-3m，得
y=-（-x-1）2-3（-x-1）=-x2+x+2.
故抛物线的函数表达式是 y=-x2+x+2.
（2）如果顶点P（-m-1，-m2-3m）在直线 y=x+1上，则
-m2-3m=-m-1+1，
即 m2=-2m.
解得 m=0或 m=-2.
所以，当直线 y=x+1经过二次函数 y=x2+2（m+1）x-m+1图像的顶点P时，m 的值是-2或0.
四、在二次函数中判定三角形的形状
例4 （2007年全国初中数学联赛题）设 a、b、c 是△ABC的三边长，二次函数 y=（a-b2）x2-cx-a-b2在 x=1时取最小值-85b.则△ABC是（ ）
（A） 等腰三角形
（B） 锐角三角形
（C） 钝角三角形
（D） 直角三角形
解析：由题设，根据二次函数的性质得
--c2（a-b2）=1，
a-b2-c-a-b2=-85b.
所以，c=35b，a=45b.
因此，有 a2+b2=c2.
故△ABC是直角三角形.
答案选（D）.
五、运用二次函数的性质解决实际问题中的最大（或最小）值
例5 （2007年全国初中数学联赛四川初赛题）有一种产品的质量要求从低到高分为1，2，3，4共四种不同的档次.若工时不变，车间每天可生产最低档次（即第一档次）的产品40件，生产每件产品的利润为16元；如果每提高一个档次，每件产品利润可增加1元，但每天少生产2件产品.现在车间计划只生产一种档次的产品.要使利润最大，车间应生产第种档次的产品.
解析：设车间生产第 x 档次的产品所获得的利润为 y 元，依题意得
y=［40-2（x-1）］［16+（x-1）］
=-2x2+12x+630
=-2（x-3）2+648.
根据二次函数的性质可知，当 x=3时，利润 y 最大，为648元.
六、有关二次函数中的存在性问题
例6 （2007年新知杯上海市初中数学竞赛题）求满足下列条件的正整数 n 的所有可能值：对这样的 n，能找到实数 a、b，使得函数 f（x）=1nx2+ax+b 对任意整数 x，f（x）都是整数.
解析：设 f（x）=1nx2+ax+b 对任意整数 x，f（x）都是整数.则
g（x）=f（x+1）-f（x）
=［1n（x+1）2+a（x+1）+b］-（1nx2+ax+b）
=2nx+1n+a
也为整数.
进而，g（x+1）-g（x）=2n也是整数.
所以，n=1或2.
当 n=1时，取整数 a、b，则 f（x）=x2+ax+b 对任意整数 x，f（x）都是整数.
当 n=2时，取 a=12，b 为整数，则 f（x）=12x2+12x+b=12x（x+1）+b 对任意整数 x，f（x）都是整数.
综上所述，n=1或2.
（初三）
一、确定二次函数中系数的取值范围
例1 （2007年（《数学周报》杯）全国初中数学竞赛题）已知点A（1，0）、B（2，0）.若二次函数 y=x2+（a-3）x+3的图像与线段AB只有一个交点，则 a 的取值范围是.
解析：分两种情况：
（1）因为二次函数 y=x2+（a-3）x+3的图像与线段AB只有一个交点，且A（1，0）、B（2，0），则
［12+（a-3）×1+3］×［22+（a-3）×2+3］＜0.
解得-1＜a＜-12.
由12+（a-3）×1+3=0，得 a=-1，此时，x1=1，x2=3，符合题意；
由22+（a-3）×2+3=0，得 a=-12，此时 x1=2，x2=32，不符合题意.
（2）令 x2+（a-3）x+3=0，由判别式Δ=0，得 a=3±23.
当 a=3+23时，x1=x2=-3，不符合题意；
当 a=3-23时，x1=x2=3，符合题意.
综上所述，a 的取值范围是-1≤a＜-12或者 a=3-23.
二、求二次函数的顶点坐标
例2 （2007年全国初中数学联赛浙江赛区初赛题）抛物线 y=x2+x+p（p≠0）的图像与 x 轴一个交点的横坐标是 p，那么，该抛物线的顶点坐标是（ ）
（A） （0，-2）
（B） （12，-94）
（C） （-12，94）（D） （-12，-94）
解析：由题意得 p2+p+p=0，
解得 p1=-2，p2=0（舍去）.
当 p=-2时，抛物线是
y=x2+x-2.
因为-b2a=-12×1=-12，
4ac-b24a=4×1×（-2）-124×1=-94，
所以，该抛物线的顶点坐标是（-12，-94）.
答案选（D）.
三、求二次函数中系数的值及二次函数的解析式
例3 （2006年全国初中数学竞赛浙江赛区初赛题）已知二次函数 y=x2+2（m+1）x-m+1.
（1）随着 m 的变化，该二次函数图像的顶点P是否都在某条抛物线上？如果是，请求出抛物线的函数表达式；如果不是，请说明理由.
（2）如果直线 y=x+1经过二次函数 y=x2+2（m+1）x-m+1图像的顶点P，求此时 m 的值.
解析：（1）该二次函数图像的顶点P是在某条抛物线上.
求该抛物线的函数表达式如下：
利用配方得 y=（x+m+1）2-m2-3m.
顶点坐标P（-m-1，-m2-3m）.
令-m-1=x.将 m=-x-1代入
y=-m2-3m，得
y=-（-x-1）2-3（-x-1）=-x2+x+2.
故抛物线的函数表达式是 y=-x2+x+2.
（2）如果顶点P（-m-1，-m2-3m）在直线 y=x+1上，则
-m2-3m=-m-1+1，
即 m2=-2m.
解得 m=0或 m=-2.
所以，当直线 y=x+1经过二次函数 y=x2+2（m+1）x-m+1图像的顶点P时，m 的值是-2或0.
四、在二次函数中判定三角形的形状
例4 （2007年全国初中数学联赛题）设 a、b、c 是△ABC的三边长，二次函数 y=（a-b2）x2-cx-a-b2在 x=1时取最小值-85b.则△ABC是（ ）
（A） 等腰三角形
（B） 锐角三角形
（C） 钝角三角形
（D） 直角三角形
解析：由题设，根据二次函数的性质得
--c2（a-b2）=1，
a-b2-c-a-b2=-85b.
所以，c=35b，a=45b.
因此，有 a2+b2=c2.
故△ABC是直角三角形.
答案选（D）.
五、运用二次函数的性质解决实际问题中的最大（或最小）值
例5 （2007年全国初中数学联赛四川初赛题）有一种产品的质量要求从低到高分为1，2，3，4共四种不同的档次.若工时不变，车间每天可生产最低档次（即第一档次）的产品40件，生产每件产品的利润为16元；如果每提高一个档次，每件产品利润可增加1元，但每天少生产2件产品.现在车间计划只生产一种档次的产品.要使利润最大，车间应生产第种档次的产品.
解析：设车间生产第 x 档次的产品所获得的利润为 y 元，依题意得
y=［40-2（x-1）］［16+（x-1）］
=-2x2+12x+630
=-2（x-3）2+648.
根据二次函数的性质可知，当 x=3时，利润 y 最大，为648元.
六、有关二次函数中的存在性问题
例6 （2007年新知杯上海市初中数学竞赛题）求满足下列条件的正整数 n 的所有可能值：对这样的 n，能找到实数 a、b，使得函数 f（x）=1nx2+ax+b 对任意整数 x，f（x）都是整数.
解析：设 f（x）=1nx2+ax+b 对任意整数 x，f（x）都是整数.则
g（x）=f（x+1）-f（x）
=［1n（x+1）2+a（x+1）+b］-（1nx2+ax+b）
=2nx+1n+a
也为整数.
进而，g（x+1）-g（x）=2n也是整数.
所以，n=1或2.
当 n=1时，取整数 a、b，则 f（x）=x2+ax+b 对任意整数 x，f（x）都是整数.
当 n=2时，取 a=12，b 为整数，则 f（x）=12x2+12x+b=12x（x+1）+b 对任意整数 x，f（x）都是整数.
综上所述，n=1或2.
（初三）