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摘 要：针对直驱永磁同步风力发电系统运行过程中存在的参数不确定性等问题，本文在反馈线性化模型的基础上，基于鲁棒H∞控制理论，设计了永磁同步风力发电系统最大风能跟踪转速控制器，并分析了控制系统的鲁棒稳定性和鲁棒性能，在Matlab/Simulink环境下对系统进行了仿真，并与传统PI控制进行了比较。结果表明，当参数摄动和外界扰动较大时，基于H∞控制的永磁同步风力发电系统具有良好的性能。
关键词：永磁同步风力发电系统；鲁棒H∞控制；参数不确定性
中图分类号：T351 文献标识码：A 文章编号：2095-8595 （2017） 03-010-007
电子科学技术 URL： http：//www.china-est.com.cn DOI： 10.16453/j.issn.2095-8595.2017.03.003
引言
直驱永磁同步风力发电系统是一个多变量、强耦合、非线性的系统，其运行点随风速的变化而变化。当系统参数发生较大变化和存在较强外界扰动时，常规的PI控制策略难以获得良好的控制效果。为了使系统具有较强的鲁棒性和良好的控制性能，近年来，滑模变结构控制[1]、模糊控制[2]、最优控制?等控制策略被应用于风力发电系统中。滑模变结构控制可有效抑制参数变化和外界扰动对系统的影响，提高控制系统的鲁棒性，但是滑模变结构控制存在抖振问题。模糊控制虽然能有效地解决系统非线性、强耦合的问题，但是存在稳态误差。最优控制保证了最大风能的捕获，但它的策略是基于稳态寻优的思想，忽略了系统的动态能量捕获，并且稳态寻优依赖于各种算法，很难确定算法的初始因子，具有一定的局限性。
H∞控制理论能够有效的抑制控制系统参数的摄动和外界扰动等不确定性因素，并且对模型的不确定性具有较强的鲁棒性，因此运用H∞控制理论能够有效地减小风力发电系统存在参数变化大、不确定性强、外界扰动大等对系统控制性能的影响。
本文在直驱永磁同步风力发电系统反馈线性化模型的基础上，利用线性分式变换（LFT），建立了参数摄动下系统的不确定模型，然后基于鲁棒H∞控制理论，设计了永磁同步风力发电系统最大风能跟踪转速控制器，并与PI控制器进行比较，仿真结果表明，基于H∞控制理论永磁同步风力发电系统转速响应速度快，波动小。
1 永磁同步风力发电系统数学模型
风力机输出的机械功率为：
（1）
其中：Tw为风力机输出的机械转矩（N*m），ωm为风轮转速（rad/s）。
风力机的机械转矩Tw与风速v的关系为：
（2）
式中，p为空气密度；β为桨距角；Cp为风能利用系数；R为风轮回转半径。
叶尖速比λ的数学表达式为：
（3）
常用的近似计算公式[5]：
（4）
（5）
当风速变化时，通过调节风力机的转速，可使风力机工作在最佳叶尖速比状态下，风能利用系数Cp达到最大值。
dq坐标系下永磁同步风力发电机电磁转矩方程为：
（6）
把风力机与发电机看做整体，其机械运动方程为：
（7）
（8）
其中：Ld，Lq分别是dq轴的电感；Ψf为永磁体磁链，Te为发电机电磁转矩；Bm为转动粘滞系数；np为发电机极对数；ω为电角频率。
dq坐标系下永磁同步风力发电机的状态方程为[1]：
（9）
其中，Ud，Uq为定子电压在dq轴上的分量；id，iq 为定子电流在dq轴上的分量。
式（9）存在电流与速度的耦合项，根据反馈线性化理论，将式（9）化为伪线性方程[6]：
（10）
其中：
，
，
，
。
2 参数摄动下系统的不确定性模型
选择转动惯量J作为系统模型的不确定参数，系统矩阵A将不再是一个常数陣，而是随着转动惯量的变化而变化的一个可变矩阵，不确定参数J描述为：
（11）
J0表示J的标称值，pr和δr代表J的可能的摄动变化范围。令pr=0.3，以及-1≤δr≤1，则表示J在标称值J0的±30%的范围内变化。
首先利用LFT分离不确定参数J的不确定部分与确定部分，得到关于不确定参数LFT后的输入与输出之间的关系；然后将其带入状态空间模型进行处理，最后汇总便可以得到系统不确定性模型。
将表示为上LFT的形式，即：
（12）
Nr为定常的传递函数矩阵。
的上LFT形式如图1所示。
ujr和yjr分别表示不确定参数δr的输入和输出，方块图表示的方程组如下所示。
（13）
整理得到不确定模型状态方程为：
（14）
对应的系统不确定框图如图2所示。
Gmds=pck（A0，[B1，B2]，[C1；C2]，[D11 D12；D21 D22]）
G=Fu（Gmds，Δ）
状态方程中各矩阵如下所示：
其中：空气密度ρ取1.225 kg/m3，风轮回转半径R是20 m，桨距角β为0度，定子电阻是0.11 Ω，定子电感是0.2 mH，极对数是 102，永磁体磁链是1.28 Wb，转动惯量取1000 kg·m2。
3 鲁棒H∞控制器设计
3.1 H∞混合灵敏度问题
一般的H∞混合灵敏度问题主要包括混合灵敏度S/T问题与混合灵敏度S/KS问题两种形式。这两种混合灵敏度问题是H∞控制中最典型的问题，可以解决结构不确定性情况下的系统输出端干扰抑制等问题。根据永磁同步风力发电系统结构的特点，本文对围绕混合灵敏度S/KS问题进行研究。 S/KS问题的系统结构如图3所示。Wp、Wu为权函数，G为受控对象，K是控制器，P为广义对象，则灵敏度函数为：
（15）
灵敏度函数S反映系统输出对干扰的抑制能力，是一项重要的性能指标。灵敏度越小说明系统的抗干扰能力越强。
S/KS问题是指求解下列的H∞ 标准问题：
（16）
3.2 加权函数的选择[7]
H∞优化设计中，加权函数的选择直接反映了系统的各种性能指标要求，所以选取适当的加权函数非常重要。设计时为获得低阶次的简单控制器，在保证设计要求前提下尽可能选择低阶次的权函数。这里取Wu=0.001；Wp=9.5/（10s+1）。
系统的性能指标可以采用闭环系统从d到z的加权灵敏度传递矩阵的H∞范数来描述，即
当上式成立时，则表示H∞控制器能有效的把外部干扰的影响抑制到可允许的范围内。图4是闭环系统从外部干扰d到被调输出z的响应曲线。 实线是d到zp响应曲线，虚线是d到zu的响应曲线。
如图4所示，在控制作用下，闭环系统在频率[10-2 108]范围内性能指标曲线的值均小于1。表明该控制系统不仅是内部稳定的，而且满足了预设的标称性能指标。
4 基于μ方法的闭环系统性能分析
一个实际对象可以看作对象模型集合G中的一个元素。结构化不确定性摄动Δ描述了系统对象与标称模型的偏离程度。这个摄动可由不同性质的不确定性源构成。对于系统中不同位置出现的同类不确定性，可以将它们“连接”起来，用重复摄动块来描述。我们考虑两类摄动块——重复标量摄动块和不确定性全块。前者表示对象的参数不确定性，后者描述系统对象未建模部分的动态不确定性。
令非负的整数S和F分别表示重复的标量摄动块和不确定性全快的数量，这些摄动块的维数用正整数r1，…，rs，m1，…，mf 来表述，则有第i个重复的标量摄动块的维数为ri×ri，第j个重复的标量摄动块的维数为mj×mj，可描述如下：
（17）
上式满足维数一致性条件
（18）
复数矩阵M关于摄动块Δ的结构奇异值（以下称为?值）描述为：
（19）
当闭环系统存在不稳定现象时，det（I-MΔ）=0的最小可容许的摄动奇异值最大值之倒数，被称为?值。它能有效并且毫无保守性的判斷在最坏情况下摄动的影响程度。显然，依据?的定义，很难找到一个有效的方法计算其值。尽管这样，通过求取?的上下界获得?取值区间的方法在工程上却非常有效且易于处理，它不但简化了计算量，而且只要?值的上下界区间足够小，就能够用上下界近似代替?值。
4.1 ?分析
μ分析是对控制器K（s）进行的分析。控制器K（s）必须满足下列条件：
（1）摄动的闭环系统必须保持稳定；
（2）从d到z的加权灵敏度传递矩阵
对所有摄动有 Tdz（s） ∞<1。
4.2 系统的鲁棒稳定性分析
H∞控制系统化为标准的M-Δ如图5所示。
图中传递矩阵M包括标称对象G，控制器K和加权函数Wu、Wp。矩阵M可分块如下：
（20）
子矩阵M11代表了标称模型的传递函数矩阵，有np个输入和nw个输出，而子矩阵M12、M21、M22分别给出了参数和非参数不确定性对M11影响程度的信息。摄动块对应子矩阵M11的不确定性传递函数。稳定性定理可以等价为：
（21）
在H∞控制器的作用下，μΔ（M11）在频率范围[10-2，108]的响应曲线如图6所示。
如图6所示，在整个[10-2，108]频率范围内，子矩阵块M11关于摄动块Δ的结构奇异值μΔ（M11）都小于1，表明在参数摄动下，闭环系统具有鲁棒稳定性。且μΔ（M11）的峰值表示最大摄动范围。
4.3 系统的鲁棒性能分析
在不确定矩阵中加入性能不确定全块组成一个增广摄动矩阵，如图7所示。
从扰动输入d到被调输出z=[zp，zu]T的传递函数的H∞范数
（22）
当且仅当上式成立，且
（23）
则闭环系统对于摄动满足鲁棒性能要求。
由图8可知，在[10-2，108]频率范围内，的频率响应值的上界和下界值都比1小，满足鲁棒性能指标，上界的最大值达到0.57，这表明，闭环系统要想达到预设的鲁棒性能指标，就必须保证把各类不确定性的大小限制在< 1/0.57的范围内。
5 仿真结果
本文基于鲁棒H∞控制理论设计了永磁同步风力发电系统最大风能跟踪转速控制器，系统结构如图9所示。基于Matlab/Simulink建立了系统仿真模型，并与传统PI控制做了比较。
首先验证标称系统只加入扰动，不考虑参数摄动情况下系统的输出。图10为给定风速下的标称闭环系统输出响应，从图10可以看出，标称系统可以很好地跟踪系统的参考输入。
如图11，给系统加入均值为2的类高斯白噪声，转速输出一直保持在0附近，即干扰对系统影响很小，表示H∞控制能有效地抑制干扰对系统输出的影响。
标称系统在风速为9m/s情况下，0.3s时给系统加入幅值为1宽度为2%的脉冲，基于H∞控制和PI控制的系统输出转速对比如图12。
从转速对比可以看出，基于H∞控制理论设计的控制器在针对外界干扰的情况下，比传统PI控制更具优势。
图13是参数J在30%摄动下系统的转速响应曲线对比。
从图13可以看出，在参数J摄动下，基于H∞控制策略的系统转速响应速度快、超调量小、过渡过程时间短。
6 结论
本文在直驱永磁同步风力发电系统反馈线性化模型的基础上，建立参数摄动下系统的不确定模型，基于鲁棒H∞控制理论设计了永磁同步风力发电系统最大风能跟踪H∞控制器。仿真结果表明，当系统存在较大参数摄动和外部扰动时，基于H∞控制理论设计的转速控制器能够很好地实现系统转速控制，转速跟踪速度快、超调量小，过渡过程时间短，能够有效地提高永磁同步风力发电系统转速控制精度和抑制不确定性的能力。
参考文献
[1] 张伦健，刘建坤，候圣语.基于滑模变结构控制的直驱永磁风力发电系统研究[J].机电元件，2011，22（3）：15一19.
[2] 朱家厅，王莉娜，薛飞.永磁同步电机的滑模PI模糊逻辑控制[J].电气传动，2013，43（7）：43—48.
[3] 李永东，宋瑞瑞.直驱永磁风力发电机风能最优控制[J].电子设计工程，2014， 22（5）：165-167.
[4] 邢作霞，王超，马佳等.现代控制技术在风力发电控制系统中的应用[J].风能，2011，（7）：62-67.
[5] 刘军，吴琼.永磁直驱同步风力发电机滑模控制研究[J].电气传动，2014，44（9）： 49-53.
[6] 夏怡，屈百达，徐保国等.基于反馈线性化的永磁同步电机非线性H∞控制[J].江南大学学报（自然科学版），2007，6（1）：1-4.
[7] 吴定会，纪志成.风力发电机组的混合灵敏度H∞鲁棒控制[J].南京航空航天大学学报，2009，41（6）：805-809.
关键词：永磁同步风力发电系统；鲁棒H∞控制；参数不确定性
中图分类号：T351 文献标识码：A 文章编号：2095-8595 （2017） 03-010-007
电子科学技术 URL： http：//www.china-est.com.cn DOI： 10.16453/j.issn.2095-8595.2017.03.003
引言
直驱永磁同步风力发电系统是一个多变量、强耦合、非线性的系统，其运行点随风速的变化而变化。当系统参数发生较大变化和存在较强外界扰动时，常规的PI控制策略难以获得良好的控制效果。为了使系统具有较强的鲁棒性和良好的控制性能，近年来，滑模变结构控制[1]、模糊控制[2]、最优控制?等控制策略被应用于风力发电系统中。滑模变结构控制可有效抑制参数变化和外界扰动对系统的影响，提高控制系统的鲁棒性，但是滑模变结构控制存在抖振问题。模糊控制虽然能有效地解决系统非线性、强耦合的问题，但是存在稳态误差。最优控制保证了最大风能的捕获，但它的策略是基于稳态寻优的思想，忽略了系统的动态能量捕获，并且稳态寻优依赖于各种算法，很难确定算法的初始因子，具有一定的局限性。
H∞控制理论能够有效的抑制控制系统参数的摄动和外界扰动等不确定性因素，并且对模型的不确定性具有较强的鲁棒性，因此运用H∞控制理论能够有效地减小风力发电系统存在参数变化大、不确定性强、外界扰动大等对系统控制性能的影响。
本文在直驱永磁同步风力发电系统反馈线性化模型的基础上，利用线性分式变换（LFT），建立了参数摄动下系统的不确定模型，然后基于鲁棒H∞控制理论，设计了永磁同步风力发电系统最大风能跟踪转速控制器，并与PI控制器进行比较，仿真结果表明，基于H∞控制理论永磁同步风力发电系统转速响应速度快，波动小。
1 永磁同步风力发电系统数学模型
风力机输出的机械功率为：
（1）
其中：Tw为风力机输出的机械转矩（N*m），ωm为风轮转速（rad/s）。
风力机的机械转矩Tw与风速v的关系为：
（2）
式中，p为空气密度；β为桨距角；Cp为风能利用系数；R为风轮回转半径。
叶尖速比λ的数学表达式为：
（3）
常用的近似计算公式[5]：
（4）
（5）
当风速变化时，通过调节风力机的转速，可使风力机工作在最佳叶尖速比状态下，风能利用系数Cp达到最大值。
dq坐标系下永磁同步风力发电机电磁转矩方程为：
（6）
把风力机与发电机看做整体，其机械运动方程为：
（7）
（8）
其中：Ld，Lq分别是dq轴的电感；Ψf为永磁体磁链，Te为发电机电磁转矩；Bm为转动粘滞系数；np为发电机极对数；ω为电角频率。
dq坐标系下永磁同步风力发电机的状态方程为[1]：
（9）
其中，Ud，Uq为定子电压在dq轴上的分量；id，iq 为定子电流在dq轴上的分量。
式（9）存在电流与速度的耦合项，根据反馈线性化理论，将式（9）化为伪线性方程[6]：
（10）
其中：
，
，
，
。
2 参数摄动下系统的不确定性模型
选择转动惯量J作为系统模型的不确定参数，系统矩阵A将不再是一个常数陣，而是随着转动惯量的变化而变化的一个可变矩阵，不确定参数J描述为：
（11）
J0表示J的标称值，pr和δr代表J的可能的摄动变化范围。令pr=0.3，以及-1≤δr≤1，则表示J在标称值J0的±30%的范围内变化。
首先利用LFT分离不确定参数J的不确定部分与确定部分，得到关于不确定参数LFT后的输入与输出之间的关系；然后将其带入状态空间模型进行处理，最后汇总便可以得到系统不确定性模型。
将表示为上LFT的形式，即：
（12）
Nr为定常的传递函数矩阵。
的上LFT形式如图1所示。
ujr和yjr分别表示不确定参数δr的输入和输出，方块图表示的方程组如下所示。
（13）
整理得到不确定模型状态方程为：
（14）
对应的系统不确定框图如图2所示。
Gmds=pck（A0，[B1，B2]，[C1；C2]，[D11 D12；D21 D22]）
G=Fu（Gmds，Δ）
状态方程中各矩阵如下所示：
其中：空气密度ρ取1.225 kg/m3，风轮回转半径R是20 m，桨距角β为0度，定子电阻是0.11 Ω，定子电感是0.2 mH，极对数是 102，永磁体磁链是1.28 Wb，转动惯量取1000 kg·m2。
3 鲁棒H∞控制器设计
3.1 H∞混合灵敏度问题
一般的H∞混合灵敏度问题主要包括混合灵敏度S/T问题与混合灵敏度S/KS问题两种形式。这两种混合灵敏度问题是H∞控制中最典型的问题，可以解决结构不确定性情况下的系统输出端干扰抑制等问题。根据永磁同步风力发电系统结构的特点，本文对围绕混合灵敏度S/KS问题进行研究。 S/KS问题的系统结构如图3所示。Wp、Wu为权函数，G为受控对象，K是控制器，P为广义对象，则灵敏度函数为：
（15）
灵敏度函数S反映系统输出对干扰的抑制能力，是一项重要的性能指标。灵敏度越小说明系统的抗干扰能力越强。
S/KS问题是指求解下列的H∞ 标准问题：
（16）
3.2 加权函数的选择[7]
H∞优化设计中，加权函数的选择直接反映了系统的各种性能指标要求，所以选取适当的加权函数非常重要。设计时为获得低阶次的简单控制器，在保证设计要求前提下尽可能选择低阶次的权函数。这里取Wu=0.001；Wp=9.5/（10s+1）。
系统的性能指标可以采用闭环系统从d到z的加权灵敏度传递矩阵的H∞范数来描述，即
当上式成立时，则表示H∞控制器能有效的把外部干扰的影响抑制到可允许的范围内。图4是闭环系统从外部干扰d到被调输出z的响应曲线。 实线是d到zp响应曲线，虚线是d到zu的响应曲线。
如图4所示，在控制作用下，闭环系统在频率[10-2 108]范围内性能指标曲线的值均小于1。表明该控制系统不仅是内部稳定的，而且满足了预设的标称性能指标。
4 基于μ方法的闭环系统性能分析
一个实际对象可以看作对象模型集合G中的一个元素。结构化不确定性摄动Δ描述了系统对象与标称模型的偏离程度。这个摄动可由不同性质的不确定性源构成。对于系统中不同位置出现的同类不确定性，可以将它们“连接”起来，用重复摄动块来描述。我们考虑两类摄动块——重复标量摄动块和不确定性全块。前者表示对象的参数不确定性，后者描述系统对象未建模部分的动态不确定性。
令非负的整数S和F分别表示重复的标量摄动块和不确定性全快的数量，这些摄动块的维数用正整数r1，…，rs，m1，…，mf 来表述，则有第i个重复的标量摄动块的维数为ri×ri，第j个重复的标量摄动块的维数为mj×mj，可描述如下：
（17）
上式满足维数一致性条件
（18）
复数矩阵M关于摄动块Δ的结构奇异值（以下称为?值）描述为：
（19）
当闭环系统存在不稳定现象时，det（I-MΔ）=0的最小可容许的摄动奇异值最大值之倒数，被称为?值。它能有效并且毫无保守性的判斷在最坏情况下摄动的影响程度。显然，依据?的定义，很难找到一个有效的方法计算其值。尽管这样，通过求取?的上下界获得?取值区间的方法在工程上却非常有效且易于处理，它不但简化了计算量，而且只要?值的上下界区间足够小，就能够用上下界近似代替?值。
4.1 ?分析
μ分析是对控制器K（s）进行的分析。控制器K（s）必须满足下列条件：
（1）摄动的闭环系统必须保持稳定；
（2）从d到z的加权灵敏度传递矩阵
对所有摄动有 Tdz（s） ∞<1。
4.2 系统的鲁棒稳定性分析
H∞控制系统化为标准的M-Δ如图5所示。
图中传递矩阵M包括标称对象G，控制器K和加权函数Wu、Wp。矩阵M可分块如下：
（20）
子矩阵M11代表了标称模型的传递函数矩阵，有np个输入和nw个输出，而子矩阵M12、M21、M22分别给出了参数和非参数不确定性对M11影响程度的信息。摄动块对应子矩阵M11的不确定性传递函数。稳定性定理可以等价为：
（21）
在H∞控制器的作用下，μΔ（M11）在频率范围[10-2，108]的响应曲线如图6所示。
如图6所示，在整个[10-2，108]频率范围内，子矩阵块M11关于摄动块Δ的结构奇异值μΔ（M11）都小于1，表明在参数摄动下，闭环系统具有鲁棒稳定性。且μΔ（M11）的峰值表示最大摄动范围。
4.3 系统的鲁棒性能分析
在不确定矩阵中加入性能不确定全块组成一个增广摄动矩阵，如图7所示。
从扰动输入d到被调输出z=[zp，zu]T的传递函数的H∞范数
（22）
当且仅当上式成立，且
（23）
则闭环系统对于摄动满足鲁棒性能要求。
由图8可知，在[10-2，108]频率范围内，的频率响应值的上界和下界值都比1小，满足鲁棒性能指标，上界的最大值达到0.57，这表明，闭环系统要想达到预设的鲁棒性能指标，就必须保证把各类不确定性的大小限制在< 1/0.57的范围内。
5 仿真结果
本文基于鲁棒H∞控制理论设计了永磁同步风力发电系统最大风能跟踪转速控制器，系统结构如图9所示。基于Matlab/Simulink建立了系统仿真模型，并与传统PI控制做了比较。
首先验证标称系统只加入扰动，不考虑参数摄动情况下系统的输出。图10为给定风速下的标称闭环系统输出响应，从图10可以看出，标称系统可以很好地跟踪系统的参考输入。
如图11，给系统加入均值为2的类高斯白噪声，转速输出一直保持在0附近，即干扰对系统影响很小，表示H∞控制能有效地抑制干扰对系统输出的影响。
标称系统在风速为9m/s情况下，0.3s时给系统加入幅值为1宽度为2%的脉冲，基于H∞控制和PI控制的系统输出转速对比如图12。
从转速对比可以看出，基于H∞控制理论设计的控制器在针对外界干扰的情况下，比传统PI控制更具优势。
图13是参数J在30%摄动下系统的转速响应曲线对比。
从图13可以看出，在参数J摄动下，基于H∞控制策略的系统转速响应速度快、超调量小、过渡过程时间短。
6 结论
本文在直驱永磁同步风力发电系统反馈线性化模型的基础上，建立参数摄动下系统的不确定模型，基于鲁棒H∞控制理论设计了永磁同步风力发电系统最大风能跟踪H∞控制器。仿真结果表明，当系统存在较大参数摄动和外部扰动时，基于H∞控制理论设计的转速控制器能够很好地实现系统转速控制，转速跟踪速度快、超调量小，过渡过程时间短，能够有效地提高永磁同步风力发电系统转速控制精度和抑制不确定性的能力。
参考文献
[1] 张伦健，刘建坤，候圣语.基于滑模变结构控制的直驱永磁风力发电系统研究[J].机电元件，2011，22（3）：15一19.
[2] 朱家厅，王莉娜，薛飞.永磁同步电机的滑模PI模糊逻辑控制[J].电气传动，2013，43（7）：43—48.
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[5] 刘军，吴琼.永磁直驱同步风力发电机滑模控制研究[J].电气传动，2014，44（9）： 49-53.
[6] 夏怡，屈百达，徐保国等.基于反馈线性化的永磁同步电机非线性H∞控制[J].江南大学学报（自然科学版），2007，6（1）：1-4.
[7] 吴定会，纪志成.风力发电机组的混合灵敏度H∞鲁棒控制[J].南京航空航天大学学报，2009，41（6）：805-809.