论文部分内容阅读
摘要
《数学能力培养纵横谈》是一组连载一年的文章，分别论述中学数学观察、记忆、想象、思维、运算、论证、运用、猜想、探索、创造、自学、审美能力的培养。具体标题如下：
中学数学观察能力的培养：观察数字，寻找突破；观察外型，联想知识；观察结构，确定解法；观察整体，全面审视；观察局部，各个击破；观察结论，联系条件；观察全体，挖掘隐含；观察图形，巧解妙证；观察特值，探索解法；观察规律，寻找思路。
中学数学记忆能力的培养：明确目标，存心记忆；掌握知识，理解记忆；积累经验，概括记忆；培养兴趣，积极记忆；分类归纳，系统记忆；分析矛盾，对立记忆；寻找异同，对比记忆；利用图形，形象记忆；编拟歌诀，趣味记忆。
中学数学想象能力的培养：打好基础，展开想象；逐级训练，發展想象；运用“默解”，训练想象；描绘图形，培养想象；揭示联系，深化想象；数形结合，帮助想象；利用变式，全面想象；简缩思维，灵活想象；利用趣题，丰富想象。
中学数学思维能力的培养：方向明确，合理思维；随机应变，灵活思维；一题多解，广阔思维；一题多变，深刻思维；多方思考，逆向思维；独辟蹊径，巧妙思维；分析概括，简缩思维；疑而不惑，批判思维。
中学数学运算能力的培养：熟记数据，有利运算；掌握知识，正确运算；熟练技能，迅速运算；全面审视，合理运算；设而不求，巧妙运算；利用图形，简化运算；分组求值，整体运算；谨慎推理，严密运算。
中学数学论证能力的培养：看清题意，明确论证；格式规范，合理论证；掌握方法，灵活论证；积累经验，巧妙论证；大胆猜测，严谨论证。
中学数学运用能力的培养：培养实际运用能力；培养综合运用能力；培养灵活运用能力。
中学数学猜想能力的培养：通过观察，提出猜想；通过实验，提出猜想；通过归纳，提出猜想；通过类比，提出猜想；通过一般化与特殊化，提出猜想；通过局部分析，提出猜想；通过几何直观，提出猜想；通过物理现象，提出猜想。
中学数学探索能力的培养：深入观察，大胆探索；通过类比，尝试探索；利用变式，全面探索；演变图形，直观探索；善于归纳，深入探索；精辟分析，合理探索。
中学数学创造能力的培养：观察想象，引發创造；利用猜想，思索创造；發散思维，促进创造；抽象概括，帮助创造；灵感思维，突發创造；化归意识，激發创造；善于构造，巧妙创造；怀疑精神，孕育创造。
中学数学自学能力的培养：明确目标，制定计划；精选用书，认真阅读；讲究方法，提高效率；做好笔记，巩固效果。
中学数学审美能力的培养：数学之美，美在对称、和谐；数学之美，美在简单、明快；数学之美，美在雅致、统一；数学之美，美在奇异、突变。
回顾
我从教27年，从一名普通的数学教师，成长为一名骨干教师、优秀教师、特级教师，成为教研室主任、校长助理、副校长、校长、副局长。我的成长之路，更多的得益于解题研究；我的解题研究，更多的得益于《中学生数理化》。
回首来路，满怀感激。因为，我的成长之路，一路上有你——《中学生数理化》。
《中学生数理化》，壮我上讲台。
告别大学后来到中学任数学教师，我成了80年代教育园地里的一名新园丁。尽管在大学里学了不少数学知识，但初上中学讲台的我，数学课却不知从何讲起。45分钟的课，有时20来分钟就讲完了，有时只讲到该讲的一半。我曾怀疑自己不是当老师的料子，并常常为此苦恼。
一个偶然的机会，我在学校图书馆里發现了《中学生数理化》，上面有许多数学知识梳理的文章，有许多解题方法和解题技巧的文章，还有一些趣味数学问题，这些文章使我增长了知识，开阔了视野，得到了启迪。原来一个简单的知识，就有那么多的运用；一个普通的问题，就有那么多的“一题多解”、“一题多变”和“一题多用”。从此，我就自己订阅《中学生数理化》，每期一到，就爱不释手，就篇篇细读，直至把书读红——其实就是用红色笔在杂志上划呀写呀算呀。就这样，我的数学教学水平，与我的阅读成正比，阅读的越多，提高的越快。
《中学生数理化》象片片绿叶，时时陪伴着我；如智慧的琼浆，壮我走上点燃理想和希望的讲台。
《中学生数理化》，助我当新秀。
数学教学水平的提高，使我对一些数学问题进行初步的研究。初始的研究，层次非常浅。1984年，我尝试给《中学生数理化妒‘数学作业讲评”栏目投稿，我至少投了5篇，终于在1985年第一期發表了我对学生一道错题的讲评。要知道，作为一名才上岗不久的新教师，能在杂志上有东西，自己的名字能变成铅字，那是多么高兴的事!那时几元钱的稿费，能让我买上几本好书。
紧接着，我又对另一道错题进行讲评。后来觉得还可以再提高一点“层次”，我就尝试着写文章。功夫不负有心人，终于我的《补台成锥解题》發表了，我的《数学解题辨证观》又發表了。连续几篇文章的發表，使我增强了信心，也觉得可以在数学解题方面进行更深入的研究和探索。
在《中学生数理化》编辑部赵良河、刘庆玮等编辑的鼓励下，我又發表了5、6篇文章，我开始受到数学教育界的注意。
在一次与编辑通信时，我谈到了想写一些关于学生数学能力培养方面的稿件，编辑部一听到我的想法，立刻来信建议我一口气写它12篇，连载一年。那时投稿發表文章不是很容易的事，而《中学生数理化》让我写12篇，是对我的最大信任，我必须很好地完成任务。于是，我不敢懈怠，抓紧时间写。1991年，我的“数学能力培养”系列文章，分观察、记忆、想象、思维、运算、论证、运用、猜想、探索、创造、自学、审美能力的培养，以“能力培养纵横谈”开栏，连载一年。
一时间，我在福建龙岩山区出名了，我在福建省出名了，我在全国一定范围内出名了。当地的学校纷纷请我到他们学校给师生讲数学能力培养，外地学校也纷纷通过关系找到校长，要校长让我去他们那里讲，新学年分班时，许多家长都要求把孩子放在我班。
我成教坛新秀了。1994年，福建省破格评选特级教师，我是第一个破格评上的。
《中学生数理化》，促我成名师。
后来，我又陆续在《中学生数理化》上發表了文章。一统计，竟然有36篇。
《中学生数理化》在全国發行量很大，除了学生、老师订阅，数学教育界许多专家、学者也订阅，连出版社、其他杂志社的数学编辑也订阅。
几家出版社的编辑看了我写的文章，就来函约我在连载的基础上，进行扩充，写成书出版。能出书啦，更是令人激动的事!我利用一切业余时间，埋头写书。先写了《中学数学学习法》，西北工业大学出版社出版；又写了《中学数学解题百技巧》，福建少年儿童出版社出版；再写了《你能学好高中数学》，人民日报出版社出版。第一本书获得中国学习科学学会优秀著作一等奖。
后来，出版社的编辑说，不能只写解题的，要 扩大到教育教学领域。于是，我写了《数学学习指导与教学艺术》，人民教育出版社出版。应教育部之约，我的《任勇与数学学习指导》列入‘‘教育家成长丛书”，由北京师范大学出版社出版。
1994年，我评上特级教师；1995年，我评上福建省优秀专家；1998年，我享受国务院特殊津贴；1 998年，我获得“苏步青数学教育奖”一等奖。
如果说，我有一点成功，那是一路上有你——《中学生数理化》。
如今，我虽然担任教育局副局长，但我仍然每期翻看《中学生数理化》。一是我想保持对数学解题的敏感；二是我想从中了解课程改革的走向；三是我还要利用业余时间研究数学、写些数学文章，不读书怎行?
“刊”指一条路，烛照万里程。
数学教育路漫漫，吾将上下而求索。
凝思
数学能力是顺利完成数学活动所必备且直接影响其活动效率的一种个性心理特征，它是在数学活动过程中形成和發展起来的，并主要在这类活动中表现出来的比较稳定的心理特征。發展数学能力，是数学学习目标的一个重要组成部分。中学数学学习，既要系统掌握知识，又要注意能力培养，而且对能力的要求日益显得重要。如何提高数学能力，已成为提高中学数学学习质量的当务之急。
事实上，长期以来，世界各国的教育学、心理学专家和数学家们，一直关注并致力于能力培养的研究——给能力下定义、探究能力的结构。
早在1908年法国数学家彭加勒就發表了数学创造力和本质的见解，他提出了数学创造力的“无意识侧面”，并认为“这是灵感的经常性源泉。”“数学家们有一种特殊的、与众不同的审美感(审美本能)。”
1918年，著名科学家罗杰斯提出两种数学能力：再现能力与创造能力。
瑞典心理学家魏德林给一般人所说的掌握、再现以及独立运用数学信息的那种“学校式”能力下了定义：“数学能力是理解数学的(以及类似的)问题、符号、方法和证明的本质的能力；是学会它们，在记忆中保持和再现它们的能力；是把它们同其它问题、符号、方法和证明结合起来的能力；也是在解数学的(或类似的)问题时运用它们的能力。”魏德林认为数学推理能力是构成数学能力的基础。
前苏联心理学家克鲁捷茨基关于数学能力的研究成果《中小学数学能力心理学》在国际上影响很大，他认为应从两个方面来看数学能力的概念：
一是看作创造性(科学的)能力——科学的数学活动方面的能力，这种能力能产生对人类有意义的新成果和新成就，对社会作出有价值的贡献。
二是看作一般学习能力——学习(学会、掌握)数学的能力，迅速而顺利地掌握适当的知识和技能的能力。
还有不少数学家对数学能力提出了自己的见解。
我国学者对数学能力的研究逐步深化，但总体说来对数学能力的研究时间不长，研究还不够深入，研究的方法和手段有的不完全或不科学。多数数学教师，感到结合数学教学培养能力有相当的困难。对于能力结构的讨论中，所列举的应培养的各种能力越来越多，有无限增加的趋势。多数学者认为，数学教学毫无疑问应着重培养数学的三大能力(运算能力、空间想象能力及逻辑思维能力，逻辑思维能力是核心)以及获得数学知识和运用数学知识的能力。与此同时，一般能力(如观察能力，自学能力，操作能力等)的培养，当然也应与其他学科同步进行，以期使学生有坚实的基础并有创造性。
《普通高中数学课程标准(实验)》提出了五个基本数学能力：计算能力、逻辑推理能力、空间想象能力、抽象概括能力、数据处理能力。与以往的《数学教学大纲》相比，增加了抽象概括能力和数据处理能力，为何增加这两大基本能力呢?
是否可以这样说，增加抽象概括能力和数据处理能力反映了对数学课程认识上的变化。我们知道，数学既是演绎的科学，又是归纳的科学。“演绎推理”和“归纳推理”是认识数学的两个基本方面，从一般到特殊，从具体到抽象，都是重要的。但在实际教学中，常常忽视后者。抽象概括和数据处理都是一种归纳思维。因此，增加抽象概括和数据处理能力反映了数学课程从单纯的演绎到强调归纳演绎并重。
从三大能力变为五大能力，还有许多问题需要深入研究。
从以上分析可以看出，我所写的“数学能力培养”系列文章，仅仅是以高中生为对象，谈了些具体的做法，这种“培养”更多的是基于学生的“自我培养”。
展望
关于“能力”的研究，还有许多工作要做。比如，关于能力的内涵，关于能力的外延等；又如，技能与能力的关系，智能与能力的关系，知识与能力的关系，等等。
关于“数学能力”的研究，也还有许多工作要做。比如有关文献关于数学能力的内涵与外延的认识之“综述”，中学数学能力研究现状之“分析”等；又如，我们前面提到的“从三大能力到五大能力”中，新增的两大能力“抽象概括能力和数据处理能力”的研究，的的确确需要深入研究。
说到数学能力，张奠宙教授主编的《数学教育研究导引》一书中的“课题推荐”，就有“数学能力的性别差异”，我们研究得怎样?
课改背景下，数学科的考试，按照“考查基础知识的同时，注重考查能力”的原则，确立以能力立意命题的指导思想，将知识、能力与素养考查融为一体，全面检测考生的数学素养。怎样考查“数学能力”?说起来容易，做起来真难!
高考数学考试大纲，对“能力要求”是这样说的：能力是指思维能力、运算能力、空问想象能力以及实践能力和创新意识。这与课改要求‘‘五大能力”是有差异的，怎样看待?
我们知道，思维能力是数学能力的核心，高中数学课标课程就明确提出“注重提高学生的数学思维能力”。有人说，培养和發展学生的数学思维能力是發展智力、培养能力的主要途径。有没有实验来证明这一“假说”?有人说，数学思维能力有助于提高学生的生活质量和工作能力。能有更多的实例吗?
我们还知道，创新能力近年来成为热门话题。“民族要进步，国家要强大，企业要腾飞，个人要發展，关键在于创新。”数学创新意识、创新能力的研究也成为热点。数学创新能力与数学创造性思维有着密切的联系。这方面的研究似可“小题大作”，即选择几个“微观课题”进行深入研究，期许得出更多有用有益的结论。比如，有人提出创新性思维具有新颖性、灵活性、精致性、流畅性、敏捷性、真理性和价值性等特征，你能就其中的一个“性”展开深入的探讨和研究吗?
《数学能力培养纵横谈》是一组连载一年的文章，分别论述中学数学观察、记忆、想象、思维、运算、论证、运用、猜想、探索、创造、自学、审美能力的培养。具体标题如下：
中学数学观察能力的培养：观察数字，寻找突破；观察外型，联想知识；观察结构，确定解法；观察整体，全面审视；观察局部，各个击破；观察结论，联系条件；观察全体，挖掘隐含；观察图形，巧解妙证；观察特值，探索解法；观察规律，寻找思路。
中学数学记忆能力的培养：明确目标，存心记忆；掌握知识，理解记忆；积累经验，概括记忆；培养兴趣，积极记忆；分类归纳，系统记忆；分析矛盾，对立记忆；寻找异同，对比记忆；利用图形，形象记忆；编拟歌诀，趣味记忆。
中学数学想象能力的培养：打好基础，展开想象；逐级训练，發展想象；运用“默解”，训练想象；描绘图形，培养想象；揭示联系，深化想象；数形结合，帮助想象；利用变式，全面想象；简缩思维，灵活想象；利用趣题，丰富想象。
中学数学思维能力的培养：方向明确，合理思维；随机应变，灵活思维；一题多解，广阔思维；一题多变，深刻思维；多方思考，逆向思维；独辟蹊径，巧妙思维；分析概括，简缩思维；疑而不惑，批判思维。
中学数学运算能力的培养：熟记数据，有利运算；掌握知识，正确运算；熟练技能，迅速运算；全面审视，合理运算；设而不求，巧妙运算；利用图形，简化运算；分组求值，整体运算；谨慎推理，严密运算。
中学数学论证能力的培养：看清题意，明确论证；格式规范，合理论证；掌握方法，灵活论证；积累经验，巧妙论证；大胆猜测，严谨论证。
中学数学运用能力的培养：培养实际运用能力；培养综合运用能力；培养灵活运用能力。
中学数学猜想能力的培养：通过观察，提出猜想；通过实验，提出猜想；通过归纳，提出猜想；通过类比，提出猜想；通过一般化与特殊化，提出猜想；通过局部分析，提出猜想；通过几何直观，提出猜想；通过物理现象，提出猜想。
中学数学探索能力的培养：深入观察，大胆探索；通过类比，尝试探索；利用变式，全面探索；演变图形，直观探索；善于归纳，深入探索；精辟分析，合理探索。
中学数学创造能力的培养：观察想象，引發创造；利用猜想，思索创造；發散思维，促进创造；抽象概括，帮助创造；灵感思维，突發创造；化归意识，激發创造；善于构造，巧妙创造；怀疑精神，孕育创造。
中学数学自学能力的培养：明确目标，制定计划；精选用书，认真阅读；讲究方法，提高效率；做好笔记，巩固效果。
中学数学审美能力的培养：数学之美，美在对称、和谐；数学之美，美在简单、明快；数学之美，美在雅致、统一；数学之美，美在奇异、突变。
回顾
我从教27年，从一名普通的数学教师，成长为一名骨干教师、优秀教师、特级教师，成为教研室主任、校长助理、副校长、校长、副局长。我的成长之路，更多的得益于解题研究；我的解题研究，更多的得益于《中学生数理化》。
回首来路，满怀感激。因为，我的成长之路，一路上有你——《中学生数理化》。
《中学生数理化》，壮我上讲台。
告别大学后来到中学任数学教师，我成了80年代教育园地里的一名新园丁。尽管在大学里学了不少数学知识，但初上中学讲台的我，数学课却不知从何讲起。45分钟的课，有时20来分钟就讲完了，有时只讲到该讲的一半。我曾怀疑自己不是当老师的料子，并常常为此苦恼。
一个偶然的机会，我在学校图书馆里發现了《中学生数理化》，上面有许多数学知识梳理的文章，有许多解题方法和解题技巧的文章，还有一些趣味数学问题，这些文章使我增长了知识，开阔了视野，得到了启迪。原来一个简单的知识，就有那么多的运用；一个普通的问题，就有那么多的“一题多解”、“一题多变”和“一题多用”。从此，我就自己订阅《中学生数理化》，每期一到，就爱不释手，就篇篇细读，直至把书读红——其实就是用红色笔在杂志上划呀写呀算呀。就这样，我的数学教学水平，与我的阅读成正比，阅读的越多，提高的越快。
《中学生数理化》象片片绿叶，时时陪伴着我；如智慧的琼浆，壮我走上点燃理想和希望的讲台。
《中学生数理化》，助我当新秀。
数学教学水平的提高，使我对一些数学问题进行初步的研究。初始的研究，层次非常浅。1984年，我尝试给《中学生数理化妒‘数学作业讲评”栏目投稿，我至少投了5篇，终于在1985年第一期發表了我对学生一道错题的讲评。要知道，作为一名才上岗不久的新教师，能在杂志上有东西，自己的名字能变成铅字，那是多么高兴的事!那时几元钱的稿费，能让我买上几本好书。
紧接着，我又对另一道错题进行讲评。后来觉得还可以再提高一点“层次”，我就尝试着写文章。功夫不负有心人，终于我的《补台成锥解题》發表了，我的《数学解题辨证观》又發表了。连续几篇文章的發表，使我增强了信心，也觉得可以在数学解题方面进行更深入的研究和探索。
在《中学生数理化》编辑部赵良河、刘庆玮等编辑的鼓励下，我又發表了5、6篇文章，我开始受到数学教育界的注意。
在一次与编辑通信时，我谈到了想写一些关于学生数学能力培养方面的稿件，编辑部一听到我的想法，立刻来信建议我一口气写它12篇，连载一年。那时投稿發表文章不是很容易的事，而《中学生数理化》让我写12篇，是对我的最大信任，我必须很好地完成任务。于是，我不敢懈怠，抓紧时间写。1991年，我的“数学能力培养”系列文章，分观察、记忆、想象、思维、运算、论证、运用、猜想、探索、创造、自学、审美能力的培养，以“能力培养纵横谈”开栏，连载一年。
一时间，我在福建龙岩山区出名了，我在福建省出名了，我在全国一定范围内出名了。当地的学校纷纷请我到他们学校给师生讲数学能力培养，外地学校也纷纷通过关系找到校长，要校长让我去他们那里讲，新学年分班时，许多家长都要求把孩子放在我班。
我成教坛新秀了。1994年，福建省破格评选特级教师，我是第一个破格评上的。
《中学生数理化》，促我成名师。
后来，我又陆续在《中学生数理化》上發表了文章。一统计，竟然有36篇。
《中学生数理化》在全国發行量很大，除了学生、老师订阅，数学教育界许多专家、学者也订阅，连出版社、其他杂志社的数学编辑也订阅。
几家出版社的编辑看了我写的文章，就来函约我在连载的基础上，进行扩充，写成书出版。能出书啦，更是令人激动的事!我利用一切业余时间，埋头写书。先写了《中学数学学习法》，西北工业大学出版社出版；又写了《中学数学解题百技巧》，福建少年儿童出版社出版；再写了《你能学好高中数学》，人民日报出版社出版。第一本书获得中国学习科学学会优秀著作一等奖。
后来，出版社的编辑说，不能只写解题的，要 扩大到教育教学领域。于是，我写了《数学学习指导与教学艺术》，人民教育出版社出版。应教育部之约，我的《任勇与数学学习指导》列入‘‘教育家成长丛书”，由北京师范大学出版社出版。
1994年，我评上特级教师；1995年，我评上福建省优秀专家；1998年，我享受国务院特殊津贴；1 998年，我获得“苏步青数学教育奖”一等奖。
如果说，我有一点成功，那是一路上有你——《中学生数理化》。
如今，我虽然担任教育局副局长，但我仍然每期翻看《中学生数理化》。一是我想保持对数学解题的敏感；二是我想从中了解课程改革的走向；三是我还要利用业余时间研究数学、写些数学文章，不读书怎行?
“刊”指一条路，烛照万里程。
数学教育路漫漫，吾将上下而求索。
凝思
数学能力是顺利完成数学活动所必备且直接影响其活动效率的一种个性心理特征，它是在数学活动过程中形成和發展起来的，并主要在这类活动中表现出来的比较稳定的心理特征。發展数学能力，是数学学习目标的一个重要组成部分。中学数学学习，既要系统掌握知识，又要注意能力培养，而且对能力的要求日益显得重要。如何提高数学能力，已成为提高中学数学学习质量的当务之急。
事实上，长期以来，世界各国的教育学、心理学专家和数学家们，一直关注并致力于能力培养的研究——给能力下定义、探究能力的结构。
早在1908年法国数学家彭加勒就發表了数学创造力和本质的见解，他提出了数学创造力的“无意识侧面”，并认为“这是灵感的经常性源泉。”“数学家们有一种特殊的、与众不同的审美感(审美本能)。”
1918年，著名科学家罗杰斯提出两种数学能力：再现能力与创造能力。
瑞典心理学家魏德林给一般人所说的掌握、再现以及独立运用数学信息的那种“学校式”能力下了定义：“数学能力是理解数学的(以及类似的)问题、符号、方法和证明的本质的能力；是学会它们，在记忆中保持和再现它们的能力；是把它们同其它问题、符号、方法和证明结合起来的能力；也是在解数学的(或类似的)问题时运用它们的能力。”魏德林认为数学推理能力是构成数学能力的基础。
前苏联心理学家克鲁捷茨基关于数学能力的研究成果《中小学数学能力心理学》在国际上影响很大，他认为应从两个方面来看数学能力的概念：
一是看作创造性(科学的)能力——科学的数学活动方面的能力，这种能力能产生对人类有意义的新成果和新成就，对社会作出有价值的贡献。
二是看作一般学习能力——学习(学会、掌握)数学的能力，迅速而顺利地掌握适当的知识和技能的能力。
还有不少数学家对数学能力提出了自己的见解。
我国学者对数学能力的研究逐步深化，但总体说来对数学能力的研究时间不长，研究还不够深入，研究的方法和手段有的不完全或不科学。多数数学教师，感到结合数学教学培养能力有相当的困难。对于能力结构的讨论中，所列举的应培养的各种能力越来越多，有无限增加的趋势。多数学者认为，数学教学毫无疑问应着重培养数学的三大能力(运算能力、空间想象能力及逻辑思维能力，逻辑思维能力是核心)以及获得数学知识和运用数学知识的能力。与此同时，一般能力(如观察能力，自学能力，操作能力等)的培养，当然也应与其他学科同步进行，以期使学生有坚实的基础并有创造性。
《普通高中数学课程标准(实验)》提出了五个基本数学能力：计算能力、逻辑推理能力、空间想象能力、抽象概括能力、数据处理能力。与以往的《数学教学大纲》相比，增加了抽象概括能力和数据处理能力，为何增加这两大基本能力呢?
是否可以这样说，增加抽象概括能力和数据处理能力反映了对数学课程认识上的变化。我们知道，数学既是演绎的科学，又是归纳的科学。“演绎推理”和“归纳推理”是认识数学的两个基本方面，从一般到特殊，从具体到抽象，都是重要的。但在实际教学中，常常忽视后者。抽象概括和数据处理都是一种归纳思维。因此，增加抽象概括和数据处理能力反映了数学课程从单纯的演绎到强调归纳演绎并重。
从三大能力变为五大能力，还有许多问题需要深入研究。
从以上分析可以看出，我所写的“数学能力培养”系列文章，仅仅是以高中生为对象，谈了些具体的做法，这种“培养”更多的是基于学生的“自我培养”。
展望
关于“能力”的研究，还有许多工作要做。比如，关于能力的内涵，关于能力的外延等；又如，技能与能力的关系，智能与能力的关系，知识与能力的关系，等等。
关于“数学能力”的研究，也还有许多工作要做。比如有关文献关于数学能力的内涵与外延的认识之“综述”，中学数学能力研究现状之“分析”等；又如，我们前面提到的“从三大能力到五大能力”中，新增的两大能力“抽象概括能力和数据处理能力”的研究，的的确确需要深入研究。
说到数学能力，张奠宙教授主编的《数学教育研究导引》一书中的“课题推荐”，就有“数学能力的性别差异”，我们研究得怎样?
课改背景下，数学科的考试，按照“考查基础知识的同时，注重考查能力”的原则，确立以能力立意命题的指导思想，将知识、能力与素养考查融为一体，全面检测考生的数学素养。怎样考查“数学能力”?说起来容易，做起来真难!
高考数学考试大纲，对“能力要求”是这样说的：能力是指思维能力、运算能力、空问想象能力以及实践能力和创新意识。这与课改要求‘‘五大能力”是有差异的，怎样看待?
我们知道，思维能力是数学能力的核心，高中数学课标课程就明确提出“注重提高学生的数学思维能力”。有人说，培养和發展学生的数学思维能力是發展智力、培养能力的主要途径。有没有实验来证明这一“假说”?有人说，数学思维能力有助于提高学生的生活质量和工作能力。能有更多的实例吗?
我们还知道，创新能力近年来成为热门话题。“民族要进步，国家要强大，企业要腾飞，个人要發展，关键在于创新。”数学创新意识、创新能力的研究也成为热点。数学创新能力与数学创造性思维有着密切的联系。这方面的研究似可“小题大作”，即选择几个“微观课题”进行深入研究，期许得出更多有用有益的结论。比如，有人提出创新性思维具有新颖性、灵活性、精致性、流畅性、敏捷性、真理性和价值性等特征，你能就其中的一个“性”展开深入的探讨和研究吗?