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摘 要 本文运用正态分布的概率密度函数与标准正态分布的概率密度函数的相互代换原理，制定出符合体育评价规律的体育考核标准数学模型，并举例计算出优、良、中、及格、不及格等五个等级的数学模型分别为： 优=1.04S+ ； 良=0.13S+ ； 中=-1.04S+ ； 及=-1.65S+ ； 不及﹤-1.65S+ 。
关键词 正态分布 体育考核标准 数学模型
【中图分类号】G807.4
体育技能评价是学生体育学业评价的重要组成部分，定性与定量相结合是技能评价的主要手段。就定量评价而言，不同的体育项目所包含的定量指标不同，例如篮球的定点投篮次数、上篮时间；田赛运动的高度与远度；足球颠球的次数等，而每一个项目的定量考核标准又是衡量学生技能学习程度的标尺。这些标准在现实中往往是由不同的教师或不同的项目团队凭借经验来制定的，项目间或性别间标准又没有经过统一的协调，使得不同项目、不同性别间学生的等级或得分分布很难达到均衡，学生的体育成绩会出现选择性误差，这样的标准制定方法使得学生在选课的时候变得功利起来，学生的注意倾向于哪门课容易得高分，哪门课或哪个老师的课难以通过，这与“三自主”课程建设的初衷是相悖的。因此，运用科学的方法，制定符合不同項目、不同性别的技能考核标准确是很有必要。
1 建立体育考核标准数学模型的指导思想
2.1 体育技能考核是学生体育学业评价的重要组成部分，标准的实施要有利于激励和促动学生参与体育学习的主动性。
2.2 由于体育学习内容的多样性，考核标准的制定要适用不同项目的考核，且不同项目间等级率（分级率）应一致。
2.3 标准中等（分）级的划分采用通用的五级制即优（90～100）、良（80～89）、中（70～79）、及格（60～69）、不及格（低于60），等级与分级可互相换算。
2.4 各等（分）级在学生整体成绩中所占的比例的设定应该根据不同地区、不同学段、不同性别的运动水平及各校学生体育学业评价的组成及组成部分的权重为依据。本文以等（分）级比例：优秀15%，良好30%，中40%，及格10%，不及格5%为例。
2 建立体育考核标准数学模型的算法依据
正态分布也称常态分布，它在连续型随机变量的概率分布中是最常见，也是最重要的一种分布。教育规律表明，学生的智力水平，包括学习能力，实际动手能力等呈正态分布。因而正常的考试成绩分布应基本服从正态分布。体育学习中技术与技能的形成受到相互独立的多种因素影响，又难以肯定哪种因素起了主要作用，因此，可以认为体育技术与技能考核的成绩是符合正态分布的。
标准正态分布的数学模型是随机变量X的概率分布密度函数：
通过u值代换： ，其函数式为
3建立体育考核标准数学模型的步骤
3.1制作正态曲线的分布草图（如图1）
该工作的主要任务是在正态分布图上将各等级的比例构画出来，使其具有直观性。
3.2 计算出从-∞到各ui值所围成的面积（概率）。
该工作的主要任务是为查正态分布表以求出各等级的ui作准备。
3.3 查表（正态分布表）求各等级的ui
该工作的主要任务是找出各等级标准的变量的值。
3.4 求各等级标准的原始成绩
该工作的主要任务是根据变量标准化的公式将各等级的ui值还原成xi值，即各等级的实际标准。
4 建立体育考核标准数学模型案例
案例：测得上两届学生乒乓球技能考核项目“一分钟对练有效击球次数”的平均数 =45次，标准差S=7.714次，经检验，原始数据服从正态分布。现要建立本届学生本考核项目的考核标准，假定本届学生的该项成绩与上两届学生成绩具有相同的正态分布，那么，通过对各等级的人数比例设定为：优秀15%，良好30%，中40%，及格10%，不及格5%，即可求出各等级的成绩标准，具体计算方法及步骤如下
4.1 制作正态曲线分布草图（图1）
再按例中的要求，按照大致的比例划出各个等级的区域（各个区间），以及各等级的最低限值ui。从图1中可知，凡考核成绩在u1及上成绩的，均达到了优秀；在[u2，u1）区间里的均为良好。同理凡在考核成绩在u4这个位置以下的，均为不及格。由此，可以看出，要制定各个等级的标准，实际上就是要求出各个等级的下限值。
4.2 计算出从-∞到各ui值所围成的面积（概率）。
根据图1已知各等级的面积为
优秀：[u1，∞）的面积（概率）为P{u1≤u<∞}=0.15
良好：[u2，u1）的面积（概率）为P{u2≤u 中等：[u3，u2）的面积（概率）为P{u3≤u 及格：[u4，u3）的面积（概率）为P{u4≤u 不及格：（-∞，u4）的面积（概率）为P{-∞ 因正态分布表里所给出的面积（概率）值都是从-∞到某个ui值所围成的，所以为求出本例的各ui值，必须求出从）-∞到各等级ui值所围成的所构成的面积（概率）。根据已知条件有
（-∞，u1]的面积（概率）：P{-∞ （-∞，u2]的面积（概率）：P{-∞ （-∞，u3]的面积（概率）：P{-∞ （-∞，u4]的面积（概率）：P{-∞ 由于P{-∞ （-∞，u5]的面积（概率）=P{-∞ （-∞，u6]的面积（概率）=P{-∞ 4.3求各等级的ui值
根据正态分布表内的面积（概率）找对应的ui。
P{-∞ P{-∞ P{-∞ P{-∞ 4.4 求各等级的标准
根据u值公式 =uS+
优秀标准： 1=u1S+ =1.04×7.714+45=53次
良好校准： 2=u2S+ =0.13×7.714+45=46 次
中等标准： 3=u3+ =-1.04×7.714+45=37次
及格标准： 4=u4S+ =-1.65×7.714+45=32次
5，结论
5.1 根据体育技术与技能考核的成绩是符合正态分布的，采用随机变量的概率分布密度函数算法，结合体育规律，计算出原始数据的均值 和标准差S，制定符合不同项目、不同性别的技能考核标准是可行的。
5.2 本文所举例的数学模型为： 优=1.04S+ ； 良=0.13S+ ； 中=-1.04S+ ； 及=-1.65S+ ； 不及﹤-1.65S+ 。（优秀率15%，良好率30%，中率40%，及格率10%，不及格率5%）。
5.3 由于我国地域辽阔，东西南北差异大，对于等（分）级的人数比例设定可根据校、地区的实际情况而定。
参考文献
[1] 丛平湖.体育统计学[M].北京：高等教育出版社，2007，2
[2] 贾俊平等.统计学[M].北京：中国人民大学出版社，2011，7
基金项目：辽宁省教育评价协会教学改革与教育质量评价研究立项
应用型大学体育学习评价体系的构建与实践（课题编号：PJHYYB15076）
关键词 正态分布 体育考核标准 数学模型
【中图分类号】G807.4
体育技能评价是学生体育学业评价的重要组成部分，定性与定量相结合是技能评价的主要手段。就定量评价而言，不同的体育项目所包含的定量指标不同，例如篮球的定点投篮次数、上篮时间；田赛运动的高度与远度；足球颠球的次数等，而每一个项目的定量考核标准又是衡量学生技能学习程度的标尺。这些标准在现实中往往是由不同的教师或不同的项目团队凭借经验来制定的，项目间或性别间标准又没有经过统一的协调，使得不同项目、不同性别间学生的等级或得分分布很难达到均衡，学生的体育成绩会出现选择性误差，这样的标准制定方法使得学生在选课的时候变得功利起来，学生的注意倾向于哪门课容易得高分，哪门课或哪个老师的课难以通过，这与“三自主”课程建设的初衷是相悖的。因此，运用科学的方法，制定符合不同項目、不同性别的技能考核标准确是很有必要。
1 建立体育考核标准数学模型的指导思想
2.1 体育技能考核是学生体育学业评价的重要组成部分，标准的实施要有利于激励和促动学生参与体育学习的主动性。
2.2 由于体育学习内容的多样性，考核标准的制定要适用不同项目的考核，且不同项目间等级率（分级率）应一致。
2.3 标准中等（分）级的划分采用通用的五级制即优（90～100）、良（80～89）、中（70～79）、及格（60～69）、不及格（低于60），等级与分级可互相换算。
2.4 各等（分）级在学生整体成绩中所占的比例的设定应该根据不同地区、不同学段、不同性别的运动水平及各校学生体育学业评价的组成及组成部分的权重为依据。本文以等（分）级比例：优秀15%，良好30%，中40%，及格10%，不及格5%为例。
2 建立体育考核标准数学模型的算法依据
正态分布也称常态分布，它在连续型随机变量的概率分布中是最常见，也是最重要的一种分布。教育规律表明，学生的智力水平，包括学习能力，实际动手能力等呈正态分布。因而正常的考试成绩分布应基本服从正态分布。体育学习中技术与技能的形成受到相互独立的多种因素影响，又难以肯定哪种因素起了主要作用，因此，可以认为体育技术与技能考核的成绩是符合正态分布的。
标准正态分布的数学模型是随机变量X的概率分布密度函数：
通过u值代换： ，其函数式为
3建立体育考核标准数学模型的步骤
3.1制作正态曲线的分布草图（如图1）
该工作的主要任务是在正态分布图上将各等级的比例构画出来，使其具有直观性。
3.2 计算出从-∞到各ui值所围成的面积（概率）。
该工作的主要任务是为查正态分布表以求出各等级的ui作准备。
3.3 查表（正态分布表）求各等级的ui
该工作的主要任务是找出各等级标准的变量的值。
3.4 求各等级标准的原始成绩
该工作的主要任务是根据变量标准化的公式将各等级的ui值还原成xi值，即各等级的实际标准。
4 建立体育考核标准数学模型案例
案例：测得上两届学生乒乓球技能考核项目“一分钟对练有效击球次数”的平均数 =45次，标准差S=7.714次，经检验，原始数据服从正态分布。现要建立本届学生本考核项目的考核标准，假定本届学生的该项成绩与上两届学生成绩具有相同的正态分布，那么，通过对各等级的人数比例设定为：优秀15%，良好30%，中40%，及格10%，不及格5%，即可求出各等级的成绩标准，具体计算方法及步骤如下
4.1 制作正态曲线分布草图（图1）
再按例中的要求，按照大致的比例划出各个等级的区域（各个区间），以及各等级的最低限值ui。从图1中可知，凡考核成绩在u1及上成绩的，均达到了优秀；在[u2，u1）区间里的均为良好。同理凡在考核成绩在u4这个位置以下的，均为不及格。由此，可以看出，要制定各个等级的标准，实际上就是要求出各个等级的下限值。
4.2 计算出从-∞到各ui值所围成的面积（概率）。
根据图1已知各等级的面积为
优秀：[u1，∞）的面积（概率）为P{u1≤u<∞}=0.15
良好：[u2，u1）的面积（概率）为P{u2≤u
（-∞，u1]的面积（概率）：P{-∞
根据正态分布表内的面积（概率）找对应的ui。
P{-∞
根据u值公式 =uS+
优秀标准： 1=u1S+ =1.04×7.714+45=53次
良好校准： 2=u2S+ =0.13×7.714+45=46 次
中等标准： 3=u3+ =-1.04×7.714+45=37次
及格标准： 4=u4S+ =-1.65×7.714+45=32次
5，结论
5.1 根据体育技术与技能考核的成绩是符合正态分布的，采用随机变量的概率分布密度函数算法，结合体育规律，计算出原始数据的均值 和标准差S，制定符合不同项目、不同性别的技能考核标准是可行的。
5.2 本文所举例的数学模型为： 优=1.04S+ ； 良=0.13S+ ； 中=-1.04S+ ； 及=-1.65S+ ； 不及﹤-1.65S+ 。（优秀率15%，良好率30%，中率40%，及格率10%，不及格率5%）。
5.3 由于我国地域辽阔，东西南北差异大，对于等（分）级的人数比例设定可根据校、地区的实际情况而定。
参考文献
[1] 丛平湖.体育统计学[M].北京：高等教育出版社，2007，2
[2] 贾俊平等.统计学[M].北京：中国人民大学出版社，2011，7
基金项目：辽宁省教育评价协会教学改革与教育质量评价研究立项
应用型大学体育学习评价体系的构建与实践（课题编号：PJHYYB15076）