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【内容摘要】数学概念是数学的逻辑起点，是学生认知的基础，是学生进行数学思维的核心。因此，数学概念教学是数学教学的重点。本文从认知心理学角度，探讨了数学概念教学的策略和方法。
【关键词】数学 概念 认知 心理 教学
数学概念是数学知识系统的重要组成成分，也是学习数学的认知基础。数学概念之间存在着各种逻辑联系，由这些联系最终构成概念网络，形成概念体系。在数学学习过程中，学生如果没有真正理解数学概念，那么解决数学问题就会常常出错，同时也不利于相关概念的学习和整个数学概念体系的建立。在数学教学中，概念教学不但重要，而且难度较大。本文从认知心理学角度，探讨了数学概念教学的策略和途径。
一、重视概念的本质属性，开掘概念教学深度
现代认知心理学理论认为，概念都是从具体的自然概念向抽象的科学概念不断发展的过程中得以不断完善的。美国著名认知心理学家奥苏贝尔认为，概念既有动态过程性，又有静态结构性，即概念的二重性。Thompson，Greeno，Hiebert等人在现代认知心理学、建构主义等理论指导下提出，许多数学概念可以看作是过程与对象的对立统一体。这是从数学角度出发对数学概念的本质认识。概念的二重性在数学中比比皆是，如分式既表示两个式子做除法，又表示商；数列极限既代表序列变化趋势的过程，又代表发展变化的结果；微分和积分既代表对函数的特定运算法则，又代表特定的变换本身等等。
因此，在数学概念教学中，我们既不但要引导学生经历从具体的自然的概念逐渐向抽象的科学的概念的过渡，逐渐由感性认识上升成为理性认识，而且要重视概念的二重性，开掘概念教学的深度。有许多数学概念，如果我们仅仅重视对数学概念作静态的对象结构分析，就会忽视概念动态的过程操作性。这时，我们往往只知道概念定义而不会灵活地运用定义以及背后隐含的数学思想解答问题。例如，已知椭圆方程x2a2 y2b2=1（a>b>0）从椭圆的右焦点F（c，0）向椭圆的任一切线作垂线，垂足为P，求点P的轨迹。对于这道题，学生通常采用代数法解题，先设出椭圆的切线方程为y=kx m，求出PF的直线方程解出交点P的坐标，通过消参求出轨迹方程。这种解法计算量比较大，容易在求解过程中出现错误。解这道题如果利用椭圆定义，作点F关于椭圆切线的对称点，很容易得到点P到椭圆中心O的距离等于常数a，点P的轨迹就是以点O为圆心，a为半径的一个圆。
二、运用概念结构理论，拓展概念教学宽度
现代学习心理学认为，学习是一种建构性的活动，是学生在已有的知识经验基础上，通过与新知识发生相互作用，最终形成新的认知结构过程。因此，数学概念的教学应关注学生的经验世界，应在定义之前先寻找概念发生的基础，找到对应的具体化材料、实例，再通过对象的数学化过程而获得数学概念。根据概念形成的自然性，概念可以分为自然概念和人工概念。自然概念是指人类历史发展过程中自然形成的概念。人工概念是在实验室条件下，为模拟自然概念的形成过程而人为地制造出一些概念。从心理学角度上讲，有关概念结构有下面几种理论：
1.层次网络模型
概念是以结点的形式存储在概念网络中。在概念网络体系中，每个概念不但都具有自己的定义，而且概念间通过各种内在逻辑联系，往往会形成一种类属层级关系。在这个概念体系中，层次越高的概念，其建立的基础越宽广、厚实，其抽象概括的水平也越高。因此，在概念教学中，运用这一模型理论就要加强概念的衔接性及相互关系的教学，帮助学生厘清概念间的关系。简单地说，数学概念不是孤立的。定义一个新概念要用到很多旧概念，即数学概念之间是相互联系的。如对“极限、连续、导数”概念的教学，大部分教师倾向于让学生学会操作性的计算，简单性的应用即罢。学生能求简单函数的极限、连续、导数即行。其实这种只强调计算而忽视概念的教学，不但会影响学生对概念的理解，还会妨碍大学微积分的学习。虽然函数概念是现代数学的中心问题，但正是极限的概念引入，标志着数学思维向着更高级的领域发展。极限思想是微积分学中处理问题的基本思想。微积分的基本概念都是在极限概念的基础上命名的。教学中，由于数在某一点的极限概念实证研究较少。连续概念在教材中也是一带而过，讨论较多的核心概念是导数，因此许多老师常忽视这几个概念的教学。其实可导一定是连续的，而且必须在连续的背景下讨论。函数在点xo处的极限、连续、导数三者概念是互相联系的，函数在点处xo存在极限是函数在点xo处连续的必要条件，函数在点xo处连续是函数在点xo处可导的必要条件，三者之间的关系如下图所示。
又如，二次三项式a x2 bx c出现在中学代数式一章，与一元二次方程a x2 bx c=0及一元二次不等式a x2 bx c>0（<0）兩个专题分为三个阶段学习。教材的这种安排，使得教学中我们会将它们当作孤立的几项内容分散进行教学，但当引入二次函数f（x）= a x2 bx c，我们就可以把上述三方面内容统一在函数概念之下进行深度整合，从而使知识结构成网，便于学生整体掌握。
2.原型模型
从概念结构来讲，原型理论认为，概念是由原型加上与原型特征有相似性的成员来组成的。所谓原型是指范畴中最能代表该范畴的典型成员，而且概念主要是以原型来表征的。例如，概念“鸟”的原型为“麻雀”，而“鸽子”“鸵鸟”等成员与“麻雀”都有一定的相似性特征，这样以原型为核心，加上与之具有相似性的成员就组成了“鸟”的概念范畴。
其实，在人的记忆中有很多概念并不是以某些抽象的规则或一些相关特征来表示的，而是以这些概念的典型实例来表示的。例如讲到一些几何图形时，可能在人的意识中首先反映的是一个直观几何图形，而并非其形式定义；在讲到函数时，我们可能首先想到的是某一函数解析式或函数图像；有时在回忆某一概念时，往往先试着回忆具体事例或图形，然后再联想到其形式定义。由此可见，概念的典型性范例对学生获得概念起着重要的作用。在概念教学中，教师不应先呈现概念的定义，而是应该在重视学生先前的经验的基础上，通过组织整理学生接触到的恰当的实例，先建立起“智力对象”，再由学生这种思维活动（“其一是对他们先前的经验作某种分类，其二是他们现有的经验能归结到某个种类中去”），去丰富主体的体验，从心理上建构概念意义，最终获得数学概念。
总之，数学概念的理解和建构是数学学习的主要目标之一。数学教学中，我们一定要重视概念教学，要在充分尊重学生的经验世界和认知特点基础上，引导学生挖掘概念的内涵，掌握概念的本质属性，同时按照数学概念的层次结构，通过不断深入的抽象概括，帮助学生形成比较完善的数学概念结构。实际教学中，作为教师，既要从思想上引导学生重视数学概念，同时，又要精心准备概念的教学，重视数学概念的形成过程，并通过筛选、编制关于概念的习题，及时纠正学生错误的概念表象，让学生深刻理解概念的含义。作为学生，要重视数学基础的学习，特别是对概念本质的理解，建立概念体系。比如在微积分学习时，当导数以等价变式的形式出现时，我们要注重极限式所表达的某一个概念，而不是注重计算技巧，关注分子、分母、函数表达式等方面，对导数概念的理解也不能仅仅停留在模仿阶段，多思考函数在一点处的极限、连续、导数概念的三者关系，这样，我们就能更深地理解导数实质上是特殊的极限，导数要在连续的基础上讨论，对极限“永远达不到”的思想可能会改变。
【参考文献】
[1] 王波.关于数学概念教学的几点思考[J]宁夏教育科研，2008，（5）.
[2] 彭姌龄.普通心理学[M].北京师范大学出版社，2003.
[3] 梁英.基于认知心理学理论的数学概念教学分析[J] 广东技术师范学院学报，2006（4）.
[4] 王波.关于数学概念教学的几点思考[J].宁夏教育科研，2008，（5）.
[5] 彭姌龄.普通心理学[M]. 北京师范大学出版社，2003.
（作者单位：广东省四会市四会中学）
【关键词】数学 概念 认知 心理 教学
数学概念是数学知识系统的重要组成成分，也是学习数学的认知基础。数学概念之间存在着各种逻辑联系，由这些联系最终构成概念网络，形成概念体系。在数学学习过程中，学生如果没有真正理解数学概念，那么解决数学问题就会常常出错，同时也不利于相关概念的学习和整个数学概念体系的建立。在数学教学中，概念教学不但重要，而且难度较大。本文从认知心理学角度，探讨了数学概念教学的策略和途径。
一、重视概念的本质属性，开掘概念教学深度
现代认知心理学理论认为，概念都是从具体的自然概念向抽象的科学概念不断发展的过程中得以不断完善的。美国著名认知心理学家奥苏贝尔认为，概念既有动态过程性，又有静态结构性，即概念的二重性。Thompson，Greeno，Hiebert等人在现代认知心理学、建构主义等理论指导下提出，许多数学概念可以看作是过程与对象的对立统一体。这是从数学角度出发对数学概念的本质认识。概念的二重性在数学中比比皆是，如分式既表示两个式子做除法，又表示商；数列极限既代表序列变化趋势的过程，又代表发展变化的结果；微分和积分既代表对函数的特定运算法则，又代表特定的变换本身等等。
因此，在数学概念教学中，我们既不但要引导学生经历从具体的自然的概念逐渐向抽象的科学的概念的过渡，逐渐由感性认识上升成为理性认识，而且要重视概念的二重性，开掘概念教学的深度。有许多数学概念，如果我们仅仅重视对数学概念作静态的对象结构分析，就会忽视概念动态的过程操作性。这时，我们往往只知道概念定义而不会灵活地运用定义以及背后隐含的数学思想解答问题。例如，已知椭圆方程x2a2 y2b2=1（a>b>0）从椭圆的右焦点F（c，0）向椭圆的任一切线作垂线，垂足为P，求点P的轨迹。对于这道题，学生通常采用代数法解题，先设出椭圆的切线方程为y=kx m，求出PF的直线方程解出交点P的坐标，通过消参求出轨迹方程。这种解法计算量比较大，容易在求解过程中出现错误。解这道题如果利用椭圆定义，作点F关于椭圆切线的对称点，很容易得到点P到椭圆中心O的距离等于常数a，点P的轨迹就是以点O为圆心，a为半径的一个圆。
二、运用概念结构理论，拓展概念教学宽度
现代学习心理学认为，学习是一种建构性的活动，是学生在已有的知识经验基础上，通过与新知识发生相互作用，最终形成新的认知结构过程。因此，数学概念的教学应关注学生的经验世界，应在定义之前先寻找概念发生的基础，找到对应的具体化材料、实例，再通过对象的数学化过程而获得数学概念。根据概念形成的自然性，概念可以分为自然概念和人工概念。自然概念是指人类历史发展过程中自然形成的概念。人工概念是在实验室条件下，为模拟自然概念的形成过程而人为地制造出一些概念。从心理学角度上讲，有关概念结构有下面几种理论：
1.层次网络模型
概念是以结点的形式存储在概念网络中。在概念网络体系中，每个概念不但都具有自己的定义，而且概念间通过各种内在逻辑联系，往往会形成一种类属层级关系。在这个概念体系中，层次越高的概念，其建立的基础越宽广、厚实，其抽象概括的水平也越高。因此，在概念教学中，运用这一模型理论就要加强概念的衔接性及相互关系的教学，帮助学生厘清概念间的关系。简单地说，数学概念不是孤立的。定义一个新概念要用到很多旧概念，即数学概念之间是相互联系的。如对“极限、连续、导数”概念的教学，大部分教师倾向于让学生学会操作性的计算，简单性的应用即罢。学生能求简单函数的极限、连续、导数即行。其实这种只强调计算而忽视概念的教学，不但会影响学生对概念的理解，还会妨碍大学微积分的学习。虽然函数概念是现代数学的中心问题，但正是极限的概念引入，标志着数学思维向着更高级的领域发展。极限思想是微积分学中处理问题的基本思想。微积分的基本概念都是在极限概念的基础上命名的。教学中，由于数在某一点的极限概念实证研究较少。连续概念在教材中也是一带而过，讨论较多的核心概念是导数，因此许多老师常忽视这几个概念的教学。其实可导一定是连续的，而且必须在连续的背景下讨论。函数在点xo处的极限、连续、导数三者概念是互相联系的，函数在点处xo存在极限是函数在点xo处连续的必要条件，函数在点xo处连续是函数在点xo处可导的必要条件，三者之间的关系如下图所示。
又如，二次三项式a x2 bx c出现在中学代数式一章，与一元二次方程a x2 bx c=0及一元二次不等式a x2 bx c>0（<0）兩个专题分为三个阶段学习。教材的这种安排，使得教学中我们会将它们当作孤立的几项内容分散进行教学，但当引入二次函数f（x）= a x2 bx c，我们就可以把上述三方面内容统一在函数概念之下进行深度整合，从而使知识结构成网，便于学生整体掌握。
2.原型模型
从概念结构来讲，原型理论认为，概念是由原型加上与原型特征有相似性的成员来组成的。所谓原型是指范畴中最能代表该范畴的典型成员，而且概念主要是以原型来表征的。例如，概念“鸟”的原型为“麻雀”，而“鸽子”“鸵鸟”等成员与“麻雀”都有一定的相似性特征，这样以原型为核心，加上与之具有相似性的成员就组成了“鸟”的概念范畴。
其实，在人的记忆中有很多概念并不是以某些抽象的规则或一些相关特征来表示的，而是以这些概念的典型实例来表示的。例如讲到一些几何图形时，可能在人的意识中首先反映的是一个直观几何图形，而并非其形式定义；在讲到函数时，我们可能首先想到的是某一函数解析式或函数图像；有时在回忆某一概念时，往往先试着回忆具体事例或图形，然后再联想到其形式定义。由此可见，概念的典型性范例对学生获得概念起着重要的作用。在概念教学中，教师不应先呈现概念的定义，而是应该在重视学生先前的经验的基础上，通过组织整理学生接触到的恰当的实例，先建立起“智力对象”，再由学生这种思维活动（“其一是对他们先前的经验作某种分类，其二是他们现有的经验能归结到某个种类中去”），去丰富主体的体验，从心理上建构概念意义，最终获得数学概念。
总之，数学概念的理解和建构是数学学习的主要目标之一。数学教学中，我们一定要重视概念教学，要在充分尊重学生的经验世界和认知特点基础上，引导学生挖掘概念的内涵，掌握概念的本质属性，同时按照数学概念的层次结构，通过不断深入的抽象概括，帮助学生形成比较完善的数学概念结构。实际教学中，作为教师，既要从思想上引导学生重视数学概念，同时，又要精心准备概念的教学，重视数学概念的形成过程，并通过筛选、编制关于概念的习题，及时纠正学生错误的概念表象，让学生深刻理解概念的含义。作为学生，要重视数学基础的学习，特别是对概念本质的理解，建立概念体系。比如在微积分学习时，当导数以等价变式的形式出现时，我们要注重极限式所表达的某一个概念，而不是注重计算技巧，关注分子、分母、函数表达式等方面，对导数概念的理解也不能仅仅停留在模仿阶段，多思考函数在一点处的极限、连续、导数概念的三者关系，这样，我们就能更深地理解导数实质上是特殊的极限，导数要在连续的基础上讨论，对极限“永远达不到”的思想可能会改变。
【参考文献】
[1] 王波.关于数学概念教学的几点思考[J]宁夏教育科研，2008，（5）.
[2] 彭姌龄.普通心理学[M].北京师范大学出版社，2003.
[3] 梁英.基于认知心理学理论的数学概念教学分析[J] 广东技术师范学院学报，2006（4）.
[4] 王波.关于数学概念教学的几点思考[J].宁夏教育科研，2008，（5）.
[5] 彭姌龄.普通心理学[M]. 北京师范大学出版社，2003.
（作者单位：广东省四会市四会中学）