谁的点子妙

• 作 者: 柯凤枝 许生友
• 出 处: 中学数学杂志(初中版)
• 发表日期: 2008年4期
• 关键词: 练习题 聚集

　　喜欢“标新立异”的点子门聚集在一起，它们七嘴八舌地就一道练习题展开了讨论，到底谁的点子高一筹呢?我们看看它们的讨论吧.
　　如图1，由若干个点组成的形如正方形的图案中，每条边上(包括顶点)点的个数相等，当每条边上的点的个数为n(n≥2)时，求组成图案的点的总数S.
　　点子1说：“这个好办呀，一个一个地数数就知道了啊!”
　　点子2说：“认真观察图形，可以得到：S2=4=4×1=4×(2-1)，S3=8=4×2=4×(3-1)，S4=12=4×3=4×(4-1)，由此我们可以推断出Sn=4×(n-1).”
　　
　　爱钻研的点子3说：“我是这样来思考的，第一个图形每条边上有2个‘●’，4条边便共有4×2个‘●’，但每个顶点处都有一个‘●’被重复计算了两次，这样一来，图形中有(4×2-4)个‘●’.同样道理，第n个图形中有(4n-4)个‘●’.”
　　善于动脑筋的点子4也参加了讨论：“先不考虑顶点，每条边上有(n-2)个‘●’，四条边上就有4(n-2)个‘●’，再加上4个顶点处的4个‘●’，便得S=4(n-2)+4.”
　　不甘落后的点子5说边画边说：“哎，还可以这样，我们只要按图2中那样划分，直接数一数，便可得S=2n+2(n-2)”.
　　“哎，还可以这样，你的思路启发了我.”点子6说，“按图3这样来划分，也可以直接数一数，得S=4(n-1).”
　　“大家还可以试试利用正方形的面积来寻找规律!”点子7出奇制胜的一招更令人耳目一新，“大家看，如图4，外面的最大正方形的面积为n²，而其里面的最大正方形边长为(n-2)，所以面积为(n-2)²，因此S=n²-(n-2)².”
　　激烈的争辩感染了在场的每一个点子，它们纷纷发言，在积极地寻找着解决问题的更好办法，爱标新立异的点子8站起来说：“大家静一静，我再提供一种新的解决途径.”只见它在图中这样一勾，如图5.
　　然后给大家分析道：“这种方法可以叫做‘构造四边形法’，按此法，第一个图形构造出(2-1)个四边形，依次推理，第n个图形可以构造出(n-1)个四边形，由于每个四边形都有4个顶点，所以S=4×(n-1)，这样是不是也很直观呢?”…
　　聪明的点子们还在激烈地争论，亲爱的同学们，你们不想也加入点子们的讨论吗?想想看，你还能有更好的解决问题的方法吗?试试看，相信你一定能找到最适合自己的解决问题的途径.
　　
　　“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”