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引言
自“国家基础教育课程改革”进行以来，作为一线教师，我首先感受到的突出变化有三点。（1）实验教材、试用教材或者是“定版”教材的版本，如雨后春笋般一下子出现了很多，形成了百花齐放的繁荣景象。（2）相对于我以前十几年用的教材，几乎所有版本都在不同程度上改变了章节内容的结构，以及内容的呈现方式。（3）特别突出的是，与学生生活实际联系紧密的内容，以及以学生为主体、自主探究发现的内容有较大幅度地增加。
新课改后，我所在的区域最先接触到的初中数学“课改教材”是华东师大版的“实验教材”，其中的《用正多边形拼地板》的内容让人耳目一新，也引起了学生的浓厚兴趣。再后来，本区域又换了人民教育出版社的《义务教育教科书》，因为教一个轮回需要三年时间的原因，我是2018年才接触到该版本（《教师教学用书.数学.八年级上册》，2013年6月第一版，2018年5月第6次印刷），同样的内容，只是以“教学活动”的形式呈现，也即是老师们常说的“平面镶嵌”，因为曾经对这个内容作过一定的研究，所以想看看较之于“华东师大版”又是怎样解决“探究的适度性”问题的。
在对《教师教学用书》进行了认真的阅读和研究后，发现了一处错误;然后，还想在结构的编排和解析的方式上提出两点建议。
1.指出一个错误
《教师教学用书》第55页，正文倒数第六和第七行：“x=108（正五边形），y=144（正十边形）时，p=2，q=1，即2个正五边形和1个正十边形可以镶嵌平面。”
其实，在教科书（学生用书）第26页已经说得很明白，“平面镶嵌”的三个条件是：①不留空隙;②不重叠;③把平面或平面的一部分完全覆盖（其实质就是能够继续镶嵌下去）。
《教师教学用书》的编者忽略了第3个条件，虽然在同一个顶点处几个内角的和刚好等于360°，确实不重叠也无缝隙（如下图图一），但却不能继续铺下去（如下图图二、图三、图四中虚线椭圆所示）。
所以，《教师教学用书》上的这个结论是错误的。
2.提出两点建议
2.1建议使结构完整，使分类的情况完备
《教师教学用书》第55页：
建议改为以下结构：
（2）用正多边形镶嵌平面：
2.2建议在解析的思维方式上能用学生更容易理解和接受的方式
我们搞数学教育教学的，遇到这类问题，通常会根据经验，首先想到常规的解决模式，那就是设未知数、列方程，可列出的是不定方程，特别是后面的情况，会出现八元二次不定方程，学生一下子就头大了，不和您玩儿了，老师，您就慢慢解吧！我只需要您的结论……这在我当初用上面提到的我的拙作中的方法讲解的时候遇到过的尴尬……然后，有闲的时候，想要找到一种更简洁的方法的想法就一直在我的脑子里面翻腾，还好，这种简单的方法被找到了。
首先，需要先确认两个结论：
结论1：正多边形的每个内角都小于180°;
结论2：正多边形中每个内角最小的是60°，此时它是正三角形。
好了，逆向思维开始了。
在同一顶点处几个内角的和要等于360°，又因为每个内角都小于180°，所以，不可能用两个正多边形来拼，至少要3个正多边形，360°÷3=120°，每个内角度数为120°的是正六边形。
又因为，正多边形的每个内角的度数越小，在同一顶点处需要的正多边形的个數越多，而正三角形的每个内角最小，是60°，360°÷60°=6（个），即：在同一顶点处进行平面镶嵌的正多边形最多只能有6个。
因此，用同一种正多边形进行平面镶嵌，设在同一顶点处的正多边形的个数为m，则3≤m≤6，既然，m=3和6已经讨论了，就还剩两种可能，m=4和5，此时，用360°÷4=90°，是正四边形;360°÷5=72°，没有内角等于72°的正多边形……
归纳：用同一种正多边形进行能平面镶嵌的只有：正3，正4和正6。
对于c：“用三种以上的正多边形镶嵌平面”，同样用这样的思维方式。
首先还是确认两个结论：
（1）根据实际意义，三种以上，即至少用四种正多边形;
（2）正多边形的每个内角的度数随边数的增多而增大。
不妨先用内角度数最小的四种，即正3+正4+正5+正6，则在同一顶点处的四个内角的和为：60°+90°+108°+120°=378°>360°，既然内角最小的四种正多边形的四个角的和都大于360°，则无论选取哪四种不同的正多边形，其在同一顶点处的几个内角的和都必然大于360°。
归纳：用三种以上的正多边形不能镶嵌平面。
自“国家基础教育课程改革”进行以来，作为一线教师，我首先感受到的突出变化有三点。（1）实验教材、试用教材或者是“定版”教材的版本，如雨后春笋般一下子出现了很多，形成了百花齐放的繁荣景象。（2）相对于我以前十几年用的教材，几乎所有版本都在不同程度上改变了章节内容的结构，以及内容的呈现方式。（3）特别突出的是，与学生生活实际联系紧密的内容，以及以学生为主体、自主探究发现的内容有较大幅度地增加。
新课改后，我所在的区域最先接触到的初中数学“课改教材”是华东师大版的“实验教材”，其中的《用正多边形拼地板》的内容让人耳目一新，也引起了学生的浓厚兴趣。再后来，本区域又换了人民教育出版社的《义务教育教科书》，因为教一个轮回需要三年时间的原因，我是2018年才接触到该版本（《教师教学用书.数学.八年级上册》，2013年6月第一版，2018年5月第6次印刷），同样的内容，只是以“教学活动”的形式呈现，也即是老师们常说的“平面镶嵌”，因为曾经对这个内容作过一定的研究，所以想看看较之于“华东师大版”又是怎样解决“探究的适度性”问题的。
在对《教师教学用书》进行了认真的阅读和研究后，发现了一处错误;然后，还想在结构的编排和解析的方式上提出两点建议。
1.指出一个错误
《教师教学用书》第55页，正文倒数第六和第七行：“x=108（正五边形），y=144（正十边形）时，p=2，q=1，即2个正五边形和1个正十边形可以镶嵌平面。”
其实，在教科书（学生用书）第26页已经说得很明白，“平面镶嵌”的三个条件是：①不留空隙;②不重叠;③把平面或平面的一部分完全覆盖（其实质就是能够继续镶嵌下去）。
《教师教学用书》的编者忽略了第3个条件，虽然在同一个顶点处几个内角的和刚好等于360°，确实不重叠也无缝隙（如下图图一），但却不能继续铺下去（如下图图二、图三、图四中虚线椭圆所示）。
所以，《教师教学用书》上的这个结论是错误的。
2.提出两点建议
2.1建议使结构完整，使分类的情况完备
《教师教学用书》第55页：
建议改为以下结构：
（2）用正多边形镶嵌平面：
2.2建议在解析的思维方式上能用学生更容易理解和接受的方式
我们搞数学教育教学的，遇到这类问题，通常会根据经验，首先想到常规的解决模式，那就是设未知数、列方程，可列出的是不定方程，特别是后面的情况，会出现八元二次不定方程，学生一下子就头大了，不和您玩儿了，老师，您就慢慢解吧！我只需要您的结论……这在我当初用上面提到的我的拙作中的方法讲解的时候遇到过的尴尬……然后，有闲的时候，想要找到一种更简洁的方法的想法就一直在我的脑子里面翻腾，还好，这种简单的方法被找到了。
首先，需要先确认两个结论：
结论1：正多边形的每个内角都小于180°;
结论2：正多边形中每个内角最小的是60°，此时它是正三角形。
好了，逆向思维开始了。
在同一顶点处几个内角的和要等于360°，又因为每个内角都小于180°，所以，不可能用两个正多边形来拼，至少要3个正多边形，360°÷3=120°，每个内角度数为120°的是正六边形。
又因为，正多边形的每个内角的度数越小，在同一顶点处需要的正多边形的个數越多，而正三角形的每个内角最小，是60°，360°÷60°=6（个），即：在同一顶点处进行平面镶嵌的正多边形最多只能有6个。
因此，用同一种正多边形进行平面镶嵌，设在同一顶点处的正多边形的个数为m，则3≤m≤6，既然，m=3和6已经讨论了，就还剩两种可能，m=4和5，此时，用360°÷4=90°，是正四边形;360°÷5=72°，没有内角等于72°的正多边形……
归纳：用同一种正多边形进行能平面镶嵌的只有：正3，正4和正6。
对于c：“用三种以上的正多边形镶嵌平面”，同样用这样的思维方式。
首先还是确认两个结论：
（1）根据实际意义，三种以上，即至少用四种正多边形;
（2）正多边形的每个内角的度数随边数的增多而增大。
不妨先用内角度数最小的四种，即正3+正4+正5+正6，则在同一顶点处的四个内角的和为：60°+90°+108°+120°=378°>360°，既然内角最小的四种正多边形的四个角的和都大于360°，则无论选取哪四种不同的正多边形，其在同一顶点处的几个内角的和都必然大于360°。
归纳：用三种以上的正多边形不能镶嵌平面。