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--!> 在涉及求向量模的最小值时，一般习惯于用代数方法，先将问题转化为二次函数，然后求最值，若能利用数形结合的思想，根据向量的几何意义来考虑求向量模的最小值问题，往往能起到事半功倍的效果.现举例说明.
图1例1 已知｜ →a ｜=2，｜ →b ｜=6， →a ?( →b - →a )=2，求｜ →a -λ →b ｜的最小值.
解：∵ →a ?( →b - →a )=2，｜ →a ｜=2，
∴｜ →a ｜?｜ →b ｜=6.
又∵｜ →b ｜=6，
∴( →a , →b )=π3．
如图１，设OA= →a ，OB= →b .
在直线OB上任取一点M，则OM=λ →b (λ∈R)，且MA= →a -λ →b ．
当AM⊥OB时，｜MA｜最小，即 →a -λ →b 最小，此时点M在线段OB上．
易知：MA=3,OM=1.
∴λ=OMOB=16．
∴当λ=16时， →a -λ →b 取最小值3．
例2 已知向量 →a , →b 为单位向量，且 →a ? →b =-12，向量 →c 与 →a →b 共线，求｜ →a →c ｜的最小值.
解：∵｜ →a ｜=1，｜ →b ｜=1，且 →a ? →b =-12，
∴( →a , →b )=2π3.
如图２，设OA= →a ,OB= →b .
图2
以OA、OB为邻边作OACB，则OC= →a →b ，且∠AOC=π3．
在直线OC上任取一点M，设OM= →c .
∵向量 →c 与 →a →b 共线，
∴ →c =λ（ →a →b ）(λ∈R)，即OM=λOC．
以OA、OM为邻边作OMPA，则直线AP∥OM，且OP= →a →c ．
当OP⊥AP时，｜OP｜最小，即｜ →a →c ｜最小．
此时，∠AOP=π6.
又｜OA｜=1，
∴｜OP｜=32.
图3∴｜ →a →c ｜的最小值为32.
例3 已知：向量 →a ≠ →e ，若对t∈R，恒有｜ →a -t →e ｜≥｜ →a - →e ｜，则下列选项中正确的是（ ）.
A. →a ⊥ →e B. →a ⊥( →a - →e )
C. →e ⊥( →a - →e )D.( →a →e )⊥( →a - →e )
解：如图３，设OA= →a ，OE= →e .
在直线OE上任取一点B，则OB=t →e (t∈R),BA= →a -t →e ．
当OA⊥OE时，｜AB｜取最小值，即｜ →a -t →e ｜取最小值．
此时，｜AB｜=｜ →a - →e ｜.
又｜AE｜=｜ →a - →e ｜，
所以点B、E重合.
∴AE⊥OE成立，即 →e ⊥( →a - →e )．
答案为C.
“无棱二面角”的求解方法
□安徽庐江县第三中学 梁 霞 在立体几何题中，某些特殊图形中的二面角有时只给出一个公共点，因而二面角的棱是哪条直线或线段不明确.此类问题俗称“无棱”二面角问题.由于新教材引入了向量知识，所以立体几何中的二面角的大小求解方法在以往传统几何法的基础上又多了以向量为工具的向量解法.
两个平面所成的角即二面角，教材中只给出定义，其计算方法也只限于二面角的平面角可以作出或有公共边的二面角的求法.而在求二面角的实际问题中，通常会遇到许多“无棱”二面角，这些“无棱”二面角的平面角往往难找、难作，因而也难以求解.本文将先对“无棱”二面角的三种常用解法（延展平面法、射影面积法、法向量法）进行比较，再举例分析每一种解法的使用条件、难易程度等，以达到知此知彼，利于以后求二面角时选择最佳解法.
〖=D(〗一、方法介绍〖=〗
１．延展平面法
通过延展平面得到两个平面的棱，进而作出其平面角.往往需要添加许多辅助线.
依据:把“无棱”二面角转化为“有棱”二面角；再利用求“有棱”二面角的方法作出二面角的平面角，解三角形即可.
适用条件:①能够找出二面角的棱；②能作出“有棱”二面角的平面角，并求出其大小.
2．射影面积法
无需找二面角的棱，但要找到二面角中的一个面所在图形在另一个面上的射影图形.需添加必要的辅助线.
依据:若二面角α-l-β的半平面α内的图形A在半平面β内的射影图形为A′，且SA=S,SA′=S′.设二面角α-l-β的大小为θ，则cosθ=S′S.
适用条件:①能找出一个半平面内的某图形在另一个半平面内的射影图形；②易求出原图形和其射影图形的面积.
３．法向量法
无需找二面角的棱，但要建立适当的空间直角坐标系，把求二面角问题转化为求两平面的法相量的夹角问题.
依据:若 →n 1, →n 2分别是二面角α-l-β两个半平面α，β的法相量，且( →n 1, →n 2)=θ.则二面角α-l-β的平面角大小为θ或π-θ.
适用条件:①能借助几何体中已有的两线或三线建立空间直角坐标系；②涉及相关点的空间坐标能够求出.
〖=D(〗二、举例说明〖=〗
图1例 如图1，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E是B1C1的中点，F在AA1上，且AF∶FA1=1∶2.求平面BEF与平面ABCD所成的角.
分析：平面与平面ABCD所成角的是无棱二面角，故需先找出平面BEF与平面ABCD的公共边，利用三垂线定理作出二面角的平面角，再利用解三角形求出平面角的大小.图形中这两个平面只有一个公共点B，所以要找出另一个公共点.
解：如图1，连接B1F并延长交BA的延长线于点G，过G作GM∥B1C1交EF的延长线于点M，则直线BM就是平面ABCD与平面的交线.过A作AN⊥BM,连接FN.因为AF⊥面ABCD，由三垂线定理知，FN⊥BM.故∠ANF就是平面BEF与平面ABCD所成的角.
由正方体的棱长为1，且AF∶=1∶2，可得AF=13.
由AF∶FA1=GF∶FB1=MG∶EB1=1∶2，得MG=14.
在RtBGM中，BM=MG2 BG2=374.
∵RtBGM∽RtBNA，
∴AN∶AB=MG∶MB.
∴AN=3737.
在RtNAF中，tan∠AFN=AFAN=373,
∴∠ANF=arctan373.
事实上，延展平面法有“找棱”和“作角”两大难点，射影面积法有“作射影图形”和“求原图形和射影图形面积”两大难点，法向量法也有“建系、相关点坐标确定”和“确定二面角的大小是两个半平面法向量的夹角还是其补角”两大难点.面对一个具体题目，我们只有熟悉求“无棱”二面角的三种方法的各自适用范围，才能在求“无棱”二面角的题目时趋利避害，快速地选择最佳方法.
图1例1 已知｜ →a ｜=2，｜ →b ｜=6， →a ?( →b - →a )=2，求｜ →a -λ →b ｜的最小值.
解：∵ →a ?( →b - →a )=2，｜ →a ｜=2，
∴｜ →a ｜?｜ →b ｜=6.
又∵｜ →b ｜=6，
∴( →a , →b )=π3．
如图１，设OA= →a ，OB= →b .
在直线OB上任取一点M，则OM=λ →b (λ∈R)，且MA= →a -λ →b ．
当AM⊥OB时，｜MA｜最小，即 →a -λ →b 最小，此时点M在线段OB上．
易知：MA=3,OM=1.
∴λ=OMOB=16．
∴当λ=16时， →a -λ →b 取最小值3．
例2 已知向量 →a , →b 为单位向量，且 →a ? →b =-12，向量 →c 与 →a →b 共线，求｜ →a →c ｜的最小值.
解：∵｜ →a ｜=1，｜ →b ｜=1，且 →a ? →b =-12，
∴( →a , →b )=2π3.
如图２，设OA= →a ,OB= →b .
图2
以OA、OB为邻边作OACB，则OC= →a →b ，且∠AOC=π3．
在直线OC上任取一点M，设OM= →c .
∵向量 →c 与 →a →b 共线，
∴ →c =λ（ →a →b ）(λ∈R)，即OM=λOC．
以OA、OM为邻边作OMPA，则直线AP∥OM，且OP= →a →c ．
当OP⊥AP时，｜OP｜最小，即｜ →a →c ｜最小．
此时，∠AOP=π6.
又｜OA｜=1，
∴｜OP｜=32.
图3∴｜ →a →c ｜的最小值为32.
例3 已知：向量 →a ≠ →e ，若对t∈R，恒有｜ →a -t →e ｜≥｜ →a - →e ｜，则下列选项中正确的是（ ）.
A. →a ⊥ →e B. →a ⊥( →a - →e )
C. →e ⊥( →a - →e )D.( →a →e )⊥( →a - →e )
解：如图３，设OA= →a ，OE= →e .
在直线OE上任取一点B，则OB=t →e (t∈R),BA= →a -t →e ．
当OA⊥OE时，｜AB｜取最小值，即｜ →a -t →e ｜取最小值．
此时，｜AB｜=｜ →a - →e ｜.
又｜AE｜=｜ →a - →e ｜，
所以点B、E重合.
∴AE⊥OE成立，即 →e ⊥( →a - →e )．
答案为C.
“无棱二面角”的求解方法
□安徽庐江县第三中学 梁 霞 在立体几何题中，某些特殊图形中的二面角有时只给出一个公共点，因而二面角的棱是哪条直线或线段不明确.此类问题俗称“无棱”二面角问题.由于新教材引入了向量知识，所以立体几何中的二面角的大小求解方法在以往传统几何法的基础上又多了以向量为工具的向量解法.
两个平面所成的角即二面角，教材中只给出定义，其计算方法也只限于二面角的平面角可以作出或有公共边的二面角的求法.而在求二面角的实际问题中，通常会遇到许多“无棱”二面角，这些“无棱”二面角的平面角往往难找、难作，因而也难以求解.本文将先对“无棱”二面角的三种常用解法（延展平面法、射影面积法、法向量法）进行比较，再举例分析每一种解法的使用条件、难易程度等，以达到知此知彼，利于以后求二面角时选择最佳解法.
〖=D(〗一、方法介绍〖=〗
１．延展平面法
通过延展平面得到两个平面的棱，进而作出其平面角.往往需要添加许多辅助线.
依据:把“无棱”二面角转化为“有棱”二面角；再利用求“有棱”二面角的方法作出二面角的平面角，解三角形即可.
适用条件:①能够找出二面角的棱；②能作出“有棱”二面角的平面角，并求出其大小.
2．射影面积法
无需找二面角的棱，但要找到二面角中的一个面所在图形在另一个面上的射影图形.需添加必要的辅助线.
依据:若二面角α-l-β的半平面α内的图形A在半平面β内的射影图形为A′，且SA=S,SA′=S′.设二面角α-l-β的大小为θ，则cosθ=S′S.
适用条件:①能找出一个半平面内的某图形在另一个半平面内的射影图形；②易求出原图形和其射影图形的面积.
３．法向量法
无需找二面角的棱，但要建立适当的空间直角坐标系，把求二面角问题转化为求两平面的法相量的夹角问题.
依据:若 →n 1, →n 2分别是二面角α-l-β两个半平面α，β的法相量，且( →n 1, →n 2)=θ.则二面角α-l-β的平面角大小为θ或π-θ.
适用条件:①能借助几何体中已有的两线或三线建立空间直角坐标系；②涉及相关点的空间坐标能够求出.
〖=D(〗二、举例说明〖=〗
图1例 如图1，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E是B1C1的中点，F在AA1上，且AF∶FA1=1∶2.求平面BEF与平面ABCD所成的角.
分析：平面与平面ABCD所成角的是无棱二面角，故需先找出平面BEF与平面ABCD的公共边，利用三垂线定理作出二面角的平面角，再利用解三角形求出平面角的大小.图形中这两个平面只有一个公共点B，所以要找出另一个公共点.
解：如图1，连接B1F并延长交BA的延长线于点G，过G作GM∥B1C1交EF的延长线于点M，则直线BM就是平面ABCD与平面的交线.过A作AN⊥BM,连接FN.因为AF⊥面ABCD，由三垂线定理知，FN⊥BM.故∠ANF就是平面BEF与平面ABCD所成的角.
由正方体的棱长为1，且AF∶=1∶2，可得AF=13.
由AF∶FA1=GF∶FB1=MG∶EB1=1∶2，得MG=14.
在RtBGM中，BM=MG2 BG2=374.
∵RtBGM∽RtBNA，
∴AN∶AB=MG∶MB.
∴AN=3737.
在RtNAF中，tan∠AFN=AFAN=373,
∴∠ANF=arctan373.
事实上，延展平面法有“找棱”和“作角”两大难点，射影面积法有“作射影图形”和“求原图形和射影图形面积”两大难点，法向量法也有“建系、相关点坐标确定”和“确定二面角的大小是两个半平面法向量的夹角还是其补角”两大难点.面对一个具体题目，我们只有熟悉求“无棱”二面角的三种方法的各自适用范围，才能在求“无棱”二面角的题目时趋利避害，快速地选择最佳方法.