运用面积与等积变换解题初探

• 作 者: 周建玮
• 出 处: 考试周刊
• 发表日期: 2015年9期
• 关键词: 运用 面积公式 等积变换 几何问题 线段比 数学解题 解决问题 面积比 几何学 恒等式 证明 求解 平面 工具 方法

　　面积与等积变换，主要是利用面积公式或等积变换求解或证明有关面积、面积比、面积恒等式，以及有关线段长、线段比等几何问题，是数学解题的重要方法，也是研究几何学的有力的工具，在平面几何问题中，虽然没有直接涉及面积，然而灵活运用面积与等积变换解决问题，往往会出奇制胜，事半功倍.
　　一、若把给定的图形分成若干部分，则被分成的各部分面积之和等于给定图形的面积
　　（一）等量关系的证明
　　例1：求证：等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和等于一腰上的高线.
　　解析：如图（1），连接AD，
　　则S△ABD S△ADC=S△ABC
　　即■AB·ED ■AC·FD=■AC·BH
　　∵AB=AC
　　∴ED DF=BH
　　（1）
　　例2：求证：正三角形内任一点到三边的距离之和等于一边上的高线.
　　（2）
　　解析：如图（2），
　　连接AO，BO，CO，
　　则S△ABO S△BCO S△ACO=S△ABC
　　即■AB·OD ■BC·OE ■AC·OF=■AC·BH
　　∵AB=AC=BC
　　∴OD OE OF=BH
　　以上两题都是通过添加辅助线，得到几个分图形，而这几个分图形的面积之和等于总面积，然后利用三角形面积公式很容易得到命题的结论.
　　（二）不等量关系的证明
　　例3：边长为K的正△PQR，分别在各边上取QL=a，LR=b，RM=c，MP=d，PN=e，NQ=f，求证：bc de fa　　解析：如图（3），连接NL，LM，MN，则：S△LRM S△MPN S△NLM=S△PQR
　　即：■bcsin60° ■desin60° ■fasin60°<■K■sin60°
　　∴bc de fa　　（3）
　　二、利用等底等高的两个三角形面积相等来转化命题结论形式
　　例4：已知梯形ABCD，AD=1cm，BC=4cm，且对角线AC⊥BD，AC=3cm，BD=4cm，求梯形ABCD的面积.
　　解析：如图（4），过点D作AC的平行线交BC的延长线于E
　　∵AD=CE（平行四边形对边相等）
　　B到AD的距离与D到CE的距离相等（平行线间的距离相等），则S△ABD=S△DCE
　　故S梯形ABCD=S△DBE
　　∵3■ 4■=5■即BD■ DE■=BE■
　　∴△DBE为直角三角形
　　S梯形ABCD=S△DBE=■×3×4=6cm■
　　（4）
　　此题利用等底等高的△ABD和△DCE面积相等，巧妙地把梯形ABCD转化为Rt△DBE，进而利用直角三角形面积公式求得结果.
　　三、利用两个等底的三角形面积之比等于它们的高之比，两个等高的三角形面积之比等于它们的底之比来证题
　　例5：如图（5），△ABC的各边AB，BC，CA上取AD、BE、CF各等于边的■，求证：S△DEF=■S△ABC.
　　解析：连接AE，
　　∵△BED与△ABE同高，且BD=■AB，
　　∴S△BDE=■S△ABE，
　　又∵△ABE与△ABC同高，且BE=■BC，
　　∴S△BDE=■×■SABC=■S△ABC
　　同理：S△ADF=■S△ABC，S△CEF=■S△ABC，
　　（5）
　　S△BDE S△ADF S△CEF=■S△ABC
　　S△DEF=■S△ABC
　　四、利用相似三角形面积之比等于相似比的平方解题
　　例6：如图（6），已知梯形ABCD，AD//BC，对角线BD和AC交于点E，S△AED=a■，S△BEC=b■，求：S梯形ABCD
　　解析：过点A作AH⊥BD于H，
　　则AH就是△ABE与△AFD的公共高，
　　∴■=■，
　　∵△BEC相似于△AED
　　（6）
　　∴■=■=b/a
　　∴S△ABE=ab
　　同理：S△DEC=ab
　　∴S梯形ABCD=a■ b■ ab ab=（a b）■
　　以上列举了面积与等积变换在解题过程中几种方法，可见，巧妙运用这几种方法，可以转化命题的结论形式，使命题求解过程简单化.